向量數(shù)量積的求解方法探究

張雨晴　王法巖

摘 要：向量的數(shù)量積是平面向量的重要內(nèi)容，與三角函數(shù)、解析幾何等都有密切的關(guān)系。所以，很多同學(xué)在這一知識(shí)模塊都會(huì)遇到各種問(wèn)題。而這一知識(shí)點(diǎn)是歷年高考的?？碱}型，可以說(shuō)是高考的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。在2018年高考中，天津卷，浙江卷，上海卷對(duì)此知識(shí)點(diǎn)都有涉及。筆者以2018年天津卷為例，通過(guò)概述向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行分析研究，得到此類問(wèn)題的一般常用解法。

關(guān)鍵詞：向量;數(shù)量積;高考;求解方法

一、向量數(shù)量積

1.向量數(shù)量積的定義

在數(shù)學(xué)上，已知兩個(gè)非零向量、，那么（是與的夾角）就是與的數(shù)量積，記作·。向量的數(shù)量積是平面向量的重要內(nèi)容，是與高中數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)、解析幾何、平面幾何等知識(shí)點(diǎn)不可分割的，在歷年高考中都占有較大的比重。因此，向量的數(shù)量積問(wèn)題一直是高考的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。

2.向量數(shù)量積的運(yùn)算律

向量數(shù)量積的運(yùn)算律主要有三個(gè)，分別是交換律、數(shù)乘結(jié)合律和分配律。具體來(lái)看，交換律即·=·;數(shù)乘結(jié)合律是·=（·）=·;分配律指的是（+）=·+·。通過(guò)這三個(gè)運(yùn)算律，我們可以靈活有效地解答相關(guān)題型。

二、向量數(shù)量積的求解方法

向量數(shù)量積在數(shù)學(xué)中有著不可忽視的地位，而且是歷年高考的?？碱}型。在2018年高考中多個(gè)省份的高考卷對(duì)此知識(shí)點(diǎn)都有涉及。因此，掌握向量數(shù)量積的求解方法對(duì)解題有很大的幫助。下面筆者以2018年高考天津卷為例，對(duì)向量數(shù)量積的求解方法進(jìn)行分析研究。

1.定義法

求解數(shù)量積的最基本的方法就是數(shù)量積的定義法。利用定義法，我們主要是根據(jù)已知向量的模長(zhǎng)和夾角進(jìn)行求解即可。

例1：已知并且的夾角為60°，則。

根據(jù)觀察，兩個(gè)向量的模長(zhǎng)和夾角已經(jīng)給出，我們知道其中為的夾角。所以，對(duì)于此題，我們使用定義法求解就可以得到答案。

。

2.基底表示法

基底表示法是依據(jù)平面向量的基本定理而對(duì)數(shù)量積進(jìn)行運(yùn)算的一種方法。若已知條件中沒(méi)有給出所求向量的要素，即所求向量的模長(zhǎng)和夾角，那么我們就可以用兩個(gè)合適的向量作為基底，來(lái)表示所求向量，進(jìn)而完成運(yùn)算。一般來(lái)說(shuō)，基底的選擇主要依據(jù)三個(gè)原則：一是已知條件中出現(xiàn)的向量;二是已知模長(zhǎng)和夾角的向量;三是很容易表示所求向量的向量。

例2（2018年天津卷9題）：在如圖的平面圖形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，則·的值為_(kāi)________。

此題我們發(fā)現(xiàn)題設(shè)中給出的角是，的夾角，并且給出的長(zhǎng)度也是ON，OM的長(zhǎng)度，而要求的是向量與向量的數(shù)量積，因此，如果把，作為基底，用這組基底來(lái)表示向量，那么問(wèn)題就迎刃而解了。因此，我們得到如下解法：

由于，因此我們有

。

3.幾何意義法

我們知道，它的幾何意義是：的模長(zhǎng)與在方向上投影的乘積。因此，求解數(shù)量積還有一種方法，就是利用其幾何意義求出答案。向量本身就是連接幾何和代數(shù)的紐帶，通過(guò)幾何意義法，我們可以從深層次了解它們之間的關(guān)系，也可以更快速地解決問(wèn)題。

例3：在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若AO=2，則=_______。

如圖所示：的幾何意義是的模長(zhǎng)與在方向上投影的乘積。由于四邊形ABCD是菱形，因此AC⊥BD。因此我們知道在方向上的投影為AO，從而根據(jù)向量的幾何意義可以得到。

4.坐標(biāo)法

我們知道，向量有兩種表示形式，分別是幾何形式和代數(shù)形式，那么既然有代數(shù)形式，我們遇到一些問(wèn)題也可以用其代數(shù)形式及代數(shù)的性質(zhì)，即坐標(biāo)法來(lái)處理。坐標(biāo)法是通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)求解的一個(gè)過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，向量的數(shù)量積運(yùn)算和數(shù)量的代數(shù)運(yùn)算相聯(lián)系，從而數(shù)與形得到緊密地聯(lián)系，大大降低了做題的難度。

例4：已知，，，并且，求的最大值。

我們發(fā)現(xiàn)此題中有，因此我們?cè)噲D用向量運(yùn)算的代數(shù)方法來(lái)處理。以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為x軸，所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則有，，。

因此有，從而得到，所以我們有，，

故有

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，從而有的最大值為13.

本題抓住了這一條件，從而建立平面直角坐標(biāo)系，把向量問(wèn)題用其代數(shù)形式處理，最后轉(zhuǎn)化為函數(shù)運(yùn)算，給我們的解題提供了很多的方便。一般情況下，除了有明顯的垂直，我們可以建直角坐標(biāo)系外，如在等腰三角形，等腰梯形等圖形中也可以考慮用坐標(biāo)法處理向量的相關(guān)問(wèn)題。

總結(jié)

平面向量是既有大小又有方向的量，具有代數(shù)和幾何的雙重性質(zhì)。其中，向量的數(shù)量積是平面向量的重要內(nèi)容。對(duì)向量數(shù)量積的求解是近幾年高考考察的常見(jiàn)題型。因此，掌握向量數(shù)量積的求解方法是至關(guān)重要的。我們可以通過(guò)定義法、基底表示法、幾何意義法和坐標(biāo)法等對(duì)數(shù)量積問(wèn)題進(jìn)行求解，從而達(dá)到化難為易的效果，使問(wèn)題快速解決。

參考文獻(xiàn)

[1]朱麗娟，從一道高考題談平面向量數(shù)量積問(wèn)題處理的兩種常見(jiàn)策略[J]，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究2017（9）：149

[2]王健，數(shù)量積問(wèn)題的求解策略[J]，數(shù)理天地（高中版）2018（1）：15-17