☉江蘇省蘇州市吳中區(qū)碧波中學(xué) 朱方政
數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分,是數(shù)學(xué)的靈魂,是數(shù)學(xué)的精髓.初中數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)含很多數(shù)學(xué)思想,如轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、類比思想、方程思想、整體思想、估算思想等.教材中雖然沒有明確提出這些數(shù)學(xué)思想,但通過每章小結(jié)等形式向?qū)W生滲透這些數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)思想不同于數(shù)學(xué)知識(shí),它來源于數(shù)學(xué)知識(shí)而又高于數(shù)學(xué)知識(shí),常常滲透在數(shù)學(xué)知識(shí)之中,是指導(dǎo)我們解決數(shù)學(xué)問題的根本策略.在教學(xué)時(shí),要注意有意識(shí)地向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想.那么,應(yīng)該怎樣向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想呢?下面結(jié)合自身教學(xué)實(shí)踐,從三個(gè)方面說明.
初中數(shù)學(xué)中的每個(gè)章節(jié)都滲透有數(shù)學(xué)思想.不過有的章節(jié)滲透的數(shù)學(xué)思想比較明顯,有的則比較隱含.對(duì)于那些明顯滲透數(shù)學(xué)思想的教學(xué)內(nèi)容,可以在引入時(shí)滲透數(shù)學(xué)思想.比如,在教學(xué)分式的基本性質(zhì)時(shí),在引入時(shí)可以先設(shè)計(jì)下面的問題:
題1:把下面的分?jǐn)?shù)化為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù):
題2:填空:
題3:判斷下面的算式是否正確:
題4:把和化成分母是10而大小不變的分?jǐn)?shù),則
題5:對(duì)于任意一個(gè)分?jǐn)?shù),當(dāng)c≠0時(shí),可以猜想(填“=”或“≠”).
題6:分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì):分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或者除以相同的數(shù)( ),分?jǐn)?shù)的大?。?).類比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì),可以猜想分式的基本性質(zhì)為:___________,用式子可以表示為___________.
通過這樣的引入,很自然地向?qū)W生滲透了一種數(shù)學(xué)思想:類比思想.將分式與分?jǐn)?shù)進(jìn)行類比,從分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)自然過渡到分式的基本性質(zhì),過渡非常自然,學(xué)生易于接受分式的基本性質(zhì),同時(shí)便于學(xué)生切實(shí)感悟類比思想.
在章節(jié)小結(jié)、復(fù)習(xí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中,由于涉及的知識(shí)點(diǎn)較多,知識(shí)容量較大,蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想也較多,在教學(xué)時(shí)要盡可能把那些比較典型的數(shù)學(xué)思想有意識(shí)地向?qū)W生滲透,幫助學(xué)生掌握章節(jié)知識(shí),厘清知識(shí)之間的關(guān)系.
例如,在復(fù)習(xí)“平行四邊形”一章時(shí),四邊形之間的關(guān)系如圖1所示:
圖1
可以向?qū)W生提出這些問題:
問題1:如何判定一個(gè)四邊形是平行四邊形?(①兩組對(duì)邊分別平行;②兩組對(duì)邊分別相等;③一組對(duì)邊平行且相等;④兩組對(duì)角分別相等,滿足①②③④中的任意一個(gè)選項(xiàng),這樣的四邊形就是平行四邊形,向?qū)W生滲透從一般到特殊的思想)
問題2:特殊平行四邊形包括哪些四邊形?(矩形、菱形和正方形,向?qū)W生滲透分類思想)
問題3:證明一個(gè)四邊形是菱形時(shí),可以先證這個(gè)四邊形是平行四邊形,然后證明這個(gè)四邊形有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直或?qū)蔷€平分一組對(duì)角;證明一個(gè)四邊形是矩形時(shí),可以先證這個(gè)四邊形是平行四邊形,然后證明這個(gè)四邊形有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等,向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化思想.
問題4:正方形既是矩形又是菱形,兼具矩形和菱形的性質(zhì),在證明一個(gè)四邊形是正方形時(shí),可以先證明這個(gè)四邊形是矩形,然后證明這個(gè)矩形有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直或?qū)蔷€平分一組對(duì)角,也就是證明這個(gè)矩形是菱形;也可以先證明這個(gè)四邊形是菱形,然后證明這個(gè)菱形有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等,也就是證明這個(gè)菱形是矩形,向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化思想.
通過提出這些問題,向?qū)W生滲透分類思想、轉(zhuǎn)化思想、從一般到特殊的思想等,同時(shí)有利于厘清平行四邊形、矩形、菱形和正方形之間的關(guān)系.
