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    多終端約束條件的任意加權(quán)最優(yōu)制導(dǎo)律

    2019-09-02 07:10:44易文俊袁丹丹
    兵器裝備工程學(xué)報(bào) 2019年8期
    關(guān)鍵詞:落角最優(yōu)控制落點(diǎn)

    黃 磊,易文俊,管 軍,袁丹丹

    (南京理工大學(xué) 瞬態(tài)物理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 南京 210094)

    隨著現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)形式的演變,對(duì)制導(dǎo)律提出了更高的要求?,F(xiàn)代制導(dǎo)武器在末端實(shí)施精確打擊的同時(shí),還要求以特定的落角來(lái)打擊目標(biāo)的薄弱部位,以提高毀傷效果。基于此,多終端約束條件的制導(dǎo)律已成為國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn),這些制導(dǎo)律在滿足脫靶量為零的同時(shí),還要求滿足特定的性能指標(biāo),例如大落角、飛行時(shí)間最短、控制能量最小等。近年來(lái),多種控制理論在制導(dǎo)律設(shè)計(jì)中得到應(yīng)用,其中基于最優(yōu)控制理論設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律能得到解析的、狀態(tài)反饋形式的制導(dǎo)指令,所以得到了廣泛的應(yīng)用。

    文獻(xiàn)[1]中利用拉格朗日乘子法推導(dǎo)出了滿足單片機(jī)工作要求的限制落點(diǎn)與落角的最優(yōu)制導(dǎo)律,制導(dǎo)律形式包含彈目視線角、彈目視線角速率、終點(diǎn)彈道高及終點(diǎn)導(dǎo)彈速度項(xiàng),最終結(jié)果不具有一般性。文獻(xiàn)[2]中利用線性二次型最優(yōu)控制理論研究了帶落角的最優(yōu)制導(dǎo)律,這種方法雖然精度高,但計(jì)算復(fù)雜,推導(dǎo)公式過(guò)程比較繁瑣。文獻(xiàn)[3]中在比例導(dǎo)引法的基礎(chǔ)上研究了二次型最優(yōu)制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[4]中依據(jù)一階駕駛儀動(dòng)力學(xué)特性研究了帶角度約束的最優(yōu)制導(dǎo)律。為此,文獻(xiàn)[5]中根據(jù)衛(wèi)星制導(dǎo)炸彈的彈道特點(diǎn)通過(guò)求解黎卡提微分方程研究了次優(yōu)制導(dǎo)律,一定程度上簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程,降低了推導(dǎo)難度。文獻(xiàn)[6]中研究了針對(duì)侵徹制導(dǎo)武器的多終端約束的制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[7]利用Schwarz不等式研究了帶落角約束的任意加權(quán)函數(shù)最優(yōu)制導(dǎo)律,但對(duì)加權(quán)函數(shù)有一定的限制。文獻(xiàn)[8]中研究了帶落角約束的間接Gauss偽譜最優(yōu)制導(dǎo)律,簡(jiǎn)化了對(duì)復(fù)雜加權(quán)函數(shù)的求解難度。文獻(xiàn)[9]中利用最優(yōu)控制理論設(shè)計(jì)了帶落角約束的制導(dǎo)律。

    本研究利用極小值原理和求解線性二次型最優(yōu)控制方程,對(duì)任意加權(quán)函數(shù)進(jìn)行求解,擴(kuò)展了加權(quán)函數(shù)的選取范圍,可根據(jù)制導(dǎo)目的不同,任意選取加權(quán)函數(shù)。本研究選取兩種在最優(yōu)控制領(lǐng)域最經(jīng)典的加權(quán)函數(shù)進(jìn)行求解,均推導(dǎo)出了解析形式的最優(yōu)制導(dǎo)律,并進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。采用蒙特卡洛打靶發(fā)研究了風(fēng)和測(cè)量誤差對(duì)制導(dǎo)精度的影響。

    1 系統(tǒng)模型的建立

    圖1為導(dǎo)彈末制導(dǎo)段彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)二維關(guān)系圖,圖中:M為導(dǎo)彈,T為目標(biāo),θm為導(dǎo)彈速度傾角,q為彈目視線角,θf(wàn)為期望落角,vm為導(dǎo)彈速度,a為垂直于導(dǎo)彈速度方向的加速度,R為彈目相對(duì)距離。

    圖1 末制導(dǎo)彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)二維關(guān)系

    由圖1,可得到彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)引關(guān)系方程為:

    (1)

    式中:v為y軸方向上的速度。u(t)為制導(dǎo)指令。假設(shè)導(dǎo)彈的速度vm為常值,θm為坐標(biāo)系下的小角度,則式(1)可線性化為:

    (2)

    運(yùn)動(dòng)方程式(2)的狀態(tài)方程為

    (3)

    式中:

    (4)

    (5)

    由圖1可知,要滿足零脫靶量和終端落角要求,即滿足

    (6)

    寫成矩陣形式為

    Cx(t)=D

    (7)

    式中

    (8)

    在滿足上述約束條件時(shí),尋找u(t)使得以一般函數(shù)R(t)為加權(quán)函數(shù)的控制能量最小:

