高中數(shù)學(xué)思想方法之分類討論的研究

夏耀健

高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，除要求學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識外，還要培養(yǎng)數(shù)學(xué)的思想方法和意識，它不僅是數(shù)學(xué)的靈魂和精髓，還是學(xué)生對數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識和對所使用的方法和規(guī)律的理性認(rèn)識。同時(shí)它可以有效地促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，教師產(chǎn)生有深度的課堂氛圍。

常見的數(shù)學(xué)思想方法：分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸和轉(zhuǎn)化思想等。重視對這些思想方法的滲透運(yùn)用，不僅有利于學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的真諦，學(xué)會用數(shù)學(xué)思想思考問題，掌握解決數(shù)學(xué)問題的途徑、策略，還能提高學(xué)生的核心素養(yǎng)、分析問題和解決問題的能力。

其中分類討論思想是歷年高考的必考內(nèi)容，它不僅是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，而且是高考的難點(diǎn)。每年在中檔題或高檔題中甚至在低檔題中都設(shè)置分類討論的題目，因?yàn)橥ㄟ^分類討論的考查，可以推斷學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和分析問題、解決問題的能力。所以本文重點(diǎn)研究了分類討論思想在高中數(shù)學(xué)常見題型中的應(yīng)用，以便學(xué)生更加容易去理解和運(yùn)用這種思想方法。

一、分類討論的原則和一般步驟

1.分類討論的原則

分類討論思想是當(dāng)問題的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對研究的對象按某個標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，然后對每一類分別研究，給出每一類的結(jié)論，最終集合各類結(jié)果得到整個問題的解答。實(shí)質(zhì)上分類討論就是“化整為零，各個擊破，再集零為整”的數(shù)學(xué)思想。

科學(xué)的分類滿足三個原則：（1）分類應(yīng)按同一個標(biāo)準(zhǔn);（2）分類應(yīng)是完備的;（3）分類應(yīng)是純粹的。

2.分類討論的一般步驟

（1）確定討論的對象和所要討論的取值范圍;（2）合理分類：不重復(fù)、不遺漏、劃分討論只能按統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn);（3）討論應(yīng)逐級進(jìn)行，不能越級，逐類、逐段討論;（4）最后歸納并得出結(jié)論。切記，能不分類的要盡量避免，決不無原則地去分類討論，增加計(jì)算量。

二、分類討論思想在高中數(shù)學(xué)

常見題型中的應(yīng)用

1.根據(jù)數(shù)學(xué)的概念來確定分類標(biāo)準(zhǔn)

由數(shù)學(xué)概念而引起的分類討論，概念分類整合即利用數(shù)學(xué)中的基本概念對研究對象進(jìn)行分類，如集合的定義、絕對值的定義、不等式的轉(zhuǎn)化、實(shí)系數(shù)一元二次方程的根的定義、直線的傾斜角等，然后分別對每類問題進(jìn)行解決。解決此問題可以分解為三個步驟：分類轉(zhuǎn)化、依次求解、匯總結(jié)論。匯總結(jié)論就是對分類討論的結(jié)果進(jìn)行整合，這個步驟很重要。

【例題】已知集合A={1.3.? ? ?}，

B={1，m}，A∪B=A， 則m=（? ? ? ）

A.0或? ? ? ? B.0或3

C.1或? ? ? ? D.1或3

思路剖析：在集合的運(yùn)算中要注意元素的無序性和互異性，元素與集合、集合與集合之間關(guān)系的分類討論。

解：A∪B=A? ?B? A? ∴m=? ? ?或m=3

m=0或1或3，經(jīng)驗(yàn)m=1（舍）故選B

2.根據(jù)數(shù)學(xué)中的定理、公式和性質(zhì)來確定分類標(biāo)準(zhǔn)

由性質(zhì)、定理、公式的限制而引起的分類討論：如函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式、無窮等比數(shù)列各項(xiàng)和、等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式等數(shù)學(xué)中的某些公式、定理、性質(zhì)在不同條件下有不同的結(jié)論，在運(yùn)用它們時(shí)，就要分類討論，分類的依據(jù)是公式中的條件。

3.根據(jù)運(yùn)算的需要確定分類標(biāo)準(zhǔn)

由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求而引起的分類討論：如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)數(shù)，對數(shù)運(yùn)算中真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的要求，不等式中兩邊同乘以一個正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)的定義域等。

