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    IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)中頻率轉(zhuǎn)換探究

    2018-10-11 03:19:20李艷鳳陳后金
    關(guān)鍵詞:幅頻通帶截止頻率

    李艷鳳,陳后金

    (北京交通大學(xué)電子信息工程學(xué)院,北京100044)

    0 引言

    IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)是“數(shù)字信號(hào)處理”課程教學(xué)中的重要部分,也是教學(xué)的難點(diǎn)之一。IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的一般過(guò)程如圖1所示。

    設(shè)計(jì)高通、帶通和帶阻濾波器可通過(guò)頻率轉(zhuǎn)換的方法實(shí)現(xiàn),首先通過(guò)頻率轉(zhuǎn)換將模擬非低通濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo),該模擬低通濾波器稱之為原型低通濾波器,然后通過(guò)復(fù)頻率轉(zhuǎn)換將原型低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)。

    在轉(zhuǎn)換為原型低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)時(shí),需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行選擇。但現(xiàn)有模擬域頻率轉(zhuǎn)換的教學(xué)大多只給出參數(shù)選擇結(jié)論,并沒(méi)有對(duì)整個(gè)轉(zhuǎn)換過(guò)程進(jìn)行分析,這使得學(xué)生難以理解轉(zhuǎn)換的原理以及參數(shù)選取的準(zhǔn)則。為了解決這一問(wèn)題,本文對(duì)整個(gè)模擬域頻率轉(zhuǎn)換過(guò)程進(jìn)行分析,通過(guò)圖形對(duì)轉(zhuǎn)換過(guò)程中參數(shù)如何選取進(jìn)行闡明,便于教師教學(xué)和學(xué)生理解。

    圖1 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的一般過(guò)程

    1 模擬域頻率轉(zhuǎn)換

    1.1 高通濾波器轉(zhuǎn)換為原型低通濾波器

    圖2(a)為待設(shè)計(jì)高通濾波器的幅頻響應(yīng),根據(jù)式(2)頻率映射關(guān)系可得原型低通濾波器的幅頻響應(yīng),如圖2(b)中實(shí)線所示。由于物理可實(shí)現(xiàn)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為實(shí)系數(shù),其幅頻響應(yīng)具有偶對(duì)稱特性。依據(jù)原型低通濾波器幅頻響應(yīng)需具有的對(duì)稱特性,構(gòu)建其正頻率部分對(duì)稱的幅頻響應(yīng),如圖2(b)中虛線所示。根據(jù)圖2(b)中虛線部分可得,此原型低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo):通帶截止頻率和阻帶截止頻率,即

    圖2 由高通濾波器轉(zhuǎn)換為原型低通濾波器

    1.2 帶通濾波器轉(zhuǎn)換為原型低通濾波器

    根據(jù)式(5)確定的頻率映射關(guān)系,可將帶通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)(ωs1,ωp1,ωp2,ωs2)映射到原型低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)其中,帶通濾波器的中心頻率ω0映射到原型低通濾波器的原點(diǎn),帶通濾波器的通帶截止頻率ωp1和ωp2分別映射到通常情況下(除非ω0

    2=ωs2ωs1),如圖3(b)所示。也就是說(shuō),映射后的原型低通濾波器的幅頻響應(yīng)不具有偶對(duì)稱,這樣的低通濾波器無(wú)法直接設(shè)計(jì)。因此,我們需要根據(jù)映射后的原型低通濾波器構(gòu)建一個(gè)幅頻響應(yīng)偶對(duì)稱的原型低通濾波器。

    圖3 由帶通濾波器轉(zhuǎn)換為原型低通濾波器

    圖3(a)為待設(shè)計(jì)的帶通濾波器的幅頻響應(yīng),設(shè)ωs1=160 π,ωp1=200π,ωp2=280 π,ωs2=400 π。按照式(5)頻率映射得到的原型低通濾波器(細(xì)線對(duì)應(yīng)細(xì)線,粗線對(duì)應(yīng)粗線),其幅頻響應(yīng)一般并不對(duì)稱,需要選擇或來(lái)構(gòu)建幅頻響應(yīng)對(duì)稱的原型低通濾波器。

    1.3 帶阻濾波器轉(zhuǎn)換為原型低通濾波器

    將,s=j(luò)ω 代入式(9),得到原型低通濾波器與帶阻濾波器的頻率映射關(guān)系為

    根據(jù)式(10)確定的頻率映射關(guān)系,其將帶阻濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo) (ωp1,ωs1,ωs2,ωp2)映射為原型低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)其中,帶阻濾波器的中心頻率ω0映射到∞,帶阻濾波器的阻帶截止頻率ωs1和 ωs2分別映射到通常情況下,需要選擇其中一個(gè)作為原型低通濾波器的通帶截止頻率。與帶通濾波器類似,現(xiàn)有教材直接給出選擇絕對(duì)值較大的一個(gè)作為通帶截止頻率=max[3~4]。下面對(duì)選擇原因進(jìn)行分析,由帶阻濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)(ωp1,ωs1,ωs2,ωp2)設(shè)計(jì)原型低通濾波器的過(guò)程如圖4所示。

    圖4(a)為待設(shè)計(jì)的帶阻濾波器的幅度響應(yīng),設(shè)ωp1=160 π,ωs1= 200 π,ωs2=280 π,ωp2=500 π。按照式(10)頻率映射得到的原型低通濾波器(左右對(duì)應(yīng)位置出現(xiàn)反轉(zhuǎn)),其幅頻響應(yīng)一般并不對(duì)稱,需要選擇)或來(lái)構(gòu)建一個(gè)偶對(duì)稱幅頻響應(yīng)的原型低通濾波器。

    圖4 由帶阻濾波器轉(zhuǎn)換為原型低通濾波器

    根據(jù)此設(shè)計(jì)指標(biāo),在ωp2到0之間的通帶頻率范圍內(nèi),構(gòu)建的原型低通濾波器的幅頻響應(yīng)比要求的幅頻響應(yīng)高,最后設(shè)計(jì)出的帶阻濾波器將會(huì)滿足原帶阻濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)。

    根據(jù)此設(shè)計(jì)指標(biāo),在0到ωp1之間的通帶頻率范圍內(nèi),構(gòu)建的原型低通濾波器的幅度響應(yīng)比要求的幅度響應(yīng)低,最后設(shè)計(jì)出的帶通濾波器將無(wú)法滿足原帶通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)。因此,對(duì)于帶阻濾波器,應(yīng)選取絕對(duì)值較大的|作為原型低通濾波器的阻帶截止頻率,即

    2 結(jié)語(yǔ)

    針對(duì)現(xiàn)有IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)中模擬域頻率轉(zhuǎn)換教學(xué)方法存在的問(wèn)題,本文分析了其他類型濾波器轉(zhuǎn)換為原型低通濾波器的幅頻響應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。當(dāng)帶通和帶阻濾波器通過(guò)模擬域頻率轉(zhuǎn)換映射到原型低通濾波器時(shí),該原型低通濾波器的幅頻響應(yīng)一般不滿足偶對(duì)稱,通過(guò)構(gòu)建偶對(duì)稱的幅頻響應(yīng)的過(guò)程,清晰地詮釋了濾波器設(shè)計(jì)過(guò)程中參數(shù)選取的原理,有助于教師教學(xué)和學(xué)生理解。

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