    (9)

    由文獻(xiàn)[10]中可知上述最優(yōu)控制問(wèn)題的解為:

    u*(t)=R-1BTFH-1(FTx(t)-D)

    (10)

    式中:

    (11)

    (12)

    (13)

    2 最優(yōu)制導(dǎo)率的求解

    2.1 R-1(t)=1的情況

    2.1.1考慮控制系統(tǒng)為一階慣性環(huán)節(jié)時(shí)的最優(yōu)制導(dǎo)律

    由式(12)可得到

    (14)

    (15)

    (16)

    (17)

    對(duì)式(14)~式(17)式分別在區(qū)間[tf,t]積分,得到

    (18)

    (19)

    h21=h12

    (20)

    h22=Te-2tgo/T/2-2Te-tgo/T-tgo+3/2T

    (21)

    將式(18)~式(21)及式(2)、式(6)及q(t)=-y(t)/R代入式(10)得到

    (K1tgo+K2)vmθm+(K1f31+K2f32)a(t)-K2vmθf(wàn)]

    (22)

    式中,

    K1=f31h22-f32h21

    K2=f32h11-f31h12

    (23)

    2.1.2不考慮控制系統(tǒng)慣性時(shí)的最優(yōu)制導(dǎo)律

    當(dāng)時(shí)間常數(shù)相對(duì)于飛行時(shí)間較小或者系統(tǒng)反應(yīng)滯后較小時(shí),可以忽略動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)的影響。即T→0,則

    (24)

    (25)

    h21=h12

    (26)

    h22=-tgo

    (27)

    (28)

    (29)

    此時(shí),式(22)變?yōu)?/p>

    (30)

    式(30)的結(jié)果與文獻(xiàn)[11]和文獻(xiàn)[12]中的帶落角約束的最優(yōu)控制制導(dǎo)律是一致的。

    2.2 R-1(t)=eNtgo的情況

    2.2.1考慮控制系統(tǒng)為一階慣性環(huán)節(jié)時(shí)的最優(yōu)制導(dǎo)律

    此時(shí),由式(12)可得:

    (31)

    Te-2tgo/T+Ntgo+tgoeNtgo-TeNtgo

    (32)

    (33)

    對(duì)式(31)~式(33)式分別在區(qū)間[tf,t]積分,得到

    (34)

    (35)

    (36)

    將式(34)~式(36)式代入式(10)得到控制系統(tǒng)為一階慣性環(huán)節(jié)時(shí)的最優(yōu)制導(dǎo)律

    (K1tgo+K2)vmθm+(K1f31+

    K2f32)a(t)-K2vmθf(wàn)]

    (37)

    式中

    K1=f31h22-f32h21

    K2=f32h11-f31h12

    (38)

    2.2.2不考慮控制系統(tǒng)慣性時(shí)的最優(yōu)制導(dǎo)律

    當(dāng)時(shí)間常數(shù)相對(duì)于飛行時(shí)間較小或者系統(tǒng)反應(yīng)滯后較小時(shí),可以忽略動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)的影響。即T→0,則

    (39)

    (40)

    (41)

    (42)

    (43)

    將式(39)~式(41)代入式(10)得到不考慮控制系統(tǒng)慣性環(huán)節(jié)時(shí)的最優(yōu)制導(dǎo)律

    (K3+h11/tgo)θm-K4θf(wàn)/tgo]

    (44)

    式中

    K3=tgoh22-h21

    K4=h11-tgoh12

    (45)

    3 仿真分析

    在本小節(jié)中對(duì)推導(dǎo)出來(lái)的最優(yōu)制導(dǎo)律進(jìn)行仿真驗(yàn)證,采用控制變量法從不同終端落角、不同初始射角、不同初始彈道高等三方面進(jìn)行了驗(yàn)證,通過(guò)仿真數(shù)據(jù)對(duì)制導(dǎo)過(guò)程中的相關(guān)特性進(jìn)行了全面分析。分析結(jié)果表明,本文推導(dǎo)的制導(dǎo)律滿足脫靶量、大落角等性能要求。

    以R-1=1為加權(quán)函數(shù),以控制能量函數(shù)為性能函數(shù),現(xiàn)有大量文獻(xiàn)已做了較為全面的分析[13-16]?;诖?,本研究只對(duì)指數(shù)加權(quán)函數(shù)下的最優(yōu)制導(dǎo)律進(jìn)行仿真分析,并分別考慮控制系統(tǒng)為一階慣性環(huán)節(jié)和無(wú)慣性環(huán)節(jié)兩種情況。以下將最優(yōu)導(dǎo)引律式(44)、式(37)分別簡(jiǎn)稱為OGL1和OGL2。仿真初始參數(shù)如表1所示,導(dǎo)航系數(shù)N=0.6,時(shí)間常數(shù)T=0.3。脫靶量和落角誤差如表2所示。彈道傾角圖和彈道軌跡圖如圖2所示。

