雙分?jǐn)?shù)隨機利率環(huán)境下匯率連動期權(quán)定價*

劉淑琴 薛 紅

（西安工程大學(xué)理學(xué)院 西安 710048）

1 引言

當(dāng)前期權(quán)漸漸吸引了國內(nèi)國外許多投資人的眼球，其定價也越來越引起人們的重視。因此學(xué)者們也對不同期權(quán)進行了研究，文獻［1～3］分別討論了重置期權(quán)，回望期權(quán)，亞式期權(quán)的定價問題。現(xiàn)匯率連動期權(quán)作為期權(quán)的一種，是進行全球投資的一種金融期權(quán)形式，不僅依賴于外國股票的價格，而且依賴匯率變化。因為國標(biāo)的資產(chǎn)和匯率的變動都是隨機過程，定價比較困難，所以許多學(xué)者對此期權(quán)也進行了研究。迄今為止，有關(guān)匯率連動期權(quán)的研究也有許多，文獻［4～12］主要利用鞅方法和保險精算方法等不同方法分別討論了布朗運動環(huán)境下有關(guān)匯率連動期權(quán)定價模型，并給出了相應(yīng)的定價公式；以上學(xué)者是在布朗運動環(huán)境下研究的此期權(quán)，然而我們發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)布朗運動具有較好的“厚尾”和長程依賴特性，因此用分?jǐn)?shù)布朗運動取代了標(biāo)準(zhǔn)布朗運動。文獻［13～14］利用不同的方法討論了標(biāo)的資產(chǎn)服從分?jǐn)?shù)布朗運動下匯率期權(quán)定價問題；但是近年來，發(fā)現(xiàn)雙分?jǐn)?shù)布朗運動沒有獨立性和平穩(wěn)性，使用范圍比較廣，即可描述平穩(wěn)又可描述不平穩(wěn)的現(xiàn)象，比分?jǐn)?shù)運動是更一般的高斯過程。文獻［15］國外學(xué)者首次提出了雙分?jǐn)?shù)布朗運動，它是更一般的Gauss過程，它的增量與增量之間無獨立性，無平穩(wěn)性的特征，相對分?jǐn)?shù)布朗運動適用范圍更加廣泛，所以可以更好地應(yīng)用到金融市場當(dāng)中。隨后文獻［16～20］基于雙分?jǐn)?shù)布朗運動驅(qū)動環(huán)境下討論了各種期權(quán)定價模型，結(jié)果都優(yōu)于分?jǐn)?shù)布朗運動環(huán)境下的模型。期權(quán)定價的方法有多種多樣，但適用范圍較廣，限制因素較少的是由文獻［21］是由 Mogens Bladt與 Tina Hvid Rydberg于1998年第一次提出的保險精算方法。在文獻［22］中閆海峰等人也討論了此方法的優(yōu)點。文獻［23］中討論了歐式期權(quán)和交換期權(quán)在隨機利率及O-U過程下的定價方法?；谥T多學(xué)者研究的基礎(chǔ)上，因此本文在股價和匯率滿足雙分?jǐn)?shù)隨機利率驅(qū)動的隨機微分方程的大前提下，利用此方法推導(dǎo)出匯率連動期權(quán)定價公式。

2 金融市場數(shù)學(xué)模型

假定利率rt，股票價格St，匯率價格 Xt分別滿足隨機微分方程：

其中 a，b，c，μt，σ 為常數(shù)，，都為雙分?jǐn)?shù)布朗運動，并且它們的相關(guān)系數(shù)都為δ。

引理1 隨機微分方程（3）的解為

引理2 隨機微分方程（4）的解為

定義1［20］價格過程在 [t，T]的期望收益率定義為。

引 理 3［23］設(shè) 兩 隨 機 變 量 ，，則對任意實數(shù) a，b，c，d，k，有

引 理 4［23］設(shè) 三 隨 機 變 量 ，，則 對 任 意 實 數(shù)a，b，c，k，有

3 匯率連動期權(quán)定價

3.1 第一種匯率連動期權(quán)

其中：

證明：首先

由于

其中：

由于

故結(jié)論得證。

3.2 第二種匯率連動期權(quán)

其中：

證明：首先

則

由于

故結(jié)論得證。

4 結(jié)語

當(dāng)前有越來越多的證券投資商以及各種商業(yè)銀行發(fā)行了匯率連動期權(quán)，但由于股價以及匯率的變動都是隨機的變動過程，對其定價相對來說有一定的難度，因此本文利用保險精算進行貼現(xiàn)定價方法在雙分?jǐn)?shù)隨機利率下定價了此種期權(quán)，不論金融市場處于以上何種情況，本文給出的匯率連動期權(quán)公式都能使用。