基于無應(yīng)力狀態(tài)量的平面梁節(jié)段預(yù)制構(gòu)形計(jì)算方法

但啟聯(lián),秦順全,2，魏凱，鄧鵬，苑仁安,2

(1.西南交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，成都 610031；2.中鐵大橋勘測(cè)設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，武漢 430050)

預(yù)制節(jié)段施工方法[1-3]是將梁體分為若干節(jié)段，在工廠或工地附近制梁場(chǎng)預(yù)制后，在橋位處進(jìn)行組拼形成橋梁的一種施工方法，該方法經(jīng)濟(jì)、環(huán)保、高效，節(jié)段便于工廠化生產(chǎn)，質(zhì)量易于控制，在現(xiàn)代橋梁施工中被廣泛采用。采用預(yù)制節(jié)段施工方法的關(guān)鍵是確定并精確制造出能滿足主梁線形的所有梁段。對(duì)于主梁節(jié)段預(yù)制，常用的方法有長線法[4-5]和短線法[6-9]。長線法是按設(shè)計(jì)的制梁線形制作固定曲線底座，預(yù)制節(jié)段在該固定底座上逐段生成，由于各節(jié)段間的相對(duì)幾何關(guān)系由底座曲線確定，精度易于控制。該方法對(duì)臺(tái)座穩(wěn)定性和預(yù)制施工場(chǎng)地要求較高。短線法是在同一可調(diào)支架上逐段制造所有梁段的方法，它以已完成預(yù)制的相鄰節(jié)段一端作為端模，通過調(diào)整與端模的角度實(shí)現(xiàn)預(yù)制節(jié)段的線形，制造梁段的線形在與已成梁段的匹配中實(shí)現(xiàn)，其精度主要取決于線形的調(diào)整精度。長線法和短線法制造梁段前需準(zhǔn)確計(jì)算主梁的制造線形，以使梁段在組拼后滿足主梁設(shè)計(jì)線形要求。

近年來，有學(xué)者基于無應(yīng)力狀態(tài)控制法，對(duì)預(yù)制節(jié)段施工主梁節(jié)段制造和安裝問題展開了研究。余昆等[10]針對(duì)鋼箱梁斜拉橋懸臂拼裝施工線形控制問題，提出基于無應(yīng)力狀態(tài)法理論的主梁線形控制的方法，通過主梁制造線形推算梁段間相對(duì)幾何關(guān)系，用以指導(dǎo)梁段的制造和安裝，使最終成橋狀態(tài)內(nèi)力和線形滿足目標(biāo)要求。吳運(yùn)宏等[11]針對(duì)鋼箱梁斜拉橋主梁線形控制問題，提出考慮內(nèi)力修正的主梁節(jié)段預(yù)制尺寸確定方法。顏東煌等[12]基于自適應(yīng)無應(yīng)力構(gòu)形控制思想，推導(dǎo)了主梁節(jié)段軸線夾角及節(jié)段制造參數(shù)公式。以上方法在確定節(jié)段預(yù)制構(gòu)形時(shí)，均需事先獲得主梁制造線形，由制造線形通過幾何遞推確定梁段間相對(duì)幾何關(guān)系和梁段預(yù)制參數(shù)，過程較繁瑣。

無應(yīng)力狀態(tài)控制法理論[13-15]闡明了結(jié)構(gòu)施工過程與最終成形狀態(tài)之間的關(guān)系，指出分階段施工橋梁控制的核心是構(gòu)建單元無應(yīng)力狀態(tài)量。單元無應(yīng)力狀態(tài)量是結(jié)構(gòu)單元本身的穩(wěn)定固有量，表征了單元無應(yīng)力時(shí)的幾何尺寸和形狀，將其回歸到單元預(yù)制構(gòu)形確定，并用以指導(dǎo)節(jié)段的預(yù)制施工，具有工程實(shí)際意義。文獻(xiàn)[16]建立了基于平面梁單元的分階段成形結(jié)構(gòu)線形控制方程，由方程可直接求解結(jié)構(gòu)單元無應(yīng)力狀態(tài)量。若要用單元無應(yīng)力狀態(tài)量來確定單元預(yù)制構(gòu)形，需首先明確二者間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。筆者通過對(duì)矩形平面梁單元變形過程分析，建立單元無應(yīng)力狀態(tài)量與預(yù)制構(gòu)形參數(shù)間的數(shù)學(xué)關(guān)系，并通過數(shù)值算例對(duì)關(guān)系式進(jìn)行驗(yàn)證。

