機翼結(jié)構(gòu)試驗杠桿系統(tǒng)位移計算和參數(shù)化建模

趙詩鴻， 于哲峰

(上海交通大學 航空航天學院， 上海 200240)

0 引 言

機翼作為飛機重要的承載部件，其承載能力決定了飛機結(jié)構(gòu)的性能指標。機翼靜強度試驗根據(jù)不同載荷工況驗證了飛機是否滿足強度設(shè)計要求[1-2]。試驗中通常采用作動器以及杠桿系統(tǒng)進行加載，首先將飛機飛行過程中可能受到的載荷(氣動載荷、慣性載荷、集中載荷)簡化為有限數(shù)量的集中載荷，并在試驗件相應(yīng)位置布置加載點；再通過多級杠桿系統(tǒng)將若干個加載點連接到同一個電液伺服作動器；根據(jù)各個加載點的載荷關(guān)系設(shè)計杠桿參數(shù)，在一個翼面上使用多個杠桿系統(tǒng)，即可模擬真實飛行情況下機翼的受載情況[3]。

近年來,陳江寧等[4]研究了加載系統(tǒng)與交互技術(shù)和加載系統(tǒng)配重優(yōu)化設(shè)計方法。王正平等[5]探討了飛機結(jié)構(gòu)靜力試驗設(shè)計中的分布式載荷和集中式載荷的演算問題。劉金玉等[6]針對初教六機翼結(jié)構(gòu)強度試驗，使用VB語言在Visual Studio平臺下計算了杠桿系統(tǒng)的載荷配重問題。侯峰[7]基于Microsoft Visual C++6.0開發(fā)了飛機結(jié)構(gòu)試驗設(shè)計軟件的安裝圖設(shè)計模塊，使用該軟件可通過圖形化人機接口進行加載系統(tǒng)中結(jié)構(gòu)和設(shè)備安裝關(guān)系的設(shè)計。巴塔西等[8]研究了基于CATIA二次開發(fā)的飛機結(jié)構(gòu)試驗加載杠桿系統(tǒng)參數(shù)化建模方法，利用Microsoft Visual Basic(MS-VB)實現(xiàn)了杠桿參數(shù)化建模以及杠桿加載系統(tǒng)的自動裝配，可以快速地實現(xiàn)加載杠桿系統(tǒng)幾何模型參數(shù)化生成。目前研究主要集中于結(jié)構(gòu)試驗前杠桿系統(tǒng)的設(shè)計和建模，對于在試驗過程中杠桿位移的模擬并沒有涉及到，而大型航空結(jié)構(gòu)在試驗中將產(chǎn)生顯著的變形，如波音787客機在極限載荷試驗中翼稍的位移超過7m.在該變形情況下，極有可能會發(fā)生杠桿系統(tǒng)之間或與其他試驗設(shè)施之間的干涉現(xiàn)象，進而影響到整個試驗進程。因此，有必要預(yù)測出結(jié)構(gòu)大變形情況下杠桿系統(tǒng)的位移，并進行干涉情況檢測，這對機翼結(jié)構(gòu)驗證技術(shù)的發(fā)展有重要意義[9]。

本文對杠桿系統(tǒng)進行受力分析，建立描述結(jié)構(gòu)靜力試驗中機翼變形后杠桿系統(tǒng)位置方程組，求解出機翼結(jié)構(gòu)發(fā)生大變形情況下杠桿組的位移，進一步可分析出隨動加載方式下的杠桿位移。另外在巴塔西等[8]的基礎(chǔ)上開發(fā)了機翼變形情況下的杠桿組系統(tǒng)CATIA參數(shù)化建模軟件，可用于試驗杠桿組設(shè)計。

1 杠桿系統(tǒng)位移求解模型

1.1 單個杠桿位置方程組

采用杠桿系統(tǒng)對飛機結(jié)構(gòu)表面施加載荷時，將機翼表面上的兩個加載點用加載杠桿連接起來。根據(jù)杠桿原理，按兩個加載點分配的載荷大小計算出杠桿上的合力點位置，再使用高一級的杠桿給兩個合力點施加載荷。故杠桿系統(tǒng)最基礎(chǔ)的結(jié)構(gòu)由兩個加載點、杠桿、杠桿合力點、連桿與加載點的繩索組成。杠桿加載系統(tǒng)與結(jié)構(gòu)表面加載點的定義如圖1所示。

