“稚化思維”下的數(shù)學(xué)解題教學(xué)

☉江西省贛州中學(xué) 謝小翔

數(shù)學(xué)離不開解題，但解題教學(xué)很容易異化為教師展示“特技”的舞臺(tái).臺(tái)上教師“精彩紛呈，滔滔不絕”，臺(tái)下學(xué)生“瞠目結(jié)舌，頂禮膜拜”.教師成了“演員”，學(xué)生自然只能充當(dāng)“觀眾”，解題教學(xué)就很容易陷入“懂而不會(huì)”、“會(huì)而不對(duì)”的怪圈.其實(shí)，成功的解題教學(xué)追求的是“深入淺出”.誠(chéng)然，教師的解題能力決定教學(xué)能否做到“深入”，而教師的教學(xué)水平則決定了在“深入”的基礎(chǔ)上能否實(shí)現(xiàn)“淺出”.只有“深入”而不能“淺出”的解題教學(xué)充其量只能是“紙上談兵”.因此，教師是否具備“稚化思維”的意識(shí)，能否采用“稚化思維”的策略開展課堂教學(xué)是檢驗(yàn)教師教學(xué)水平的重要依據(jù).

一、“蹲下身”，惑學(xué)生之所惑

學(xué)生的思維方式是教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的出發(fā)點(diǎn)，教師不要單純地以自己假想的問題和經(jīng)驗(yàn)作為解題教學(xué)的主要依據(jù)，而是要“蹲下身來”，立足學(xué)生的真實(shí)問題和已有經(jīng)驗(yàn)，思考學(xué)生可能出現(xiàn)的“困惑”，然后把這些“困惑”作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，從而“惑其所惑，疑其所疑”，幫助學(xué)生從原有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)中尋找知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn).

問題：如圖1，已知拋物線C的方程為x2=4y，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，過不在拋物線上的一點(diǎn)P作拋物線的切線PA，PB，A，B為切點(diǎn)，且PA⊥PB.

（1）求證：直線AB過定點(diǎn)；

意圖：一方面，通過本題能夠引出上課的主題，激發(fā)學(xué)生的求知欲；另一方面，通過學(xué)生的嘗試解答，暴露學(xué)生思維，發(fā)現(xiàn)存在的問題.

對(duì)于本題，全班的得分非常不理想，系統(tǒng)分析后，發(fā)現(xiàn)存在以下幾個(gè)問題：

圖1

先讓學(xué)生嘗試解答，然后進(jìn)行錯(cuò)誤分析，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的“真問題、實(shí)問題”，這為教師“站在學(xué)生認(rèn)知水平稚化解題思維”搭建認(rèn)知“腳手架”提供數(shù)據(jù)支撐.

二、“退一步”，難學(xué)生之所難

華羅庚曾經(jīng)說過：“善于‘退’，足夠地‘退’，‘退’到最原始而不失重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅.”教師的“退”一方面有助于教師進(jìn)行換位思考，體會(huì)到學(xué)生的困難所在，以學(xué)生實(shí)際的思維方式為基點(diǎn)來進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)；另一方面能縮小師生之間思維與認(rèn)知的“差距”，從而有助于實(shí)現(xiàn)教師思維的“學(xué)生化”，促進(jìn)教與學(xué)過程的自然融合.

不難發(fā)現(xiàn)，以下幾個(gè)“難點(diǎn)”對(duì)學(xué)生的解題造成了極大的困擾.

難點(diǎn)1：“已知拋物線上一點(diǎn)，求在這點(diǎn)的切線方程”.直接“求導(dǎo)”或者利用“Δ法”，需要耗費(fèi)大量的時(shí)間.如何能夠讓學(xué)生快速地寫出此類切線方程是解決問題的關(guān)鍵.我們不妨先從學(xué)生的已有認(rèn)知入手，學(xué)生已經(jīng)掌握了“求過圓上一點(diǎn)的切線方程”的方法，通過類比就容易得到過橢圓與拋物線上一點(diǎn)的切線方程.

難點(diǎn)2：“切線PA、PB與切點(diǎn)弦AB之間到底有什么關(guān)系？”可以從“圓的切線與切點(diǎn)弦”入手，然后把研究的結(jié)論類比到拋物線上，這樣學(xué)生就很容易理解問題的真相到底是什么.

設(shè)P（x0，y0）是圓外一點(diǎn)，兩條切線分別為PA、PB，A（x1，y1），B（x2，y2）為切點(diǎn)，則因?yàn)镻是兩條切線的交點(diǎn)，所以P也滿足切線方程.代入切線方程得由此可見，A，B兩點(diǎn)所表示的坐標(biāo)是方程xx0+yy0=r2的解，所以切點(diǎn)弦AB的方程就是xx0+yy0=r2.

容易發(fā)現(xiàn)，從結(jié)構(gòu)上看，切線與切點(diǎn)弦所在的直線是“同一個(gè)”，關(guān)鍵是看（x0，y0）在曲線上還是外.

運(yùn)用上述結(jié)論，本題的第（1）問就很容易解答.設(shè)P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），則直線AB的方程為xx0=2（y+y0），把它和拋物線方程x2=4y聯(lián)立得x2－2xx0+4y0=0?x1+x2=2x0，x1x2=4y0；易得，因?yàn)镻A⊥PB，所以x1x2=－4，y0=－1，即直線AB恒過（0，1）點(diǎn).