1 平面梁節(jié)段預(yù)制構(gòu)形計(jì)算理論

由有限元分析理論可知，節(jié)點(diǎn)位移下單元形狀和尺寸將發(fā)生改變。通過分析平面梁單元在節(jié)點(diǎn)位移下的變形來建立單元無應(yīng)力狀態(tài)量與單元預(yù)制構(gòu)形參數(shù)間的關(guān)系。對(duì)矩形平面梁單元，發(fā)生節(jié)點(diǎn)位移后，單元兩端面曲率和長度為

(1)

l′=l+uj-ui

(2)

式中：ui、uj分別為單元i、j端的軸向位移；vi、vj分別為單元i、j端的橫向位移；θi、θj分別為單元i、j端的轉(zhuǎn)角位移；l為單元的初始長度。

為方便分析，規(guī)定單元構(gòu)形夾角為單元兩節(jié)點(diǎn)連線與單元端面內(nèi)法線的夾角，記為θi0、θj0，并規(guī)定連線順時(shí)針轉(zhuǎn)向內(nèi)法線時(shí)的夾角為正，反之為負(fù)[16]。單元構(gòu)形長度為單元節(jié)點(diǎn)間的幾何距離，記為l0。為了方便梁段的制造，工程中常采用以直代曲的方式將曲線形梁段簡化為直線形梁段，文中單元構(gòu)形均指直線形構(gòu)形，但無應(yīng)力狀態(tài)量仍指曲線形梁段單元對(duì)應(yīng)的無應(yīng)力狀態(tài)量，單元無應(yīng)力構(gòu)形見圖1。

圖1 平面梁單元預(yù)制構(gòu)形Fig.1 Precast configuration of plane beam

1.1 無應(yīng)力曲率與預(yù)制構(gòu)形夾角

在節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角位移或橫向位移下，平面梁單元將產(chǎn)生彎曲變形，分3種情況討論。

1)節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生轉(zhuǎn)角位移

單元僅產(chǎn)生節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角位移θi、θj，無橫向位移，如圖2所示。單元兩端截面產(chǎn)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，變形后單元構(gòu)形夾角為

(3)

代入式(1)得變形后單元端面無應(yīng)力曲率為

(4)

圖2 單元節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生轉(zhuǎn)角位移Fig.2 Angular displacement occurring on the element

2)節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生橫向位移

單元僅產(chǎn)生節(jié)點(diǎn)橫向位移vi、vj，無轉(zhuǎn)角位移，如圖3所示。單元兩端面產(chǎn)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)，變形后單元構(gòu)形夾角為

(5)

代入式(1)，考慮與式(4)形式上的統(tǒng)一，得變形后單元端面無應(yīng)力曲率為

(6)

圖3 單元節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生橫向位移Fig.3 Transverse displacement occurring on the element

3)節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生橫向位移和轉(zhuǎn)角位移

單元同時(shí)產(chǎn)生節(jié)點(diǎn)橫向位移vi、vj和轉(zhuǎn)角位移θi、θj，如圖4所示。此時(shí)，可看作情況1)、2)的疊加，變形后單元構(gòu)形夾角為

(7)

代入式(1)得變形后單元端面無應(yīng)力曲率為

(8)

式(4)、式(6)、式(8)的形式一致，說明無應(yīng)力曲率與單元構(gòu)形夾角對(duì)應(yīng)。由式(4)、式(6)、式(8)的任何一個(gè)，容易導(dǎo)出用端面曲率表示的構(gòu)形夾角的表達(dá)式，即

(9)

圖4 單元產(chǎn)生橫向位移和轉(zhuǎn)角位移Fig.4 Both of angular and transverse displacements occurring on the element

1.2 無應(yīng)力長度與預(yù)制構(gòu)形長度

單元僅產(chǎn)生節(jié)點(diǎn)軸向位移ui、uj，如圖5所示。單元將產(chǎn)生長度改變，改變量為

Δl=uj-ui

(10)