在教學(xué)中向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想,一個(gè)最重要的目的是讓學(xué)生在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下,能夠利用這些數(shù)學(xué)思想幫助他們分析和解決問題,畢竟數(shù)學(xué)思想有“指路明燈”的作用.為此,在解題教學(xué)中,我們應(yīng)該有意識(shí)地設(shè)計(jì)一些與滲透的思想有關(guān)的數(shù)學(xué)問題,讓學(xué)生“現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用”“活學(xué)活用”.
初中階段我們學(xué)習(xí)了函數(shù),而函數(shù)圖像是數(shù)形結(jié)合的重要工具,利用函數(shù)圖像解決問題是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn).學(xué)習(xí)了一次函數(shù)的知識(shí)后,我們知道二元一次方程組的解可以看作二元一次方程組中的兩個(gè)方程對(duì)應(yīng)的兩個(gè)一次函數(shù)圖像的交點(diǎn)的坐標(biāo),教材中涉及一次函數(shù)的內(nèi)容有對(duì)應(yīng)的例題,在講完該例題后,為了進(jìn)一步向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的思想,我“趁熱打鐵”,給學(xué)生布置了如下一道練習(xí)題:
如圖2,在長(zhǎng)方形ABCD中,點(diǎn)E是線段AB靠近點(diǎn)A的一個(gè)四等分點(diǎn),AB=4,BC=8,連接DE,交對(duì)角線AC于點(diǎn)M.求△AEM的面積.
圖2
圖3
要求△AEM的面積,根據(jù)已知條件,只需求出AE邊上的高就行了,如果學(xué)習(xí)了相似三角形的知識(shí),求AE邊上的高就是“小菜一碟”,但相似三角形屬于九年級(jí)的知識(shí),因此該題對(duì)于還未學(xué)習(xí)相似知識(shí)的八年級(jí)學(xué)生來說,肯定具有一定的挑戰(zhàn)性,當(dāng)然這也正是我設(shè)計(jì)此題的動(dòng)機(jī)所在——向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合思想,讓學(xué)生利用函數(shù)知識(shí)解答此題.經(jīng)過思考,還真有不少學(xué)生解出了該題.他們以點(diǎn)A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,建立了如圖3所示的平面直角坐標(biāo)系.這樣可以立即得到A、B、C、D四點(diǎn)的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式y(tǒng)=2x,直線DE的解析式y(tǒng)=-8x+8.聯(lián)立兩直線的解析式,便可求出點(diǎn)M的坐標(biāo),也就可以得到△AEM的邊AE上的高,也就可以求出△AEM的面積.這些學(xué)生能夠想到利用函數(shù)圖像解答,說明他們對(duì)數(shù)形結(jié)合思想有一定的感悟和理解,同時(shí)達(dá)到了向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合思想的目的.
再如,轉(zhuǎn)化思想是解決三元一次方程組問題的主要思想(化三元為二元,化二元為一元).學(xué)習(xí)了三元一次方程組的知識(shí)后,為了向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化思想,我有意布置了如下一個(gè)實(shí)際問題:某水上公園有大、中、小三種型號(hào)的游船.5艘大型游船、3艘中型游船、1艘小型游船一次最多可以載乘客152人;7艘大型游船、4艘中型游船、1艘小型游船一次最多可以載乘客207人.你能算出1艘大型游船、1艘中型游船、1艘小型游船一次最多可以載乘客多少人嗎?
解答此題首先應(yīng)設(shè)1艘大型游船、1艘中型游船、1艘小型游船一次最多可以載乘客的人數(shù)分別為x、y、z,根據(jù)題意列方程組,得接下來就是要求出x+y+z的值.由于只有兩個(gè)方程卻有三個(gè)未知數(shù),顯然無法求出每個(gè)未知數(shù)的具體值,一些學(xué)生分析至此思維會(huì)受阻.由于我在講解三元一次方程組知識(shí)時(shí)經(jīng)常向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化思想,因而有不少學(xué)生想到將原方程組轉(zhuǎn)化為三元一次方程組,如視z(x或y)為常數(shù),原方程組可以轉(zhuǎn)化為這樣x、y都用含z的字母表示,可以順利求出x+y+z的值.
作為數(shù)學(xué)教師,向?qū)W生傳授數(shù)學(xué)知識(shí)固然重要,在教學(xué)過程中適時(shí)向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想也是非常重要的一個(gè)環(huán)節(jié).數(shù)學(xué)知識(shí)是基礎(chǔ),數(shù)學(xué)思想是引導(dǎo).在今后的教學(xué)中,我將更加注重對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想的滲透,提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力,從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).