教師在難點(diǎn)處，不妨表現(xiàn)出“一籌莫展”的樣子，從而吸引學(xué)生的注意力，引發(fā)學(xué)生的深度思考，繼而在后續(xù)的探究中逐步發(fā)現(xiàn)高招，和學(xué)生一起破難、解難，直至最后師生共品勝利的果實(shí).

三、“裝糊涂”，錯(cuò)學(xué)生之所錯(cuò)

由于認(rèn)知障礙、理解偏差和思維習(xí)慣等方面的原因，學(xué)生難以避免地會(huì)犯一些知識(shí)性、方法性和“想當(dāng)然”的錯(cuò)誤.對(duì)學(xué)生而言，“犯錯(cuò)”并非是壞事，“錯(cuò)誤”有助于教師更好地了解學(xué)生的思維，甚至是很多學(xué)生必須要經(jīng)歷的思維階段.因此，教師可以適當(dāng)進(jìn)行“模擬”，“裝糊涂”一下，沿著學(xué)生的思路，故意和學(xué)生“一起犯錯(cuò)”，然后再回過頭來正視這一錯(cuò)誤，引導(dǎo)學(xué)生識(shí)別錯(cuò)誤，或者借助錯(cuò)誤故意挑起“爭(zhēng)端”，通過爭(zhēng)論實(shí)現(xiàn)糾錯(cuò)，從而實(shí)現(xiàn)在強(qiáng)化錯(cuò)誤根源認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上提升學(xué)生在數(shù)學(xué)認(rèn)知上的“免疫力”.

第（2）問在計(jì)算上故意設(shè)置“障礙”，學(xué)生會(huì)想當(dāng)然地去直接求.思路很簡(jiǎn)單，先求R點(diǎn)的坐標(biāo)，再把R點(diǎn)坐標(biāo)用（x0，y0）表示出來，最后代入，這種方法可行嗎？

由于學(xué)生預(yù)先不知道可以通過“切線與切點(diǎn)弦”之間的關(guān)系得到y(tǒng)0=－1這個(gè)結(jié)論，從而導(dǎo)致參數(shù)太多，望而生畏；就算使用了y0=－1這個(gè)結(jié)論，其中的運(yùn)算也很復(fù)雜，要獲得正確的答案也并非易事.

既然此路不通，教師就可以順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生另辟蹊徑.發(fā)現(xiàn)直線AB過焦點(diǎn)F可以轉(zhuǎn)化為，又因?yàn)镻F⊥AB，即，則，易得，本題迎刃而解.

教師“以身試錯(cuò)”不僅有助于學(xué)生減少錯(cuò)誤，而且有助于學(xué)生在嘗試中發(fā)現(xiàn)正確的解題思路.關(guān)于這一點(diǎn)，著名的華裔數(shù)學(xué)家蕭蔭堂就說的很好，他指出“有時(shí)教授備課不足，笨手笨腳地算錯(cuò)了數(shù)，從他搔著手、念念有詞的改正中，反而可以看出他的思路，真正學(xué)到些東西.”因此，教師故意犯錯(cuò)并非壞事，其價(jià)值就是教師拋錯(cuò)誤的“磚”，從而引出學(xué)生的“玉”.

四、“深探究”，促進(jìn)學(xué)生思維“智化”

在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，不斷地經(jīng)歷類似專家的思維過程，從而促使自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)向?qū)＜艺J(rèn)知結(jié)構(gòu)的嬗變.教師“稚化”自己的思維有助于師生之間保持認(rèn)識(shí)程序上的“同頻”，從而更容易引發(fā)教與學(xué)的思維“共振”，其最終目的是為了實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維的“智化”.因此，在師生思維“同頻、共振”的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步深入探究題目背后的數(shù)學(xué)原理是實(shí)現(xiàn)學(xué)生的思維走向“智化”的關(guān)鍵.

解決此題的關(guān)鍵是要“發(fā)掘P點(diǎn)與直線AB之間的聯(lián)系”.以類似“△PAB”為背景的問題在考試中經(jīng)常出現(xiàn)，這就是所謂的“阿基米德三角形”.“阿基米德三角形”，即圓錐曲線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形.它有很多非常有用的性質(zhì)，毫不夸張地講，阿基米德三角形就是解題的利器，在解題中可以起到事半功倍的效果.

例（2019年高考全國(guó)卷Ⅲ理科第21題）

（1）證明：直線AB過定點(diǎn)；

本題的背景正是“阿基米德三角形”，結(jié)論是阿基米德三角形性質(zhì)的一個(gè)特例：如圖2，過拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)D引拋物線的兩條切線DA，DB，則切點(diǎn)弦AB必經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn).

圖2

“稚化思維”并非降低教學(xué)要求，弱化思維能力，其目的是通過“稚化”來實(shí)現(xiàn)教與學(xué)的共振，從而實(shí)現(xiàn)從“稚化”到“智化”的飛躍，最終使得數(shù)學(xué)解題擺脫“就題論題”的局限性，實(shí)現(xiàn)“解一題，會(huì)一類，通一片”的教學(xué)目標(biāo).