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    轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)競(jìng)賽代數(shù)問題解題中的應(yīng)用

    2019-09-10 07:22:44賈立忠魏言釗莊惠靈
    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)解題轉(zhuǎn)化思想

    賈立忠 魏言釗 莊惠靈

    摘 要:從條件的轉(zhuǎn)化、結(jié)論的轉(zhuǎn)化、特殊到一般的轉(zhuǎn)化以及數(shù)與形的轉(zhuǎn)化四個(gè)方面,闡述轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)競(jìng)賽代數(shù)問題解題中的應(yīng)用.

    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)競(jìng)賽;數(shù)學(xué)解題;轉(zhuǎn)化思想

    [中圖分類號(hào)]G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

    Analysis of the Application of Conversion Thought in Solving Problems in Mathematical Competition Algebra

    JIA Lizhong1,WEI Yanzhao1,ZHUANG Huiling2

    (1. The First High School of Mudanjiang, Mudanjiang 157000, China;2. School of Mathematical Sciences, Mudanjiang Normal University, Mudanjiang 157011, China)

    Abstract:This paper mainly expounds the application of conversion thought in the problem solving of mathematical competition algebra problem from four aspects: the conversion of conditions, the conversion of conclusions, the conversion from special to general and the conversion of numbers and forms.

    Key words:mathematical competition; Mathematical problem solving; the conversion thought

    轉(zhuǎn)化思想在求解數(shù)學(xué)競(jìng)賽代數(shù)問題時(shí)有著廣泛的應(yīng)用,一些代數(shù)問題看起來錯(cuò)綜復(fù)雜,但卻可以通過轉(zhuǎn)化、變形使問題化繁為簡(jiǎn).在求解數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的代數(shù)問題時(shí),常常會(huì)涉及到轉(zhuǎn)化思想,本文從數(shù)列、多項(xiàng)式、函數(shù)方程、復(fù)數(shù)四個(gè)方面的代數(shù)問題入手,以典型實(shí)例分析轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)競(jìng)賽解題中的應(yīng)用.

    1 條件的轉(zhuǎn)化

    在求解數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的代數(shù)問題時(shí)常??梢詮囊阎獥l件入手,通過變量代換、構(gòu)造、局部調(diào)整等方法使復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為常見問題,其解題的關(guān)鍵就是條件的轉(zhuǎn)化.

    分析:首先從已知條件入手,通過拆分、移項(xiàng)得到一個(gè)較為明確的遞推關(guān)系,然后再通過構(gòu)造輔助數(shù)列,得到一個(gè)關(guān)于新數(shù)列的關(guān)系式,最后依據(jù)兩數(shù)列之間的關(guān)系,化簡(jiǎn)求得原數(shù)列的通項(xiàng)公式.當(dāng)已知條件較為復(fù)雜時(shí),往往可以借助一些數(shù)學(xué)方法,將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化,從而通過逐步調(diào)整得到所求結(jié)論.

    2 結(jié)論的轉(zhuǎn)化

    數(shù)學(xué)競(jìng)賽中有一些代數(shù)問題,直接求解不易,這就需要換一種角度進(jìn)行思考,即從問題的結(jié)論出發(fā)做等價(jià)轉(zhuǎn)化,或者從結(jié)論的反面出發(fā),先假設(shè)結(jié)論的反面成立,然后得出與已知相矛盾,從而達(dá)到證明結(jié)論正面成立的目的.反證法體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化結(jié)論在解題中的應(yīng)用.

    分析:直接證明多項(xiàng)式不可約比較困難,因此,可以先假設(shè)多項(xiàng)式可約,然后結(jié)合待定系數(shù)法得到有關(guān)系數(shù)的等式,再利用韋達(dá)定理聯(lián)系根與系數(shù)的關(guān)系,最終所得的關(guān)系式與已知不符,即可證明多項(xiàng)式在整系數(shù)范圍內(nèi)不可約.這類問題的解題關(guān)鍵是將所要證明的結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化,通過證明等價(jià)結(jié)論成立,或者結(jié)論的反面不成立,進(jìn)而使問題得證.