第i號杠桿進行受力分析見圖2，其兩端點為點i1(xi1,yi1,zi1)和點i2(xi2,yi2,zi2)，上級杠桿的一個端點為h1(xh1,yh1,zh1)。杠桿端點坐標在初始狀態(tài)下

圖1 杠桿系統(tǒng)示意圖

為已知量，在結(jié)構(gòu)表面發(fā)生變形后為待求量。杠桿中點距離兩端點的長度分別為m和n，在試驗方案確定情況下為確定值；杠桿上合力點為i3，其坐標為:

(1)

線段i1j3和i2k3分別代表杠桿的兩個端點與低一級杠桿j和杠桿k中間點的連桿，其長度分別為Lj和Lk，在加載過程中保持不變。

圖2 杠桿i受力示意圖

結(jié)構(gòu)靜強度試驗中杠桿和連桿(連接杠桿端點和加載點的吊索)變形可以忽略不計，故可作為剛體簡化，其長度不變，可以得到:

(2)

在該杠桿系統(tǒng)的基本單元中，點i1、i2、j3、k3如不在同一平面內(nèi)，杠桿兩端力矩不平衡，將產(chǎn)生扭矩將4點扭回同一平面內(nèi)，所以這4點必定在同一平面內(nèi)，由i1i2、i1j3、i2k3這3條線段在一個平面內(nèi)的條件可得：

(3)

再通過力的平衡關(guān)系建立方程，引入向量i1j3、i2k3及其單位向量a、b

引入系數(shù)R作為兩個連桿i1j3、i2k3作用于杠桿上力的大小比值，當兩個連桿平行時，其值即n和m之比，當連桿不平行時，則由力矩平衡得到：

再引入向量v1和v2。v1代表兩連桿上合力矢量(見圖2);v2代表合力點與上一級杠桿端點的連接方向，則有:

v1=Ra+b

(12)

(13)

由三力平衡關(guān)系，兩連桿上力的矢量和方向與i3h1共線，得到最后一個約束方程：

v1×v2=0

(14)

方程組(2)、(3)以及式(14)給出了杠桿系統(tǒng)最基本單元的運動約束。以此為基礎(chǔ)，進一步考慮多個杠桿組合的情況。

1.2 杠桿系統(tǒng)位移方程組

在結(jié)構(gòu)靜力試驗中，通常有多個作動器對結(jié)構(gòu)施加載荷，每個作動器下有一組杠桿，但各個杠桿組是獨立的，因此只求解一個作動器下杠桿組的位移。

對每一個杠桿可以建立一個由式(2)、(3)和(14)構(gòu)成的方程組。參考圖1，對第1級杠桿而言，j3、k3點是機翼結(jié)構(gòu)表面的加載點，合力點i3是第2級杠桿的加載點，h1是第2級杠桿的端點。以此類推，最后一級杠桿的h1點就是作動器的懸掛點。由力學推導可知，式(14)中系數(shù)R獲得建立在式(3)共面約束的基礎(chǔ)上，如果在方程組中去掉式(3)易導致式(10)中R取值錯誤，影響方程組的求解。所以，對單個杠桿，未知數(shù)的數(shù)目為6，但可以構(gòu)建得到7個方程。假設(shè)系統(tǒng)共有p個杠桿，則方程總數(shù)為7p。令第i號杠桿的位移方程組為{f}i={0}(i=1,2,…,p)，則整個杠桿系統(tǒng)的位移方程組為：

{{f}1={0}…{f}i={0}…{f}p={0}

(15)

整個杠桿系統(tǒng)中，單個杠桿的幾何參數(shù),即m和n是定值，結(jié)構(gòu)表面加載點坐標和作動器懸掛點坐標的初值是已知量；加載過程中，各個載荷下的結(jié)構(gòu)表面加載點的坐標由結(jié)構(gòu)分析得出，在模擬計算中作為已知量；如果是隨動加載，各載荷狀態(tài)下的作動器懸掛點的坐標也是作為已知量；加載過程中每一個杠桿兩個端點坐標是待求的未知量。結(jié)構(gòu)表面點和作動器懸掛點的坐標發(fā)生變化后，對式(15)的平衡產(chǎn)生擾動，求解每個杠桿兩端點的坐標值，使式(15)平衡，即得到對應(yīng)載荷下杠桿系統(tǒng)的位移。