變形后單元構(gòu)形長度為

l0=l+Δl

(11)

圖5 單元產(chǎn)生軸向位移Fig.5 Axial displacement occurring in the

上述分析表明，平面梁單元預(yù)制構(gòu)形與單元無應(yīng)力狀態(tài)量之間相互對(duì)應(yīng)，預(yù)制構(gòu)形的改變將引起單元無應(yīng)力狀態(tài)量的變化，反之亦然。

1.3 節(jié)段預(yù)制構(gòu)形的確定

當(dāng)單元預(yù)制構(gòu)形參數(shù)確定后，可用以指導(dǎo)預(yù)制梁段的制作。圖6所示為梁段預(yù)制構(gòu)形尺寸，設(shè)構(gòu)形頂、底邊長度分別為ls、lx，構(gòu)形截面形心距頂、底邊的垂直距離分別為hs、hx，其余符號(hào)同前。由幾何關(guān)系可得

(12)

由式(12)可得到預(yù)制構(gòu)形的制作尺寸。

圖6 梁段預(yù)制構(gòu)形尺寸Fig.6 Precast configuration size of the beam

2 算例

以圖7所示懸臂梁為例，對(duì)建立的單元無應(yīng)力狀態(tài)量與預(yù)制構(gòu)形間關(guān)系式進(jìn)行驗(yàn)證。圖中懸臂梁跨徑為30 m，梁的豎向彎曲剛度為4×107kN·m，梁上按3 m水平間距作用有10個(gè)60 kN的豎向集中荷載，要求荷載作用下主梁最終目標(biāo)線形為拋物線y=x2/(2×104)。將主梁等距劃分為10個(gè)單元，將主梁目標(biāo)線形節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和轉(zhuǎn)角作為輸入，由文獻(xiàn)[16]推導(dǎo)的線形控制方程計(jì)算單元無應(yīng)力狀態(tài)量。對(duì)于預(yù)制節(jié)段施工主梁，結(jié)構(gòu)線形通常以標(biāo)高(坐標(biāo))進(jìn)行控制，即施工過程中和最終線形要達(dá)到預(yù)定的標(biāo)高值。不同的節(jié)點(diǎn)輸入將計(jì)算得到不同的單元無應(yīng)力狀態(tài)量，進(jìn)而對(duì)應(yīng)不同的單元預(yù)制構(gòu)形，為說明不同預(yù)制構(gòu)形對(duì)主梁目標(biāo)線形實(shí)現(xiàn)無本質(zhì)影響，以考慮節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角和不考慮節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角兩種線形(分別記為線形Ⅰ、線形Ⅱ，如圖7(b)、(c)所示)作為輸入。

圖7 主梁線形

2.1 線形Ⅰ計(jì)算結(jié)果

通過線形控制方程計(jì)算線形Ⅰ對(duì)應(yīng)的梁段單元無應(yīng)力狀態(tài)量，由式(9)計(jì)算單元構(gòu)形夾角，如表1所示。

表1 線形Ⅰ無應(yīng)力曲率及構(gòu)形夾角Table 1 Unstressed curvature and configuration intersection angle of the alignment Ⅰ

主梁通過節(jié)段拼接形成，各預(yù)制節(jié)段間相對(duì)幾何關(guān)系是確定的[16]。如圖8所示，設(shè)第k-1(k=2,3,…，10)節(jié)段軸線與水平線間的夾角為αk-1，則第k梁段軸線與水平線間的夾角為

αk=αk-1-θj0k-1+θi0k

(13)

圖8 預(yù)制構(gòu)形間幾何關(guān)系Fig.8 Geometrical relationship among the

設(shè)第k-1梁段始端坐標(biāo)為(xk-1,yk-1)，則得第k梁段始端坐標(biāo)為

(14)

由式(13)、式(14)對(duì)主梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)值拼裝，得到結(jié)構(gòu)預(yù)拼線形，并將結(jié)構(gòu)由于荷載P產(chǎn)生的位移疊加至預(yù)拼線形得到結(jié)構(gòu)最終成橋線形，如表2所示。由表2可知，結(jié)構(gòu)最終成橋線形與目標(biāo)線形一致。

表2 線形Ⅰ拼裝驗(yàn)證Table 2 Calculated assembly verification of the alignment Ⅰ

2.2 線形Ⅱ計(jì)算結(jié)果

通過線形控制方程計(jì)算得到線形Ⅱ?qū)?yīng)的梁段單元無應(yīng)力狀態(tài)量，并由式(9)得單元預(yù)制構(gòu)形夾角，如表3所示。

表3 線形Ⅱ無應(yīng)力曲率及構(gòu)形夾角Table 3 Unstressed curvature and configuration intersection angle of the alignment Ⅱ

由式(13)、式(14)對(duì)主梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)值拼裝，得到結(jié)構(gòu)預(yù)拼線形，并將結(jié)構(gòu)由于荷載P產(chǎn)生的位移疊加至預(yù)拼線形得到結(jié)構(gòu)最終成橋線形，如表4所示。由表4可知，結(jié)構(gòu)最終成橋線形與目標(biāo)線形一致。

2.3 線形Ⅰ與線形Ⅱ結(jié)果對(duì)比

1)對(duì)比表1與表3，線形Ⅰ與線形Ⅱ求得的單元無應(yīng)力曲率和預(yù)制構(gòu)形均不相同。

表4 線形Ⅱ拼裝驗(yàn)證Table 4 Calculated assembly verification of the alignment Ⅱ

2)對(duì)比表2與表4，預(yù)拼線形Ⅰ與預(yù)拼線形Ⅱ一致，最終成橋線形Ⅰ與最終成橋線形Ⅱ節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)相等，且都與目標(biāo)線形節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)一致，說明建立的無應(yīng)力狀態(tài)量與預(yù)制構(gòu)形間的關(guān)系正確。

3)線形Ⅰ對(duì)目標(biāo)線形上每個(gè)點(diǎn)的線形均滿足要求，線形Ⅱ僅在節(jié)點(diǎn)上滿足目標(biāo)線形坐標(biāo)要求，在節(jié)點(diǎn)間與目標(biāo)線形不同。由于工程中常將節(jié)點(diǎn)間梁段簡化為直線梁段，只要保證節(jié)點(diǎn)上線形滿足要求即可，所以兩種形式均可以滿足工程要求。

3 結(jié)論

建立了平面梁單元無應(yīng)力狀態(tài)量與單元預(yù)制構(gòu)形間的數(shù)學(xué)關(guān)系，并以懸臂梁為例對(duì)關(guān)系式進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明：

1)單元無應(yīng)力狀態(tài)量與單元預(yù)制構(gòu)形間相互對(duì)應(yīng)，不同的單元無應(yīng)力狀態(tài)量對(duì)應(yīng)不同的單元預(yù)制構(gòu)形；反之，不同的單元預(yù)制構(gòu)形對(duì)應(yīng)不同的單元無應(yīng)力狀態(tài)量。

2)數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，兩種輸入線形計(jì)算得到的最終成橋線形與目標(biāo)線形一致，說明建立的平面梁單元無應(yīng)力狀態(tài)量與單元預(yù)制構(gòu)形參數(shù)間的關(guān)系正確。

3)兩種輸入線形得到的單元預(yù)制構(gòu)形不相同，但二者均能實(shí)現(xiàn)對(duì)主梁節(jié)點(diǎn)標(biāo)高的控制，表明預(yù)制構(gòu)形的差異對(duì)主梁標(biāo)高控制無本質(zhì)影響。對(duì)實(shí)際工程而言，只要確保節(jié)點(diǎn)標(biāo)高滿足目標(biāo)線形標(biāo)高控制要求，梁段的預(yù)制構(gòu)形可不同。

4)梁段預(yù)制構(gòu)形確定的一般步驟為：由線形控制方程計(jì)算目標(biāo)線形對(duì)應(yīng)的單元無應(yīng)力狀態(tài)量，再根據(jù)單元無應(yīng)力狀態(tài)量與無應(yīng)力構(gòu)形間的關(guān)系計(jì)算節(jié)段預(yù)制構(gòu)形夾角及軸線長度，進(jìn)而得到預(yù)制構(gòu)形制造參數(shù)。