    3 特殊到一般的轉(zhuǎn)化

    在解題過程中,如果很難找到條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系,則可以從特殊情況入手考慮,通過一次或多次的賦值使得問題更加直觀化、簡(jiǎn)單化,然后再結(jié)合代數(shù)的一些特性和已知的結(jié)論,適時(shí)對(duì)問題做一般化處理.

    例3(第35屆IMO試題) 設(shè)S是所有大于-1的實(shí)數(shù)集合,確定所有的函數(shù)f:S→S,使得滿足下面兩個(gè)條件:

    分析:本題的解題關(guān)鍵是從特殊到一般的轉(zhuǎn)化.首先,將方程中的未知量賦予特殊值,然后利用整體思想,找出函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn),再根據(jù)具體問題分類討論,并結(jié)合函數(shù)的性質(zhì),排除不符合題意的結(jié)論,最終得到滿足條件的函數(shù)解析式.在求解此類問題時(shí),通常從特殊情況入手,并進(jìn)行逐步調(diào)整,將其轉(zhuǎn)化為一般形式,進(jìn)而得到最終結(jié)果.

    4 數(shù)與形的轉(zhuǎn)化

    近幾年數(shù)學(xué)競(jìng)賽代數(shù)問題的綜合性越來越強(qiáng),一些代數(shù)問題往往具有幾何的特性,因此在求解時(shí)可以借助代數(shù)與幾何之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成幾何問題進(jìn)行求解.這樣既能發(fā)揮代數(shù)的優(yōu)勢(shì),又可以充分利用幾何直觀,借助形象思維獲得出奇制勝的精巧解法.

    分析:本題的解題關(guān)鍵是利用復(fù)數(shù)的幾何意義,將復(fù)數(shù)表示為平面上的點(diǎn),將復(fù)數(shù)的??醋魇莾牲c(diǎn)間的距離,使問題更加直觀化.除此之外,該題還可以利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行求解,但解題過程就要復(fù)雜許多,因此利用數(shù)形結(jié)合的解題策略可以達(dá)到簡(jiǎn)化解題過程的目的.在求解這類問題時(shí),要抓住數(shù)與形的對(duì)應(yīng)關(guān)系,必要時(shí)可以建立直角坐標(biāo)系,從幾何的角度求解代數(shù)問題.

    5 總結(jié)

    一個(gè)人解決代數(shù)問題體現(xiàn)出來的能力,是根據(jù)問題情境運(yùn)用各種手法重組已知條件的能力,以及正確、迅速地檢索、選擇和提取相關(guān)代數(shù)知識(shí),并及時(shí)轉(zhuǎn)化為適當(dāng)操作程序的能力.從不同角度和已知的各種概念分析代數(shù)問題時(shí),所運(yùn)用的解題方法也各不相同.在分析的過程中,既可以從條件、結(jié)論出發(fā),也可以從特殊情況入手,必要時(shí)還可以借助代數(shù)與幾何間的關(guān)系,化抽象為具體,這也是求解數(shù)學(xué)競(jìng)賽中代數(shù)問題的基本思想.

    參考文獻(xiàn)

    [1] 朱華偉,錢展望. 數(shù)學(xué)解題策略[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2009. 8384.

    [2] 劉影,程曉亮. 中學(xué)競(jìng)賽數(shù)學(xué)[M]. 北京: 北京大學(xué)出版社, 2012. 93104.

    [3] 沈文選,楊清桃. 高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽解題策略代數(shù)分冊(cè)[M]. 浙江: 浙江大學(xué)出版社, 2014. 139153,281291.

    [4] 沈文選,張垚,冷崗松. 奧林匹克數(shù)學(xué)中的代數(shù)問題[M]. 湖南: 湖南師范大學(xué)出版社, 2009. 213227.

    [5] 呂松濤. 高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽解題思維與命題研究[D]. 廣東: 廣州大學(xué), 2007.

    編輯:吳楠

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