式(15)是一個多元非線性方程組，本文采用Levenberg-Marquardt算法求該方程組的數(shù)值解，獲得每一個杠桿端點的坐標。該算法能提供非線性最小化(局部最小)的數(shù)值解，通過執(zhí)行時修改參數(shù)達到兼具高斯-牛頓算法以及梯度下降法的優(yōu)點，并對兩者之不足作了改善(比如高斯-牛頓算法之反矩陣不存在或是初始值離局部極小值太遠)[10-11]。Matlab內(nèi)置函數(shù)fsolve解方程函數(shù)就使用了這種算法。

1.3 機翼大變形情況下杠桿位移的求解

模擬機翼大變形情況時，直接將大變形狀態(tài)下機翼表面加載點坐標代入式(15)容易導致計算結(jié)果不準確或者得不到收斂解。為得到較為精確的模擬結(jié)果，需將表面加載點逐步移動至最終狀態(tài)，即模擬實際情況下靜力試驗中逐步加載載荷，通過不斷迭代獲得大變形下杠桿系統(tǒng)位移，計算流程如圖3所示。

圖3 計算流程圖

機翼大變形過程中，其氣動壓力中心會隨機翼變形發(fā)生變化，為了更真實地模擬飛行狀態(tài)下翼面的受載歷程，可采用隨動加載方案，保證載荷大小和方向接近于真實狀態(tài)[12-13]。隨動加載方式在整個結(jié)構(gòu)試驗過程中，通過改變作動器的位置，使得機翼表面載荷的壓心發(fā)生移動。計算思路可在機翼大變形情況基礎(chǔ)上，將結(jié)構(gòu)當前變形下作動器坐標輸入到方程組中，按圖3中的計算流程可得到隨動加載情況下杠桿系統(tǒng)的位移。

2 杠桿系統(tǒng)幾何模型的參數(shù)化建模

使用CATIA二次開發(fā)功能對加載杠桿進行建模，CATIA提供了多種二次開發(fā)的接口，應(yīng)用最多的主要有兩種方法。① 開放的基于構(gòu)件的應(yīng)用編程接口CAA V5技術(shù);② 自動化對象編程CATIA Automation技術(shù)[12]。這些接口給用戶提供了一系列工具，可以完成宏程序執(zhí)行、用戶界面定制以及模型生成等功能。

本文采用Automation API技術(shù)對CATIA進行二次開發(fā)。Automation API是CATIA預(yù)先編好的一組函數(shù)，用于與外界進行通信。在MS-VB環(huán)境下進行CATIA二次開發(fā)時，需先連接CATIA的API，連接后就可以直接調(diào)用CATIA中API的函數(shù)進行相關(guān)程序的編譯。

使用VB開發(fā)的加載杠桿系統(tǒng)建模軟件的操作界面如圖4所示。

圖4 杠桿建模操作界面

建模過程主要分為3個步驟：

(1) 數(shù)據(jù)輸入。輸入數(shù)據(jù)由表面點數(shù)據(jù)和杠桿點數(shù)據(jù)組成。機翼表面加載點的數(shù)據(jù)包括點的編號和點的3個坐標，如表1所示。表2中數(shù)據(jù)均為第1級機翼杠桿數(shù)據(jù)，例如編號為101的杠桿，其兩端點編號分別為1001和1002，第4～第6列給出該杠桿中間連接點的坐標以及其m，n的數(shù)值。

表1 表面點數(shù)據(jù)表 mm

(2) 杠桿零件生成。通過第1步中杠桿m、n等數(shù)據(jù)輸入，可以批量生成各個杠桿。并由連接點的坐標位置可以建立各杠桿的裝配關(guān)系模型。圖5給出了一個杠桿的模型和初始狀態(tài)下一組杠桿幾何連接關(guān)系模型。

(3) 模型裝配。裝配關(guān)系主要由3個約束確定：

表2 一級杠桿點數(shù)據(jù)格式定義

(a) 杠桿模型

(b) 杠桿幾何裝配關(guān)系模型

(c) 杠桿組裝配模型

杠桿模型中連接點與關(guān)系模型中對應(yīng)點相合，杠桿零件軸線與杠桿裝配關(guān)系模型中對應(yīng)線段重合，以及杠桿中間螺栓的軸垂直于杠桿裝配關(guān)系模型的連桿。圖5(a)為杠桿零件模型，圖5(b)為杠桿裝配關(guān)系模型。通過裝配功能，最終得到圖5(c)所示的加載杠桿組的整體模型，此時模型處于初始狀態(tài)，各杠桿于連桿保持垂直。表1中顯示的就是該圖中杠桿組的部分數(shù)據(jù)。

