反例法在概率論教學(xué)中的作用

王翠

摘要：反例法在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中有著非常重要的作用，它不僅能夠澄清數(shù)學(xué)概念和定理，而且還能幫助學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)。本文對(duì)反例法進(jìn)行了簡(jiǎn)單的介紹，并且分析了反例法在概率論教學(xué)中的作用，希望有助于數(shù)學(xué)教師將反例合理應(yīng)用到概率論教學(xué)中，從而不斷提升其教學(xué)水平，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解。

關(guān)鍵詞：反例法;概率論;教學(xué);作用

概率論的主要作用是對(duì)大量隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律進(jìn)行相關(guān)研究，概率論中的理論知識(shí)非常嚴(yán)謹(jǐn)，而且在生活工作中有著非常廣泛的應(yīng)用，是高等院校數(shù)學(xué)系學(xué)生的一項(xiàng)必修科目，同時(shí)部分高等院校的非數(shù)學(xué)專業(yè)也開設(shè)概率論這一課程。通常情況下，數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行概率論教學(xué)時(shí)，都是采用正面陳述或者證明的方式來向?qū)W生講解相關(guān)理論，但是這種方式有時(shí)并不能讓學(xué)生比較清晰準(zhǔn)確的掌握相關(guān)知識(shí)，而運(yùn)用反例法來輔助概率論的教學(xué)，不僅能夠有效糾正學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的錯(cuò)誤認(rèn)知，還能夠加深學(xué)生對(duì)基本理論知識(shí)的理解，并且激發(fā)其學(xué)習(xí)概率論的興趣，因此本文對(duì)反例法在概率論教學(xué)中的作用進(jìn)行了相關(guān)研究。

一、反例法概述

數(shù)學(xué)中的反例，事實(shí)上就是為了指出某個(gè)命題不成立而舉出的一種例子，這種例子往往符合該命題的相關(guān)條件，但是卻不符合該命題的結(jié)論。而從某個(gè)角度來說，在一定條件下所有例子都可以成為反例，因?yàn)闆]有一個(gè)命題可以在任何條件下都成立。數(shù)學(xué)教學(xué)中所說的反例，是以某些已經(jīng)被證實(shí)的數(shù)學(xué)理論和邏輯推理為前提的，反例其實(shí)也是一種命題證明方法，只不過它的目的是為了證明某個(gè)命題不成立[1]。通常情況下，一個(gè)假命題會(huì)有很多個(gè)反例，但是我們?cè)谂e反例時(shí)只要選擇其中的一個(gè)即可。反例不僅是一種推翻錯(cuò)誤命題的手段，而且還能有效促進(jìn)數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，比如新積分理論的產(chǎn)生就是在相關(guān)反例的啟發(fā)下被發(fā)現(xiàn)的。

二、反例法在概率論教學(xué)中的作用

（一）加深學(xué)生對(duì)基本概念的認(rèn)識(shí)

概率論是一門比較復(fù)雜的學(xué)科，其中很多理論概念都十分抽象，但是這些抽象的理論概念又是學(xué)生學(xué)習(xí)概率論方法的基礎(chǔ)條件，如果學(xué)生無法準(zhǔn)確的掌握這些理論，就可能無法理解概率論運(yùn)算中的一些方法，由此可見基本概念的理解在概率論學(xué)習(xí)中有著非常重要的作用[2]。而教師在概率論教學(xué)的過程中，在運(yùn)用實(shí)例進(jìn)行相關(guān)概念的講解時(shí)，也可以選擇合適的反例，從某個(gè)側(cè)面出發(fā)，讓學(xué)生真正理解相關(guān)概念的本質(zhì)，這樣就可以進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)相關(guān)概念的認(rèn)識(shí)。

（二）加強(qiáng)學(xué)生基本公式應(yīng)用能力

概率論的教學(xué)，不僅需要讓學(xué)生理解相關(guān)的概念，還需要使其能夠掌握相應(yīng)的公式，這樣學(xué)生才能運(yùn)用相關(guān)的概率計(jì)算公式來進(jìn)行概率計(jì)算，并以此為基礎(chǔ)解決相應(yīng)的實(shí)際問題。但是，概率論的這些計(jì)算公式，每個(gè)公式都有一定的應(yīng)用條件，因此教師在進(jìn)行公式講解時(shí)，必須能夠讓學(xué)生理解并記住這些條件，這樣學(xué)生才能掌握正確的公式應(yīng)用方法，運(yùn)用這些公式來解決問題。而在進(jìn)行公式講解時(shí)，教師可以使用一些正面的例題來讓學(xué)生理解并掌握相關(guān)公式的正確使用方式，同時(shí)舉出一些反例來加深學(xué)生對(duì)公式的理解，使其能夠在正確的條件下來運(yùn)用相關(guān)公式，這樣才能有效加強(qiáng)其基本公式的應(yīng)用能力。

