對(duì)一道課本例題的多解探究及教學(xué)反思

☉廣東省珠海市第十中學(xué) 王淑艷

學(xué)習(xí)“多邊形的內(nèi)角和”時(shí)，一次不經(jīng)意的放手竟有意想不到的收獲，也引發(fā)了我對(duì)課堂教學(xué)的一點(diǎn)思考.

按教學(xué)計(jì)劃，學(xué)習(xí)了三角形內(nèi)角和定理之后，接著要探索多邊形內(nèi)角和公式，我先引出問題：請(qǐng)同學(xué)們探討四邊形內(nèi)角和等于多少度.想到方法的同學(xué)將解法寫在黑板上.我沒有給任何提示就讓學(xué)生自己開始嘗試解決.

一、相關(guān)知識(shí)回顧

結(jié)論：任意三角形內(nèi)角和等于180°.

證明方法1：對(duì)于任意△ABC，過點(diǎn)A作DE∥BC.

則∠B=∠BAD，∠C=∠CAE.

同時(shí)∠BAD+∠BAC+∠CAE=∠DAE=180°.

則∠BAC+∠B+∠C=180°.（得證）

證明方法2：對(duì)于任意△ABC，作過點(diǎn)A的直線DE.過點(diǎn)C作FG∥DE，過點(diǎn)B作MN∥DE.

則DE∥FG∥MN.

故∠ACP=∠CAE，∠APC=∠PAD，∠BPC=∠PBM，∠PCB=∠CBN，且∠APC+∠BPC=∠APB=180°.

同時(shí)∠PAD+∠BAC+∠CAE=∠DAE=180°，∠PBM+

∠ABC+∠CBN=∠MBN=180°.

則∠BAC+∠ABC+∠ACB=∠DAE+∠MBN-

∠APB=180°.

圖1

圖2

二、解法預(yù)設(shè)

圖3

備課時(shí)我根據(jù)之前的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)及常規(guī)解法，估計(jì)學(xué)生可能會(huì)有以下幾種方法：

（1）將四邊形分成兩個(gè)三角形，如圖3所示；

（2）在一邊上選一個(gè)點(diǎn)與不相鄰的頂點(diǎn)連接，將四邊形分成三個(gè)三角形，將這三個(gè)三角形內(nèi)角和相加后減去多余的平角即可，如圖4所示.

圖4

圖5

（3）在四邊形內(nèi)部任意選一點(diǎn)，與四個(gè)頂點(diǎn)連接，將四邊形分成四個(gè)三角形，將這四個(gè)三角形內(nèi)角和相加后減去中間的周角即可，如圖5所示.

（4）在四邊形外部任意選一點(diǎn)，與四個(gè)頂點(diǎn)連接，將四邊形分成四個(gè)三角形△APD、△CPD、△BCP，再將這三個(gè)三角形內(nèi)角和相加后減去△ABP的內(nèi)角和即可，如圖6所示.

即把四邊形分割為三角形，通過三角形內(nèi)角和推算出四邊形內(nèi)角和.分割的方法有直接連接一條對(duì)角線，還可以任選一個(gè)點(diǎn)與四邊形四個(gè)頂點(diǎn)連接，形成若干個(gè)三角形，當(dāng)然，這個(gè)點(diǎn)的選取可以在四邊形的一條邊上，也可以在四邊形的內(nèi)部或者外部.

圖6

三、課堂實(shí)錄

我本以為自己準(zhǔn)備得很充分，用預(yù)設(shè)方法去求四邊形內(nèi)角和也是非常自然的事情，誰知學(xué)生經(jīng)過討論后，開始往黑板上寫他們的解法時(shí)，我才發(fā)現(xiàn)自己忽略了一些很重要的東西，就是我們剛剛學(xué)習(xí)了“相交線與平行線”及三角形的有關(guān)知識(shí)，我沒有提前預(yù)見到學(xué)生會(huì)利用剛學(xué)的知識(shí)解決今天的問題！

他們除了用到解法預(yù)設(shè)中的第一種解法，其他方法不能不說還是非常精彩的.簡(jiǎn)述如下：

圖7

解法1：（如圖7所示）連接AC、BD交于點(diǎn)O.

因 為∠AOB=∠DAO+∠ADO，∠AOD=∠DCO+∠CDO，∠DOC=∠CBO+∠OCB，∠COB=∠BAO+∠ABO，所以∠AOB+∠AOD+∠DOC+∠COB=∠DAO+∠ADO+∠DCO+∠CDO+∠CBO+∠OCB+∠BAO+∠ABO，即∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB=360°.

（利用外角來解）

解法2：（如圖8所示）過點(diǎn)C作CE∥AD，交AB于點(diǎn)E.

則∠A+∠1=180°，∠D+∠DCE=180°.

所以∠A+∠1+∠D+∠DCE=360°.

又因?yàn)椤?=∠B+∠BCE，所以∠A+∠B+∠BCE+∠D+∠DCE=360°.