    從表2、圖2可以看出在OGL1和OGL2制導(dǎo)律的作用下導(dǎo)彈都能以期望的落角去要求。從圖2(b)可以看出,彈道傾角向期望落角收斂的速率較快。從圖2(c)可以看出,最大制導(dǎo)指令出現(xiàn)在制導(dǎo)初始段,隨著彈道傾角向期望落角趨近時(shí),制導(dǎo)指令也會(huì)隨之減小,當(dāng)彈道傾角達(dá)到期望落角時(shí),制導(dǎo)指令會(huì)隨之趨近于0。

    圖3的仿真初始條件為:彈道高ym=2 800、2 600、2 400 m,落角為75°,其他參數(shù)不變。從圖3(a)可以看出,不同初始彈道高在OGL1和OGL2情況下都能以預(yù)期的落角、落角擊中目標(biāo),且誤差滿足要求。如圖3(b)所示,制導(dǎo)初始段法向過(guò)載較大,在制導(dǎo)末段制導(dǎo)指令會(huì)趨近零,彈道傾角會(huì)以較快速度向期望落角收斂。

    表1 仿真初始參數(shù)

    表2 制導(dǎo)結(jié)果

    圖4的仿真初始條件為:初始彈道傾角θm0=-10°、-20°、-30°,期望落角為75°,其他仿真初始參數(shù)不變。從圖4中可以看出,在OGL1和OGL2作用下均能以預(yù)期落角、落點(diǎn)擊中目標(biāo),且誤差滿足要求。

    圖2 不同終端落角下的仿真結(jié)果

    圖3 不同彈道高情況下的仿真結(jié)果

    圖4 不同初始彈道傾角情況下的仿真結(jié)果

    由于在制導(dǎo)末端風(fēng)的干擾是客觀存在的,這會(huì)對(duì)制導(dǎo)結(jié)果產(chǎn)生不利的影響,因此,研究所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的抗風(fēng)干擾能力是必要的。本文以期望落角為90°為例,給導(dǎo)彈速度全程加上±10%的偏差,采用蒙特卡洛方法研究落點(diǎn)和落角誤差,仿真計(jì)算200次,落點(diǎn)和落角仿真結(jié)果如圖5所示。

    圖5 考慮風(fēng)的仿真結(jié)果

    由圖5可知,OGL-1制導(dǎo)律在給導(dǎo)彈速度全程加±10%的偏差的情況下落點(diǎn)誤差在0.24 m以內(nèi),落角誤差在0.009°以內(nèi);OGL-2制導(dǎo)律落點(diǎn)誤差在0.22 m以內(nèi),落角誤差在0.007 4°以內(nèi)。落點(diǎn)和落角誤差都在允許范圍之內(nèi)。

    測(cè)量誤差在末制導(dǎo)階段也是客觀存在的,也會(huì)對(duì)制導(dǎo)精度產(chǎn)生不利影響。對(duì)于本文兩種制導(dǎo)律來(lái)說(shuō),主要是剩余飛行時(shí)間的估算誤差會(huì)對(duì)制導(dǎo)精度產(chǎn)生影響。仿真時(shí),考慮5%的測(cè)量誤差,采用蒙特卡洛方法計(jì)算200次,落點(diǎn)和落角仿真結(jié)果如圖6所示。

    圖6 考慮測(cè)量誤差的仿真結(jié)果

    由圖6可知,在考慮5%的測(cè)量誤差的情況下,OGL-0的落點(diǎn)誤差在0.260 m以內(nèi),落角誤差在0.020°以內(nèi);OGL-1最優(yōu)制導(dǎo)律的落點(diǎn)誤差在0.25 m以內(nèi),落角誤差在0.1°以內(nèi)。

    4 結(jié)論

    研究了多終端約束條件的任意加權(quán)最優(yōu)制導(dǎo)律。對(duì)給定的加權(quán)函數(shù)通過(guò)本文的研究方法都能得到解析形式的最優(yōu)制導(dǎo)率??筛鶕?jù)制導(dǎo)目的的不同,選取不同的加權(quán)函數(shù)進(jìn)行求解,拓展了加權(quán)函數(shù)的選擇范圍。

    通過(guò)本文方法推導(dǎo)出來(lái)的最優(yōu)制導(dǎo)律形式簡(jiǎn)單,僅包含彈目視線角、落角、彈道傾角、法向加速度項(xiàng),這些數(shù)據(jù)的獲取在工程上都較容易獲取,所以本文的最優(yōu)制導(dǎo)率可為工程實(shí)踐提供一定的理論指導(dǎo)。

    拓展了指數(shù)加權(quán)函數(shù)情況下的仿真內(nèi)容,采用控制變量法分別驗(yàn)證了制導(dǎo)律在不同期望落角、不同彈道高、不同彈道傾角下的準(zhǔn)確性,分析了相關(guān)彈道特性。

    在制導(dǎo)末端風(fēng)對(duì)落點(diǎn)和落角的影響時(shí),兩種最優(yōu)制導(dǎo)律在制導(dǎo)末端抗風(fēng)能力較強(qiáng)。本文推導(dǎo)的兩種帶落點(diǎn)和落角的最優(yōu)制導(dǎo)律穩(wěn)定性較好,可靠性較高,對(duì)工程實(shí)踐有一定的指導(dǎo)意義。

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