全等三角形判定與解三角形的聯(lián)系

康洪昊

摘 要：本文研究全等三角形判定與解三角形的聯(lián)系—兩邊一角判定三角形全等。得出結論：兩邊一角僅有SAS能判定三角形全等，如果是SSA（邊邊角）的話不一定能判定三角形全等，但是如果兩個三角形滿足SSA再加上以下三個條件之一：1、已經角為鈍角;2、另外已知邊的對角不互補;3、已知角的對應邊的長度大于另一已知邊是長度時;就可以判定這兩個三角形全等。最后，本論文還以例題的方式說明了其應用性。

關鍵詞：全等三角形判定;解三角形;邊邊角判定

1.引言

三角形的相關知識在中小學非常重要，在本論文中為了方便表述，一般把三個角分別為ABC的三角形寫作△ABC，角用“∠”表示，采用角度制，其中角A的對邊BC記為a，角B的對邊AC記為b，角C的對邊AB記為c。本論文主要研究三角形全等的判定和解三角形兩個知識點的分析以及他們的聯(lián)系。

三角形全等的判定和解三角形這兩個知識點其實通俗易懂。初中學全等三角形的判定有SSS，SAS，ASA，AAS，HL;而高中學的已知三角形的三個元素，解三角形。

這里給一個特殊例子：已知△ABC，∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，解△ABC？

這類題目也是知道三角形的三個元素，解三角形，但由于所給的元素有遞推元素，就是三角形已知兩個角可以求出剩下一個角，故實際只是給出兩個元素，導致有無窮多組解！

本論文所說的關于解三角形所給的元素不包括以上情形的，都是可以解三角形的。

由人教版八年級上冊數學書教材指出，全等三角形的判定方法有：（1）邊邊邊（簡寫“SSS”）：已知兩三角形三條邊對應相等，則兩個三角形全等。（2）邊角邊（簡寫“SAS”）：已知兩三角形兩條邊對應相等且這兩條邊的夾角也相等，則兩個三角形全等。（3）角邊角（簡寫“ASA”）：已知兩三角形兩條角對應相等且他們的夾邊也相等，則兩個三角形全等。（4）角角邊（簡寫“AAS”）：已知兩三角形兩條角對應相等且其中一個角的對邊也相等，則兩個三角形全等。（5）斜邊、直角邊（簡寫“HL”）：已知兩個直角三角形的斜邊與直角邊對應相等，則兩個三角形全等。[1]由人教版高中數學必修5教材可知，一般地，我們把三角形的三個角及其對邊分別叫做三角形的元素。已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形。解三角形過程中主要用到正弦定理和余弦定理。

2.全等三角形與解三角形的聯(lián)系

上面5條三角形全等判定定理都說明了：要判定兩個三角形全等，都至少要有他們的三個元素對應相等（第5條暗藏兩三角形直角對應相等）。一般地，解三角形的例題和習題中，一定是給出的三角形已知元素是3個，解三角形的結果可能無解，也可能有唯一解，也可能有兩個解。他們的共同點：都是給出的條件是三個元素，最后求整體！以下主要對三角形有解的情況下，解是否唯一進行研究和討論。

2.1例題組分析

這五組例題都有共同的地方，每組例題第一小題已知的三個對應相等的元素與同組第二小題已知的三個元素完全對應，那么問題答案是不是一樣呢？

通過解答，每組例題第一小題兩個三角形都全等，第二小題解三角形中，前面兩組都是可以通過余弦定理解出其他元素并且只有一種結果;第三、四組可以通過三角形的兩個角求出第三個角再用正弦定理求出邊的長度，結果也是只要一種;第五題通過正弦定理求出∠B的值，但因為∠A=90°所以∠B<90°排除一個解，結果還是只有一個解。

以我個人觀點，如果給出的條件可以證明兩個三角形全等，那么這些條件以具體數值確定后，三角形是固定的，所以在可以解除三角形的前提下得出三角形的解是唯一的。

2.2得出推理1

通過以上例子的結果可以得出一個推理，“在證明兩個三角形全等時，如果給出的條件可以證明兩三角形全等，那么這些對應條件給出合理數值后也可以得出三角形的解唯一?！保ㄒ韵路Q推理1）

那么，推理1的逆命題是不是也成立呢？也就是說“如果在解三角形過程中，題目給出某些元素的合理數值后使得三角形有唯一解，那么這些元素對應相等的兩個三角形全等?！保ㄒ韵路Q推理2）成不成立？

解三角形知識是在高中數學必修5第一章出現(xiàn)的，我認真研究了那一章，發(fā)現(xiàn)一般的解三角形題目都是間接或者直接給3個元素解三角形。其實，如果只是已知2個元素的話，三角形是有無窮多組解的，故至少要已知3個元素，這3個元素有：三條邊、兩邊一角，兩角一邊三種情況。

邊：推理2如果已知的元素是三條邊時，推理2明顯成立！

兩角一邊：推理2如果已知的元素是兩角一邊時，推理2明顯成立！

兩邊一角：推理2如果已知的元素是兩邊一角時，就不一定了，

角是兩邊的夾角：推理2明顯成立！

角是其中一條已知邊的對角：當遇到這種情況，解三角形結果就有兩種可能的情況，有兩個解或者有一個解，如高中數學人教版B版必修5第4頁的例題[2]。

已知△ABC，根據以下條件，求相應的三角形中其他邊和角的大小

所以，由于當知道三角形的兩邊一角，其中一個角是已知邊的對角時，三角形并不一定只有唯一解，所以不能以此斷定相應元素相等的兩個三角形全等。

其實，初二教材已經有圖例說明指出（圖2.2.2），“邊邊角”定理會出現(xiàn)以下兩種情況的三角形，是不能證明三角形全等的！

事實上，除了兩邊一角，如果在解三角形過程中，題目給出某些元素的合理數值后使得三角形有唯一解，那么這些元素對應相等的兩個三角形全等。

2.3解三角形會出現(xiàn)兩個解的原因分析

我們知道，三角形內角范圍在0°到180°，而正弦函數y=sinx°在定義域區(qū)間（0，180）中是先增后降的，所以當給出函數值時，自變量在區(qū)間（0，180）會有兩個對應值，所以如果兩個都符合題意的話，就有兩個解。

如果在解三角形過程中，題目給出某些元素的合理數值后使得三角形有兩個解，那么這些元素對應相等的兩個三角形就有兩個，所以不全等。

3.“邊邊角”判定問題的深層研究

那是不是所有“邊邊角”對應相等的三角形都不全等呢？以下來研究幾種特殊情況！

3.1已知角為鈍角

上面例題我們看出了，當給一個已知角是鈍角時，那么還是可以得出三角形有唯一解的，因為通過正弦定理可以得出另一個角，但是那個角一定不是鈍角，所以排除了一種可能，所以就得出唯一的三角形。那么當要已知角是鈍角時，“邊邊角”對應相等的三角形是不是全等呢？

3.4以上匯總

綜上所述，當給出“邊邊角”解三角形時，用正弦定理解出的第一個角有兩種情況，這兩個角度是互補的，但是，如果給定條件的已知角是鈍角，就可以排除一種情況，如果給定條件的兩邊有一定關系也可以排除一種可能的，以上情況都可以得到三角形的解是唯一的。

參考文獻

[1]人教版八年級上冊數學書教材.人民教育出版社，2014.6.

[2]人教版高中數學必修5教材.人民教育出版社，2007.4.