即∠A+∠B+∠BCD+∠D=360°.

解法3：（如圖9所示）過點(diǎn)C作CE∥AD，交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF∥AD.

則∠A+∠ABF=180°，∠D+∠DCE=180°.

所以∠A+∠ABF+∠D+∠DCE=360°.

所以∠A+∠ABC+∠1+∠D+∠DCE=360°.

因?yàn)镃E∥AD，BF∥AD，所以CE∥BF，所以∠1=∠2.

所以∠A+∠ABC+∠2+∠D+∠DCE=360°.

即∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°.

解法4：（如圖10所示）延長(zhǎng)AB、DC交于點(diǎn)O.

因?yàn)椤螦+∠D+∠O=180°，∠ABC+∠CBO=180°，∠DCB+∠BCO=180°，所以∠A+∠D+∠O+∠ABC+∠CBO+∠DCB+∠BCO=540°.

又因?yàn)椤螼BC+∠O+∠BCO=180°，所以∠A+∠D+∠ABC+∠DCB=360°.

（這種方法僅適用于四邊形有一組對(duì)邊延長(zhǎng)能相交的情形）

解法5：（如圖11所示）對(duì)于任意四邊形ABCD，過點(diǎn)A作直線EF，過點(diǎn)B作GH∥EF，交AD于點(diǎn)P，過點(diǎn)D作IJ∥EF，交BC于點(diǎn)Q，過點(diǎn)C作MN∥EF.

則EF∥GH∥IJ∥MN；

∠ABP=∠BAF，∠PAE=∠APB=∠ADQ；

∠QDC=∠DCM，∠QCN=∠CQD=∠CBP.

同時(shí)∠PAE+∠DAB+∠BAF=∠EAF=180°，∠DCM+∠DCQ+∠QCN=∠MCN=180°.

則∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=∠EAF+∠MCN=360°.

四、教學(xué)反思

1.鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試

如果一開始我就用準(zhǔn)備好的方法教學(xué)生如何得到四邊形的內(nèi)角和，可能就抹殺了學(xué)生如此有靈感的證明.學(xué)生的證法中雖然第2、3、4種證明方法不能適用于所有四邊形，但他們靈活使用學(xué)過的知識(shí)解決問題的意識(shí)還是值得表揚(yáng)的.可以注意到，學(xué)生剛接觸幾何證明，思路可能還比較單一，他們只能借助剛學(xué)的知識(shí)解決問題，條理性和嚴(yán)密性還需要進(jìn)一步加強(qiáng)，而我們作為老師，可以換位思考一下，學(xué)生初次看到這些問題可能與之前的知識(shí)有怎樣的聯(lián)想，以幫助我們了解學(xué)生的思考方向，對(duì)于我們把握學(xué)生的思路很有幫助，對(duì)他們思路中可能出現(xiàn)的漏洞也有所預(yù)見.

2.引導(dǎo)學(xué)生大膽質(zhì)疑

實(shí)際上，按照學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)，他們沒有意識(shí)到他們解題過程中存在的問題，例如，學(xué)生的第2、3、4種解法，并不是適用于任意四邊形，可以引發(fā)學(xué)生思考：為什么這種方法不適用于任意四邊形？哪些四邊形不能用呢？引導(dǎo)學(xué)生思考特殊四邊形，找到證明過程的疏漏，為今后學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

3.培養(yǎng)學(xué)生合作探究的意識(shí)

數(shù)學(xué)解法，尤其幾何證明通常不止一種方法，讓學(xué)生通過合作探究解決數(shù)學(xué)問題，不僅培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，還提高了交流能力，培養(yǎng)了解決問題的主動(dòng)性，養(yǎng)成不依賴?yán)蠋煹膶W(xué)習(xí)習(xí)慣.同時(shí)，與同學(xué)探究的過程，對(duì)知識(shí)進(jìn)行了一次有效的梳理，拓寬了思維方式.

4.培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，形成和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

提出問題，充分地讓學(xué)生思考，不僅培養(yǎng)了學(xué)生獨(dú)立思考、解決問題的能力，同時(shí)通過老師對(duì)他們的解法進(jìn)行點(diǎn)評(píng)及完善，養(yǎng)成嚴(yán)密的邏輯推理能力.在教學(xué)過程中，注重邏輯推理能力的培養(yǎng)，有利于提高學(xué)生研究事物本源的能力，真正提升學(xué)生的綜合素養(yǎng).

因此，我們?cè)趥湔n過程中，不能單憑經(jīng)驗(yàn)或者固定的解題方法去預(yù)設(shè)學(xué)生的解法，多點(diǎn)機(jī)會(huì)讓他們表達(dá)自己的想法，通過共同探究去培養(yǎng)學(xué)生多方面的能力.放手把課堂交給學(xué)生，讓他們?cè)诓怀墒熘新墒炱饋?