【例題】（2011上海高考）已知函數(shù)f（x）=a·2x+b·3x，其中常數(shù)a，b滿足ab≠0。

（1）若ab>0，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性;（2）若ab<0，求f（x+1）>f（x）時(shí)x的取值范圍。

思路剖析：此題的第1小題運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，對a，b同號及異號進(jìn)行討論，而第2小題則是在運(yùn)算的過程中需要對a是否大于零進(jìn)行討論。

解：（1）當(dāng)a>0，b>0，則f（x）為單調(diào)遞增，當(dāng)a<0，b<0，則單調(diào)遞減。

（2）f（x+1）-f（x）=a·2x+b·3x>0

當(dāng)a<0，b>0時(shí)，

當(dāng)a>0，b<0時(shí)，

4.根據(jù)圖形的位置、形狀分類整合

圖形的位置、形狀分類整合是指由幾何圖形的不確定性而引起的分類討論，如一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象，對數(shù)函數(shù)的圖象等，這種方法也適用于幾何圖形中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的研究以及解析幾何中直線與圓錐曲線的位置關(guān)系。

5.根據(jù)含參數(shù)問題的分類討論

某些含有參數(shù)的問題，由于參數(shù)的取值不同會導(dǎo)致所得的結(jié)果不同，需對參數(shù)進(jìn)行討論，或者由于對不同的參數(shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法等。如含參數(shù)的方程、不等式、函數(shù)等。解決這類問題需要合理確定分類標(biāo)準(zhǔn)，討論中做到不重不漏，結(jié)論整合要周全。

例1.設(shè)奇函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，當(dāng)x>0時(shí)，f（x）=? ? ? ? ? ? （這里m為正常數(shù)）。

若f（x）≤m-2對一切x≤0成立，則m的取值范圍為? ? ? ?。

思路剖析：利用函數(shù)奇偶性對稱性的性質(zhì)以及基本不等式，可以求出當(dāng)x<0的函數(shù)f（x）的最大值，但是當(dāng)x=0時(shí)必須要分開討論，否則就遺漏了m的另一部分的范圍，故分類討論一定要周全，不重不漏。

解：當(dāng)x>0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x=m等號成立，

因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以當(dāng)x<0時(shí)，f（x）max=1-2m

又因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)，f（0）=0

∴

三、簡化和避免分類討論的技巧

分類討論的思想是一種重要的解題策略，對于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性、嚴(yán)謹(jǐn)性和靈活性以及提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力無疑具有較大的幫助。但它不是萬能的。分類討論思想解題的實(shí)質(zhì)是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的思維策略，但同時(shí)還要注意充分挖掘求解問題中潛在的特殊性和簡單性，盡可能消除“討論因素”，靈活地采用相對應(yīng)的解題策略，適當(dāng)作一些“技術(shù)處理”，簡化或避免分類討論，往往能給解題帶來事半功倍之效，避免分類討論常見的解題策略有：直接回避、變更主元、整體考慮、反客為主等等。

1.通過逆向思維避免分類討論

當(dāng)問題不易直接求解，需要更多的討論時(shí)，可考慮它的反面，通過對其反面情況的分析研究，使問題得到解決。

【例題】在報(bào)名的8名男生和5名女生中，選取6人參加志愿者活動，要求男、女生都有，則不同的選取方式的種數(shù)為 1688 （結(jié)果用數(shù)值表示）。

思路剖析：對于排列組合或概率的題目，可以通過分類討論去解決比較復(fù)雜的問題。但是此題若直接做要分5類，反而麻煩，所以考慮它的對立面，用間接法，通過逆向思考就變得簡單了。

解：

2.含參數(shù)問題可構(gòu)造函數(shù)或分離參數(shù)簡化分類討論

3.結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想避免或簡化分類討論

總之，分類討論是數(shù)學(xué)中一種重要的思想方法，也是重要的解題策略。由于很多數(shù)學(xué)問題很難用統(tǒng)一的方法去解決，若將其劃分為若干個局部問題，每個局部問題就顯得容易解決了，特別是含參數(shù)字母的問題，也是近幾年來高考重點(diǎn)考查的熱點(diǎn)問題之一，需要逐類分別加以討論，探求出各自的結(jié)果，最后歸納出命題的結(jié)論，以達(dá)到化難為易、化繁為簡、解決問題的目的。