莫愁高考無途徑，復(fù)習(xí)例題皆有數(shù)

摘 要：本文針對(duì)高中數(shù)學(xué)課本例題與高考數(shù)學(xué)的真題之間的聯(lián)系展開討論，主要表達(dá)高考數(shù)學(xué)真題源于課本，卻高于課本的理念，提出學(xué)生備考時(shí)應(yīng)該回歸課本的復(fù)習(xí)建議。本文的目的在于，給老師和學(xué)生們一些關(guān)于高考備考的思路與啟發(fā)，希望能起到拋磚引玉的作用。

關(guān)鍵詞：高考數(shù)學(xué);課本例題

高考一直是高中教育關(guān)注和重視的焦點(diǎn)，因?yàn)樗衔覈?guó)的應(yīng)試教育的特點(diǎn)，也具有選拔學(xué)生的能力。隨著教育理念的不斷發(fā)展，高考對(duì)學(xué)生的考察目的也在與時(shí)俱進(jìn)地發(fā)生著改變，不僅要求學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)足夠扎實(shí)，還要求學(xué)生具有較高水平的核心素養(yǎng)，高考數(shù)學(xué)亦是如此[1]。通過對(duì)課本例題和近幾年高考真題的分析與探討可以發(fā)現(xiàn)，不管高考數(shù)學(xué)如何更改題型和內(nèi)容，課本的例題始終是高考原題的基礎(chǔ)，因此學(xué)生備考時(shí)應(yīng)抓住關(guān)鍵部分，理解并充分利用好課本中的例題。

一、例題深析

課本中的例題、習(xí)題以及課后思考題都是根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求選取的題目，具有典型性和實(shí)用性，值得學(xué)生和老師進(jìn)行深入研究。平時(shí)的學(xué)習(xí)中，師生一定要重視課本例題的研究，充分挖掘題目的內(nèi)涵，發(fā)現(xiàn)相互之間的聯(lián)系，再做到深挖背景、重復(fù)利用，就能達(dá)到事半功倍的效果。以高中數(shù)學(xué)人教版選修2-1中p70例5：如圖，

過拋物線y2=2px的焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，通過點(diǎn)A與拋物線頂點(diǎn)的直線與拋物線相交于點(diǎn)D，求證直線DB平行于拋物線的對(duì)稱軸。教材中的解法為：第一步建立坐標(biāo)軸，以拋物線的對(duì)稱軸為x軸，頂點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，此時(shí)拋物線的方程為y2=2px;第二步設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（），直線OA的解析式為;第三步列出準(zhǔn)線解析式，聯(lián)立第二步與第三步可以得到D點(diǎn)的縱坐標(biāo);第四步根據(jù)F（）求得直線AF解析式為;聯(lián)系第一步和第四步得到B點(diǎn)的縱坐標(biāo);最后就能證明直線DB∥x軸，除了理解和掌握例題的步驟與解法之外，師生還要關(guān)注到其他與高考相關(guān)的方面，即該例題出現(xiàn)的特殊的點(diǎn)與線，即焦點(diǎn)與準(zhǔn)線。如果老師和學(xué)生深入探究下去，能得到以下結(jié)論：設(shè)B點(diǎn)是拋物線y2=2px上的定點(diǎn)，A點(diǎn)位于拋物線內(nèi)，直線AB∥x軸，P點(diǎn)是拋物線上異于B點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，直線PA與拋物線相交于Q點(diǎn)，直線PB與拋物線相交于M點(diǎn)，則有MQ∥x軸。在以下題目中：已知拋物線y=x2+bx與直線y=2x+4交于A（a，8）、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上A、B之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作x軸、y軸的平行線與直線AB交于點(diǎn)C和點(diǎn)E，求拋物線的解析式。解題時(shí)，學(xué)生就可以把例題普遍化的結(jié)論運(yùn)用在其中。

課本中的例題因?yàn)榈湫?，所以值得老師和學(xué)生深入分析。在探究時(shí)，應(yīng)該與高考考題趨勢(shì)相結(jié)合進(jìn)行研究，證明類型的例題則可以當(dāng)做結(jié)論進(jìn)行應(yīng)用。因此學(xué)習(xí)例題不應(yīng)該浮與淺表，應(yīng)沉浸其中，發(fā)現(xiàn)規(guī)律與聯(lián)系：一道證明性質(zhì)的例題，可以得到普遍化的結(jié)論，并應(yīng)用在平時(shí)的解題中。

二、真題探究

因?yàn)楦呖济}有著“來源于課本，高于課本”的特點(diǎn)，所以深入探討課本上的例題是十分關(guān)鍵的[2]。如果課本例題直接出現(xiàn)在高考題中，就可以凸顯例題的典型性，例如高考中曾以高中選修2-1P78的例題為原型改編，已知O、A、B三點(diǎn)共線，且（m、n∈R，mn>0），則的最小值是多少？主要考察的是學(xué)生的思維能力;一些課本例題得到的結(jié)論也會(huì)被應(yīng)用在高考中，這也表現(xiàn)了高考的靈活特點(diǎn)，又如人教版必修2p130例題中，直線y=x-2與拋物線y2=2px相交于A、B，求證OA⊥OB，就與考試中一道題：直線l過定點(diǎn)（2p，0），與拋物線y2=2px相交于A、B，當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，S△AOB最小，有著異曲同工之處，因此學(xué)生熟練掌握課本例題就能縮短解題的時(shí)間;有些高考題目就是通過多重變化課本例題得到的，比如2007年高考江西卷第15題，△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線交AB、AC不同的兩點(diǎn)M、N，若，則m+n的值是多少？就把課本上多道例題一齊綜合在一起，所以學(xué)生平時(shí)思考題目時(shí)要多多發(fā)散。

