對(duì)一道模擬題的多解探究

☉江蘇省丹陽高級(jí)中學(xué) 張棟斌

三角形中的最值問題是解三角形問題中的重點(diǎn)與難點(diǎn)之一，也是新課標(biāo)大綱充分體現(xiàn)在“知識(shí)點(diǎn)交匯處”命題的一大陣地.通過活潑多樣的問題背景設(shè)置，題目形象直觀，條件中知識(shí)交匯點(diǎn)眾多，題目具有相當(dāng)?shù)碾y度，同時(shí)解決問題的思維方式多變，破解方法也多種多樣，一直是歷年高考、競(jìng)賽命題中的基本考點(diǎn)和熱點(diǎn)之一.

【例】（2019屆江蘇省無錫市高三上學(xué)期期末檢測(cè)·14）在銳角三角形ABC中，已知2sin2A+sin2B=2sin2C，則的最小值為______.

本題以銳角三角形ABC為問題背景，通過已知三角關(guān)系式2sin2A+sin2B=2sin2C，進(jìn)而求解三角形的三內(nèi)角的正切值倒數(shù)之和的最小值問題.題中涉及角的參數(shù)較多，且三內(nèi)角之間又相互關(guān)聯(lián)，可以通過題目條件的轉(zhuǎn)化，再借助基本的數(shù)學(xué)工具（二次函數(shù)、三角函數(shù)、基本不等式、導(dǎo)數(shù)等）來破解相應(yīng)的最小值問題.

結(jié)合題目中的三角關(guān)系式，從三角恒等變換的角度或從正弦定理與余弦定理的角度轉(zhuǎn)化，利用相關(guān)的三角形內(nèi)角和公式、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及三角恒等變換公式的應(yīng)用得到3tanA=tanC，再利用兩角和的正切公式得到tanB關(guān)于tanA的表達(dá)式，從而把三角式轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanA的表達(dá)式，最后利用基本不等式即可確定對(duì)應(yīng)的最值問題.

解法1：由2sin2A+sin2B=2sin2C，變形2sin2A-2sin2C=-sin2B，

可得2sin（A+C）sin（A-C）=-sin2B，

即有2sin（A-C）=-sinB，

那么2sinAcosC-2cosAsinC=-sinB=-sin（A+C）=-sinAcosC-cosAsinC，

即3sinAcosC=cosAsinC，亦即3tanA=tanC.

解法2：由2sin2A+sin2B=2sin2C，結(jié)合正弦定理可得2a2+b2=2c2，則有b2=2c2-2a2，

以下同解法1.

通過三角恒等變換的角度或從正弦定理與余弦定理的角度得到3tanA=tanC，利用斜三角形中的三角恒等式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，借助參數(shù)的引入加以轉(zhuǎn)化，并利用基本不等式或?qū)?shù)法即可確定相應(yīng)的最值問題.

解法3：由解法1或解法2可得3tanA=tanC，

設(shè)tanA=x，tanB=y，tanC=z，

結(jié)合斜三角形中的三角恒等式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，可得x+y+z=xyz，

又z=3x，代入整理要得4x+y=3x2y，即

解法4：由解法3可得，

結(jié)合題目中的三角關(guān)系式，先利用正弦定理得到b2=2c2-2a2，通過平面幾何作圖，過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，引入?yún)?shù)x，y，h，利用三角函數(shù)的定義分別可以確定tanA與tanC的表達(dá)式，或借助余弦定理的轉(zhuǎn)化并結(jié)合條件確定參數(shù)x，y之間的關(guān)系，再利用兩角和的正切公式得到tanB的相關(guān)表達(dá)式，從而把三角式轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)h與y的表達(dá)式，再利用基本不等式即可確定對(duì)應(yīng)的最值問題.

解法5：由2sin2A+sin2B=2sin2C，結(jié)合正弦定理可得2a2+b2=2c2，則有b2=2c2-2a2，

如圖1，過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，

設(shè)AD=x，CD=y，BD=h，

圖1

而（x+y）2=b2=2c2-2a2=2（x2+h2）-2（y2+h2）=2（x2-y2），整理可得x=3y，

解法6：由2sin2A+sin2B=2sin2C，結(jié)合正弦定理可得2a2+b2=2c2，則有b2=2c2-2a2，

如圖1，過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，

設(shè)AD=x，CD=y，BD=h，

以下同解法5.

結(jié)合題目中的三角關(guān)系式，先利用正弦定理得到2a2+b2=2c2，再通過余弦定理的轉(zhuǎn)化得到，利用對(duì)三角式的三角恒等轉(zhuǎn)化得到其值為，把問題轉(zhuǎn)化為求解三角函數(shù)關(guān)系式的最值問題，然后可以借助導(dǎo)數(shù)法等來破解.

規(guī)律總結(jié)

破解三角形中的最值問題，可以通過三角函數(shù)的角度或平面幾何的角度來切入，無論借助哪種思路來進(jìn)行破解，往往都綜合基本不等式求最值、三角函數(shù)求最值、數(shù)形結(jié)合求最值等方法與技巧來處理，充分體現(xiàn)了知識(shí)與方法的多樣性與全面化.

其實(shí)，對(duì)于解三角形問題與三角函數(shù)的有機(jī)巧妙融合問題，往往可以綜合提升不同的知識(shí)點(diǎn)間的整合與能力的拓展.同時(shí)，此類問題大都運(yùn)算量較大、公式應(yīng)用較多，要求我們不僅具有較高的運(yùn)算水平、較強(qiáng)的運(yùn)算能力和較好的記憶能力，還應(yīng)該善于審題，采用相應(yīng)的破解策略，全面優(yōu)化過程，提升解題效益，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng).