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    插值濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)*

    2019-09-04 05:59:42陳紹榮劉郁林
    通信技術(shù) 2019年7期
    關(guān)鍵詞:低通濾波器后置插值

    陳紹榮 ,劉郁林 ,何 為 ,徐 舜

    (1.陸軍工程大學通信士官學校,重慶 400035;2.重慶市經(jīng)信委,重慶 400015)

    0 引 言

    在國內(nèi)外《數(shù)字信號處理》教材及著作[1-2]中,從不同角度介紹了實現(xiàn)抽樣頻率轉(zhuǎn)換的方法,歸納起來有3種實現(xiàn)抽樣頻率轉(zhuǎn)換的方法:(1)若原模擬信號xa(t)可以再生或是已經(jīng)記錄下來,那么可以重新抽樣;(2)將x(n)通過D/A變換成模擬信號xa(t)后,對xa(t)經(jīng)A/D再抽樣;(3)發(fā)展一套算法,對抽樣后的數(shù)字信號x(n)在“數(shù)字域”作抽樣率轉(zhuǎn)換,以得到新的抽樣。方法(1)有時不能實現(xiàn),方法(2)要再一次受到D/A和A/D量化誤差的干擾,方法(3)是最理想的方法。減少抽樣率以去掉多余數(shù)據(jù)的過程稱為序列的重排;增加抽樣率以增加數(shù)據(jù)的過程,稱為序列的插值[3-4]。本文只討論有關(guān)插值濾波器的實現(xiàn)方法。

    1 序列的插值

    設(shè)周期為L的周期沖激序列為:

    以均勻間隔T對連續(xù)時間信號xa(t)抽樣,得到序列x(n)=xa(nT),若希望將抽樣率fs增加L倍,即變成Lfs,則最簡單的方法是對x(n)插值,用符號表示,即

    式(2)表明,對序列x(n)插值,等價于將連續(xù)時間信號xa(t)的抽樣間隔變成T/L,即抽樣率變成Lfs。

    2 插值濾波器

    考慮到式(1),對式(2)兩邊取DTFT,可得插值序列f(n)的頻譜,即:

    式(3)表明,插值序列f(n)的頻譜F(ejω)是序列x(n)的頻譜X(ejω)壓縮L倍的結(jié)果。換言之,在F(ejω)的主值區(qū)間 [-π,π]上,譜圖重復出現(xiàn)了L次,多余的L-1次稱為X(ejω)的映像。當|ω|≤π/L時,F(xiàn)(ejω)單一地等于X(ejLω)??梢岳煤笾脭?shù)字低通濾波器來完成這一任務,如圖1所示,其中后置數(shù)字低通濾波器的頻率特性為:

    式中,C為常數(shù),G2π/L(ω)=ε(ω+π/L)-ε(ω-π/L),ε(ω)為單位階躍函數(shù)。

    圖1 插值后的濾波

    考慮到式(3)及式(4),則后置數(shù)字低通濾波器的輸出序列y(n)的頻譜為:

    考慮到式(5),則有:

    考慮到式(6),則有:

    由式(7)可知,為保證y(0)=x(0),則應取C=L,于是式(4)可寫成:

    3 基于增抽樣的等價系統(tǒng)

    基于增抽樣的系統(tǒng)Ⅰ,如圖2所示。

    圖2 基于增抽樣的系統(tǒng)Ⅰ

    在圖2中,有:

    考慮到:

    對式(10)兩邊取DTFT,并注意到式(3),則有:

    將式(9)代入式(11),可得:

    式中:

    由式(12)及式(13),可得其等價系統(tǒng),如圖3所示。

    圖3 基于增抽樣的系統(tǒng)Ⅱ

    結(jié)論1:對比圖3和圖2可知,若插值器從后置變?yōu)榍爸?,則系統(tǒng)的頻率特性壓縮L倍;反之,若插值器從前置變?yōu)楹笾茫瑒t系統(tǒng)的頻率特性擴展L倍。這樣才能夠保證在相同輸入序列x(n)作用下,級聯(lián)系統(tǒng)有相同的輸出序列y(n)。

    4 插值濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

    在如圖1所示的插值濾波中,數(shù)字低通濾波器H1(ejω)的單位沖激響應用h1(n)表示,一般都用FIR數(shù)字低通濾波器來實現(xiàn)該數(shù)字低通濾波器。設(shè)h1(n)的長度為N,即h1(n)=h1(n)RN(n),并且滿足N/L為正整數(shù)。RN(n)=ε(n)-ε(n-N),其中,ε(n)為單位階躍序列。

    在實現(xiàn)如圖1所示的插值濾波時,存在下述5種具體實現(xiàn)結(jié)構(gòu)。

    4.1 插值濾波器的直接實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

    考慮到圖1所示的插值濾波器,則有

    由式(14)可知,如圖1所示的插值濾波器,可以用如圖4所示的直接結(jié)構(gòu)實現(xiàn)。

    圖4 插值濾波器的直接實現(xiàn)

    若對xa(t)以fs的速率抽樣獲得x(n),則插值濾波器的直接實現(xiàn)結(jié)構(gòu)有一個缺點,因為h1(n)工作在高抽樣率(即Lfs)狀態(tài),插值序列f(n)的每一位的值都要和FIR數(shù)字低通濾波器h1(n)的系數(shù)相乘。由于插值序列f(n)中相距L位才有一位的值非零,因此,采用如圖4所示的直接實現(xiàn)結(jié)構(gòu),有較多的乘法浪費。

    4.2 減少乘法次數(shù)的插值濾波器的直接實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

    由于:

    因此,從式(15)可知,一個序列與延遲n0位的單位沖激序列做線性卷和,等價于將該序列做n0位的延遲。

    由圖4,結(jié)合式(2)及式(15),可得:

    式(16)表明,先將輸入序列x(n)與h1(i)相乘,得到積序列再對積序列h1(i)x(n)做L點插值得到然后將延遲i位得到y(tǒng)i(n),最后將yi(n)按式(16)相加得到輸出序列y(n),如圖5所示。

    圖5 減少乘法次數(shù)的插值濾波器的直接實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

    因此,與圖4所示的插值濾波器的直接實現(xiàn)結(jié)構(gòu)相對照,更合理的方法是用圖5所示的結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)。在該圖中,先將輸入x(n)與h1(i)(i=0,1,…,N-1)相乘,然后再插值,所需要的乘法次數(shù)是圖4所示的插值濾波直接實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的1/L。

    4.3 插值濾波器的分段實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

    若定義L倍插值濾波器第j段的單位沖激響應為

    式中,j=0,1,2,…,N/L-1,RL(n)=ε(n)-ε(n-L)。

    由式(17)可知,利用pj(n)可以將FIR數(shù)字低通濾波器h1(n)分成N/L個子FIR數(shù)字濾波器,即式(16)可寫成:

    考慮到式(17),則式(18)中的yj(n)可以表示為:

    從式(18)及式(19)可知,可以將如圖1所示的插值濾波器中的FIR數(shù)字低通濾波器h1(n)分成N/L段,其中每一段是長度為L的子FIR數(shù)字濾波器,并且都具有相同結(jié)構(gòu)。

    若FIR數(shù)字低通濾波器h1(n)的長度N=9,取L=3,則三倍插值濾波器的分段實現(xiàn)結(jié)構(gòu),如圖6所示。

    圖6 三倍插值濾波器的分段實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

    4.4 減少單位延遲器的插值濾波器的分段實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

    與插值濾波器的分段實現(xiàn)結(jié)構(gòu)圖6相對照,更合理的方法是利用如圖7所示的結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)。在該實現(xiàn)結(jié)構(gòu)中,單位延遲器的數(shù)目減少了一半。