以統(tǒng)計(jì)分析的考題舉例，高中時(shí)期接觸的統(tǒng)計(jì)概率知識(shí)還比較淺表，所以考察的內(nèi)容知識(shí)比較零碎、覆蓋面較廣，但根據(jù)最近幾年的全國(guó)新課標(biāo)I卷的趨勢(shì)分析，高考對(duì)“統(tǒng)計(jì)概率”的要求越來越嚴(yán)格，難度也越來越大。在2016年全國(guó)新課標(biāo)理科Ⅲ卷的第18題中，向考生展示了一幅2008-2014年生活垃圾無害化處理量的折線圖，要求考生根據(jù)折線圖運(yùn)用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，并預(yù)測(cè)2016年生活化垃圾無害化處理量，考查難度比較大。這道高考題也在提示老師和學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)是最關(guān)鍵，概率與統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)在選修2-3中，學(xué)生必須仔細(xì)的理解其中的含義;其次便是知識(shí)的互相聯(lián)系，概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)看似簡(jiǎn)單，但和幾何、數(shù)列聯(lián)系在一起解題便會(huì)有一定難度，學(xué)生在平時(shí)也要多留意相關(guān)題型;最后最重要的部分，就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，只有綜合能力達(dá)到了一定水平，才會(huì)更加思路清晰、計(jì)算準(zhǔn)確地解題。

根據(jù)對(duì)近幾年高考考題的分析，可以得到高考命題逐漸與課本例題靠近的結(jié)論，其主要考察學(xué)生是否理解課本例題的內(nèi)涵，例題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想以及學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力。

三、備考策略

高三學(xué)生復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)方式，大多都是做題、考試、總結(jié)錯(cuò)題的無限循環(huán)，在備考的道路上磕磕絆絆的走著，充滿著疲憊與艱辛。這些程序當(dāng)然是必不可少的，至少代表著高中應(yīng)試教育的特點(diǎn)，學(xué)生至少要明確高考考察的具體要求，這代表著今后備考的方向。

通過對(duì)課本例題的深入分析可知，課本例題時(shí)高考命題的“源泉”，大多高考題都是例題的變形體，所以學(xué)生在備考過程中，要注重理解教材中的例題，探究其中的數(shù)學(xué)思想和知識(shí)聯(lián)系，還要靈活應(yīng)用例題給出的結(jié)論;通過對(duì)高考題目的觀察和總結(jié)可得，高考的考察重心逐漸往能力方面轉(zhuǎn)移，考察的知識(shí)點(diǎn)慢慢深化，需要學(xué)生對(duì)概念足夠清晰，還對(duì)學(xué)生的綜合能力有了更高的要求。例如2014年全國(guó)新課標(biāo)I卷第21題第2問，，曲線y=f（x）在（1，f（x））處的切線方程為? ? ，證明f（x）>1，這道高考題屬于難題，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)要求很高。這道高考題可以有兩種解法，一是直接求導(dǎo)，利用二分法和數(shù)值放縮的方法解題;二是對(duì)指對(duì)函數(shù)進(jìn)行分離變形，構(gòu)造出新的函數(shù)解題。這一道問題利用不等式把指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)聯(lián)系在了一起，看似平凡卻又不平凡，其中不等式都來源于高等數(shù)學(xué)的泰勒公式。因此高考的高檔題往往與大學(xué)高等數(shù)學(xué)的知識(shí)有著密切聯(lián)系，所以老師在講解這種題型時(shí)，不妨教授學(xué)生一些簡(jiǎn)單的大學(xué)知識(shí)和思想，例如微積分的知識(shí)理論和數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生在面對(duì)高檔題時(shí)可以從不同角度切入思考并解題。

關(guān)于高三學(xué)生的備考，首先要注重教材中基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，其次要理解和拓展教材中的例題、習(xí)題以及思考題，最后還要培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想和素養(yǎng)能力[3]，比如學(xué)學(xué)習(xí)選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程p38例題4時(shí)，AB、CD是中心O的橢圓的兩條相交弦，交點(diǎn)為P，兩弦與橢圓長(zhǎng)軸的交角∠1=∠2，求證，首先要學(xué)會(huì)理解、計(jì)算例題，其次還要與圓錐曲線的類似題型聯(lián)系在一起，最后還可以將這些四點(diǎn)共圓的題目總結(jié)出定理，如設(shè)點(diǎn)A是定圓錐曲線M上的定點(diǎn)，但不是頂點(diǎn)，C、D是M上的動(dòng)點(diǎn)，直線AC、AD的斜率互為相反數(shù)，則直線CD的斜率為曲線M過點(diǎn)A的切線斜率的相反數(shù)，也是定值。做題是必不可少的環(huán)節(jié)，但也不是不可取代的部分，更重要的是學(xué)生的思考。高考數(shù)學(xué)的命題沒有技巧與套路，但高考數(shù)學(xué)的考察目的有一定的規(guī)律可循，學(xué)生一定要把握利用好課本中的例題。

四、總結(jié)

總之，高考沒有想象中登天之難，也充滿著無限的可能與挑戰(zhàn)。新課標(biāo)的要求與高考大綱同時(shí)在為老師和學(xué)生指明方向，“回歸課本，理清知識(shí);重視能力，提高思想品質(zhì)”才是最有效的備考途徑。今后高考的方向也會(huì)往基礎(chǔ)知識(shí)和綜合能力的考察靠攏，所以學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)時(shí)要回歸課本，增強(qiáng)綜合能力時(shí)要及時(shí)深入探究。

參考文獻(xiàn)

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作者簡(jiǎn)介：方壯彬（1975.03-），男，廣東普寧人，理學(xué)學(xué)士，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)