3 杠桿組位移計算和參數(shù)化建模算例

3.1 機翼表面加載點位移擬合

杠桿組模擬計算前應(yīng)獲得特定翼面的變形數(shù)據(jù)。為了計算的簡便，本文假設(shè)機翼表面的變形滿足等截面懸臂梁受到均布載荷時發(fā)生的變形。將假設(shè)的模型沿x軸方向分為t等分，每一等分的兩端截面分別記作M、N(見圖6)。當在T截面施加集中力F時，MN段變形到M′N′位置，N截面的位移有δ1、δ2、δ3三部分組成，δ1是由M截面的變形而產(chǎn)生的牽連位移，δ2是假設(shè)MN段是剛性不變形的情況下,M截面轉(zhuǎn)過一定的角度之后N截面產(chǎn)生的位移，δ3是假設(shè)M截面固支的情況下,N截面受集中力之后的位移。

圖6 等剖面懸臂梁[15]

于是對于懸臂梁的第t段，受載的一端和另一端的位移之差為：

yt-(t-1)=θt-1lt+yt

(16)

(17)

式中,載荷力F、E和慣性矩I假設(shè)均為常量。對式(16)積分可以擬合得到一條近似的機翼撓曲線。給定機翼末端最大變形數(shù)值，即可以模擬機翼表面各點的位移情況。使用圖5(c)中的杠桿組作為算例，假設(shè)翼梢上翹位移500 mm，此時各點的位移如表3所示，作動器初始坐標位于最高一級杠桿連接點正上方1 m，隨試驗加載逐步沿展向(表中Z方向)移動249 mm。表3給出擬合后各表面點Y方向位移數(shù)值。

表3 翼梢上翹500 mm后表面坐標

3.2 CATIA杠桿變形擬合結(jié)果

由表1～3的數(shù)據(jù)作為輸入，位移分為1 000步，通過Matlab程序計算可以得到機翼在大變形隨動加載情況下杠桿組位移情況。圖7所示通過Matlab繪圖功能展示了機翼變形前后杠桿組位移情況。

(a) 側(cè)視圖

(b) 等軸視圖

(c) 正視圖

將該結(jié)果所得的杠桿信息以及坐標位置作為數(shù)據(jù)輸入圖4所展示的CATIA二次開發(fā)軟件中，自動生成并裝配得到機翼大變形情況下杠桿組的幾何模型，如圖8所示。與圖7(a)Matlab的側(cè)視圖模型相比較，圖8所示的杠桿組信息和坐標位置一致，表明CATIA二次開發(fā)軟件模型建立正確。該結(jié)果是在方程組求解迭代收斂前提下得到的，說明滿足方程約束條件。

(a) 未變形

(b) 變形

(c) 對比

以此方法為基礎(chǔ)，將杠桿變形模擬過程中得到的各個載荷下的杠桿組位置信息輸入到建模軟件中，得到杠桿組連續(xù)變形過程中的狀態(tài)，并檢查其干涉情況，可為杠桿系統(tǒng)的設(shè)計提供參考。

4 結(jié) 論

本文針對機翼結(jié)構(gòu)靜強度試驗中杠桿組位移預(yù)測和干涉檢測問題，提出了相應(yīng)的杠桿組位移求解算法，并使用CATIA軟件的二次開發(fā)功能建立了杠桿組在機翼大變形和作動器隨動加載情況下的CATIA裝配模型,主要結(jié)論包括：

(1) 通過單個杠桿的幾何條件和受力平衡條件，建立了其端點坐標的求解方程組。根據(jù)各個杠桿的連接關(guān)系建立求解一組杠桿中各端點坐標的方程組。

(2) 通過給定結(jié)構(gòu)表面點坐標和作動器懸掛點坐標，使用Levenberg-Marquardt算法求得各個杠桿的端點坐標。算例表明了所建立方程組和求解方法有效性。

(3) 通過CATIA二次開發(fā)程序進行杠桿系統(tǒng)的參數(shù)化建模，模擬了杠桿系統(tǒng)變形后的狀態(tài)，可檢測杠桿組與試驗設(shè)施的干涉狀態(tài)。因此可用于大變形和隨動加載等復(fù)雜情況下機翼靜強度試驗加載杠桿系統(tǒng)的設(shè)計工作。