張雨晴 王法巖
摘 要:向量的數(shù)量積是平面向量的重要內(nèi)容,與三角函數(shù)、解析幾何等都有密切的關(guān)系。所以,很多同學(xué)在這一知識(shí)模塊都會(huì)遇到各種問(wèn)題。而這一知識(shí)點(diǎn)是歷年高考的??碱}型,可以說(shuō)是高考的重點(diǎn),也是難點(diǎn)。在2018年高考中,天津卷,浙江卷,上海卷對(duì)此知識(shí)點(diǎn)都有涉及。筆者以2018年天津卷為例,通過(guò)概述向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行分析研究,得到此類問(wèn)題的一般常用解法。
關(guān)鍵詞:向量;數(shù)量積;高考;求解方法
一、向量數(shù)量積
1.向量數(shù)量積的定義
在數(shù)學(xué)上,已知兩個(gè)非零向量、,那么(是與的夾角)就是與的數(shù)量積,記作·。向量的數(shù)量積是平面向量的重要內(nèi)容,是與高中數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)、解析幾何、平面幾何等知識(shí)點(diǎn)不可分割的,在歷年高考中都占有較大的比重。因此,向量的數(shù)量積問(wèn)題一直是高考的重點(diǎn),也是難點(diǎn)。
2.向量數(shù)量積的運(yùn)算律
向量數(shù)量積的運(yùn)算律主要有三個(gè),分別是交換律、數(shù)乘結(jié)合律和分配律。具體來(lái)看,交換律即·=·;數(shù)乘結(jié)合律是·=(·)=·;分配律指的是(+)=·+·。通過(guò)這三個(gè)運(yùn)算律,我們可以靈活有效地解答相關(guān)題型。
二、向量數(shù)量積的求解方法
向量數(shù)量積在數(shù)學(xué)中有著不可忽視的地位,而且是歷年高考的??碱}型。在2018年高考中多個(gè)省份的高考卷對(duì)此知識(shí)點(diǎn)都有涉及。因此,掌握向量數(shù)量積的求解方法對(duì)解題有很大的幫助。下面筆者以2018年高考天津卷為例,對(duì)向量數(shù)量積的求解方法進(jìn)行分析研究。
1.定義法
求解數(shù)量積的最基本的方法就是數(shù)量積的定義法。利用定義法,我們主要是根據(jù)已知向量的模長(zhǎng)和夾角進(jìn)行求解即可。
例1:已知并且的夾角為60°,則。
根據(jù)觀察,兩個(gè)向量的模長(zhǎng)和夾角已經(jīng)給出,我們知道其中為的夾角。所以,對(duì)于此題,我們使用定義法求解就可以得到答案。
。
2.基底表示法
基底表示法是依據(jù)平面向量的基本定理而對(duì)數(shù)量積進(jìn)行運(yùn)算的一種方法。若已知條件中沒(méi)有給出所求向量的要素,即所求向量的模長(zhǎng)和夾角,那么我們就可以用兩個(gè)合適的向量作為基底,來(lái)表示所求向量,進(jìn)而完成運(yùn)算。一般來(lái)說(shuō),基底的選擇主要依據(jù)三個(gè)原則:一是已知條件中出現(xiàn)的向量;二是已知模長(zhǎng)和夾角的向量;三是很容易表示所求向量的向量。
例2(2018年天津卷9題):在如圖的平面圖形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,=2,=2,則·的值為_(kāi)________。
此題我們發(fā)現(xiàn)題設(shè)中給出的角是,的夾角,并且給出的長(zhǎng)度也是ON,OM的長(zhǎng)度,而要求的是向量與向量的數(shù)量積,因此,如果把,作為基底,用這組基底來(lái)表示向量,那么問(wèn)題就迎刃而解了。因此,我們得到如下解法:
由于,因此我們有
。
3.幾何意義法
我們知道,它的幾何意義是:的模長(zhǎng)與在方向上投影的乘積。因此,求解數(shù)量積還有一種方法,就是利用其幾何意義求出答案。向量本身就是連接幾何和代數(shù)的紐帶,通過(guò)幾何意義法,我們可以從深層次了解它們之間的關(guān)系,也可以更快速地解決問(wèn)題。
例3:在菱形ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,若AO=2,則=_______。
如圖所示:的幾何意義是的模長(zhǎng)與在方向上投影的乘積。由于四邊形ABCD是菱形,因此AC⊥BD。因此我們知道在方向上的投影為AO,從而根據(jù)向量的幾何意義可以得到。
4.坐標(biāo)法
我們知道,向量有兩種表示形式,分別是幾何形式和代數(shù)形式,那么既然有代數(shù)形式,我們遇到一些問(wèn)題也可以用其代數(shù)形式及代數(shù)的性質(zhì),即坐標(biāo)法來(lái)處理。坐標(biāo)法是通過(guò)建立直角坐標(biāo)系,把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)求解的一個(gè)過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中,向量的數(shù)量積運(yùn)算和數(shù)量的代數(shù)運(yùn)算相聯(lián)系,從而數(shù)與形得到緊密地聯(lián)系,大大降低了做題的難度。
例4:已知,,,并且,求的最大值。
我們發(fā)現(xiàn)此題中有,因此我們?cè)噲D用向量運(yùn)算的代數(shù)方法來(lái)處理。以A為坐標(biāo)原點(diǎn),所在的直線為x軸,所在的直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則有,,。
因此有,從而得到,所以我們有,,
故有
,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),從而有的最大值為13.
本題抓住了這一條件,從而建立平面直角坐標(biāo)系,把向量問(wèn)題用其代數(shù)形式處理,最后轉(zhuǎn)化為函數(shù)運(yùn)算,給我們的解題提供了很多的方便。一般情況下,除了有明顯的垂直,我們可以建直角坐標(biāo)系外,如在等腰三角形,等腰梯形等圖形中也可以考慮用坐標(biāo)法處理向量的相關(guān)問(wèn)題。
總結(jié)
平面向量是既有大小又有方向的量,具有代數(shù)和幾何的雙重性質(zhì)。其中,向量的數(shù)量積是平面向量的重要內(nèi)容。對(duì)向量數(shù)量積的求解是近幾年高考考察的常見(jiàn)題型。因此,掌握向量數(shù)量積的求解方法是至關(guān)重要的。我們可以通過(guò)定義法、基底表示法、幾何意義法和坐標(biāo)法等對(duì)數(shù)量積問(wèn)題進(jìn)行求解,從而達(dá)到化難為易的效果,使問(wèn)題快速解決。
參考文獻(xiàn)
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