（三）發(fā)現(xiàn)和糾正學(xué)生的錯(cuò)誤

教師可以應(yīng)用反例法來發(fā)現(xiàn)和糾正學(xué)生的錯(cuò)誤。這是由于利用反例進(jìn)行錯(cuò)誤的辨析，不僅更加明顯、直觀，而且其說明力也更強(qiáng)，因此教師在概率論教學(xué)的過程中，利用反例教學(xué)可以及時(shí)讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己在學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤和漏洞，從而促使學(xué)生通過反例加深對(duì)相關(guān)知識(shí)的正確理解[3]。

比如，在概率論教學(xué)中，需要讓學(xué)生正確區(qū)分n個(gè)事件相互獨(dú)立和n個(gè)事件兩兩獨(dú)立這兩個(gè)概念的區(qū)別，在進(jìn)行這兩個(gè)概念的講解時(shí)，許多學(xué)生都認(rèn)為只有符合n個(gè)事件兩兩獨(dú)立的條件，那么也必然符合n個(gè)事件相互獨(dú)立的條件，這種認(rèn)識(shí)是不正確的，但是采用正面例題講解很難讓學(xué)生正確認(rèn)識(shí)到其錯(cuò)誤所在，而采用反例教學(xué)法就能很容易的讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到相關(guān)認(rèn)知的錯(cuò)誤，并且加深對(duì)這兩個(gè)概念的正確認(rèn)識(shí)。

（四）提升學(xué)生的思維品質(zhì)

反例法應(yīng)用到概率論教學(xué)中可以起到提升學(xué)生思維品質(zhì)的作用，教師可以運(yùn)用反例教學(xué)法來激發(fā)學(xué)生思維的靈活性，并且?guī)椭鷮W(xué)生培養(yǎng)批判性、嚴(yán)謹(jǐn)性的思維，同時(shí)還能進(jìn)一步拓寬學(xué)生思維的廣闊性。反例法的這一作用是教師采用正面例題講解很難做到的，尤其在幫助學(xué)生提升思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和批判性方面更是如此，因此將反例法應(yīng)用到概率論教學(xué)中是非常重要的[4]。我們?cè)趹?yīng)用概率論解決生活中的實(shí)際問題時(shí)經(jīng)常會(huì)發(fā)現(xiàn)這樣一種現(xiàn)象，運(yùn)用概率論解答出的問題答案，與人們的直覺答案經(jīng)常相反，教師可以充分利用這一點(diǎn)來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)利用反例法來培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性、嚴(yán)謹(jǐn)性，提升學(xué)生的思維品質(zhì)。

另外，在概率論教學(xué)過程中，許多反例都是教材中構(gòu)造好的，教師在利用這些反例開展教學(xué)的基礎(chǔ)上，還可以通過引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造反例的方法來進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生的思維運(yùn)用能力。反例的構(gòu)造需要以廣泛抽象的普遍性和現(xiàn)實(shí)問題的特殊性作為基礎(chǔ)，是解決具體問題的一種有效方法，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，提升其思維品質(zhì)。

三、結(jié)語

綜上所述，概率論作為一項(xiàng)非常有用的學(xué)科，教師應(yīng)當(dāng)注意提升課程教學(xué)質(zhì)量，這樣才能使學(xué)生利用掌握的概率論知識(shí)解決實(shí)際問題。教師可以利用反例法來輔助概率論的教學(xué)，這是由于反例法在概率論教學(xué)中具有加深學(xué)生對(duì)基本概念的認(rèn)識(shí)、加強(qiáng)學(xué)生基本公式應(yīng)用能力、發(fā)現(xiàn)和糾正學(xué)生的錯(cuò)誤、提升學(xué)生的思維品質(zhì)等方面的作用，有利于提升概率論的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]李立明，魏君，孫旭陽(yáng).概率論教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的探討[J].吉林廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào)，2018（02）：87-88+121.

[2]杜君花，王立，王洪艷.關(guān)于幾種數(shù)學(xué)證明方法的研究[J].高師理科學(xué)刊，2016，36（11）：59-62.

[3]李永玲，李煜玲.反例在近世代數(shù)中的作用和構(gòu)造方法[J].課程教育研究，2016（06）：172-173.

[4]王珍萍.近世代數(shù)反例的作用和構(gòu)造方法[J].邢臺(tái)學(xué)院學(xué)報(bào)，2013，28（04）：174-176.