    圖7 減少單位延遲器的三倍插值濾波器的分段實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

    4.5 基于多相分解的插值濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

    從三倍插值濾波器的分段實現(xiàn)結(jié)構(gòu)圖6可知,該實現(xiàn)結(jié)構(gòu)對h1(n)的各段而言,其運算關(guān)系是先對輸入序列或其延遲序列插值,再進行濾波處理。因此,存在乘法運算的浪費,需要改善該實現(xiàn)結(jié)構(gòu)。

    由于:

    考慮到式(14)及式(20),則有:

    式中,yj(n)可以表示為:

    并且:

    其中,ei(n)=h1(nL+i),并稱ei(n)為h1(n)的第i個多相分量。

    考慮到式(23)、式(22)及(21),則基于h1(n)多相分解的插值濾波器實現(xiàn)結(jié)構(gòu),如圖8所示。

    圖8 基于h1(n)多相分解的插值濾波器實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

    若h1(n)是N=9點的FIR數(shù)字低通濾波器,取L=3,則將h1(n)分成了L=3個子FIR數(shù)字濾波器,各子FIR數(shù)字濾波器的長度為N/L=3,并且具有相同結(jié)構(gòu)??紤]到式(21)、式(22)及(23),則基于h1(n)多相分解的插值濾波器實現(xiàn)結(jié)構(gòu),如圖9所示。

    圖9 基于h1(n)多相分解的三倍插值濾波器實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

    其實,可以通過下述方式獲得基于h1(n)多相分解的插值濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)。

    設(shè):

    一般稱ei(n)為h1(n)的第i個多相分量。

    令:

    由式(25),結(jié)合式(20),可得:

    式(26)表明,數(shù)字低通濾波器h1(n)可以分解成多相分量ei(n)=h1(nL+i)(i=0,1,2,…,L-1)的L倍插值hi(n)=(i=0,1,2,…,L-1)的延遲之和。

    對式(25)兩邊取ZT,可得:

    對式(26)兩邊取ZT,并注意到式(27),可得:

    考慮到式(28),則可得基于數(shù)字低通濾波器h1(n)多相分解的實現(xiàn)結(jié)構(gòu),如圖10、圖11所示。

    考慮到如圖11所示的基于數(shù)字低通濾波器h1(n)多相分解的實現(xiàn)結(jié)構(gòu),則如圖1所示的插值濾波器可用圖12來表示。

    圖10 基于h1(n)多相分解的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)Ⅰ

    圖11 基于h1(n)多相分解的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)Ⅱ

    圖12 基于h1(n)多相分解的插值濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)Ⅰ

    圖13 基于h1(n)多相分解的插值濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)Ⅱ

    由于圖12中H1(z)的L個多相分解子數(shù)字濾波器的輸入序列f(n)是序列x(n)的L倍插值,因此可將圖12畫成圖13。

    由結(jié)論1可知,將圖13中的插值器從前置變?yōu)楹笾?,則子系統(tǒng)的頻率特性擴展L倍,即將子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)Ei(zL)(i=1,2,…,L-1)變成轉(zhuǎn)移函數(shù)Ei(z)(i=1,2,…,L-1)。這樣就得到了與圖8相同的基于數(shù)字低通濾波器h1(n)多相分解的插值濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu),如圖14所示,只不過其中的子系統(tǒng)用z域描述而已。

    圖14 基于h1(n)多相分解的插值濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)Ⅲ

    5 結(jié) 語

    本文針對插值濾波器的實現(xiàn)問題,給出了插值濾波器的直接實現(xiàn)結(jié)構(gòu)、減少乘法次數(shù)的插值濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)、插值濾波器的分段實現(xiàn)結(jié)構(gòu)、減少單位延遲器的插值濾波器的分段實現(xiàn)結(jié)構(gòu)及基于多相分解的插值濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu),并用一種新的思路和方法,導出了基于多相分解的插值濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)。

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