淺談導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學教學中的應(yīng)用

摘要：在高中教學內(nèi)容中，導(dǎo)數(shù)占據(jù)著重要的地位，并且通常在數(shù)學考試中以壓軸題目出現(xiàn)，另外還是學生以后學習微積分的基礎(chǔ)。合理應(yīng)用導(dǎo)數(shù)可以拓寬解決中學問題的視野，可以說導(dǎo)數(shù)是解決數(shù)學問題的有力工具。本文結(jié)合相關(guān)教學經(jīng)驗，分析導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學；導(dǎo)數(shù)應(yīng)用；解決問題

作為高中數(shù)學中的重要內(nèi)容，導(dǎo)數(shù)本身就具備工具性質(zhì)，是解決數(shù)學問題的重要工具。在高中數(shù)學教學內(nèi)容中，有關(guān)導(dǎo)數(shù)有著較為詳細的介紹，并詳細論述導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義，通過函數(shù)的變化率刻畫函數(shù)變化的趨勢。導(dǎo)數(shù)教學內(nèi)容是對函數(shù)性質(zhì)與圖像的總結(jié)與延伸，是研究函數(shù)、幾何問題、證明不等式的重要工具，并且通過導(dǎo)數(shù)可以實現(xiàn)生活中最優(yōu)化問題的解答。下文從函數(shù)、幾何、證明不等式詳細論述導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學的應(yīng)用，并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決生活中實際問題，以此實現(xiàn)導(dǎo)數(shù)意義的探究。

一、 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題

在函數(shù)問題研究過程中，主要考慮函數(shù)的圖像、單調(diào)性、函數(shù)的零點、函數(shù)的極值、函數(shù)的最值，導(dǎo)數(shù)知識的引入可以更加方便地研究這些問題。一個函數(shù)在一段定義域內(nèi)若為減函數(shù)，則f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）小于0，反之，若一個函數(shù)在一段定義域內(nèi)為增函數(shù)，則f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）大于0。通過導(dǎo)函數(shù)的圖像可以很好地判斷圖像是否屬于原函數(shù)，例如：函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖像如下圖所示，則函數(shù)f（x）的圖像可能為（）

在這類習題解答時，這要正確分析導(dǎo)函數(shù)圖像與原函數(shù)圖像之間的關(guān)系即可，導(dǎo)函數(shù)中小于零對應(yīng)的原函數(shù)為遞減區(qū)間，由此分析可以得知，原函數(shù)的圖像應(yīng)為遞減、遞增、遞減、遞增趨勢，因此答案為B。

二、 利用導(dǎo)數(shù)求解解析解析結(jié)合問題

在導(dǎo)數(shù)教學內(nèi)容中，導(dǎo)數(shù)的幾何意義為：曲線f（x）在點x0處的導(dǎo)數(shù)為在這一點的切線斜率，切線夾角為α，則f′（x0）=tanα。借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可以很好地求解曲線切線問題，尤其是在求解橢圓、雙曲線、拋物線等曲線圖形求解時，應(yīng)用原本的曲線公式求解切線十分復(fù)雜麻煩，而應(yīng)用導(dǎo)數(shù)可以很好地簡化求解過程，實現(xiàn)計算的簡化。例如：求垂直于2x-6y+1=0并且和曲線y=x3+3x2-5相切的直線方程。

解：由于所求得的直線方程與已知直線垂直，則所求的直線斜率為k=-3，又因為所求直線與曲線相切，則斜率滿足k=3x2+6x，通過這一公式的解答可以得出切點的橫坐標，再將得到的切點橫坐標x=-1代入曲線方程，可以得出切點為（-1，-3），依據(jù)斜率和切點可以得出直線方程：3x+y+6=0。如果沒有導(dǎo)數(shù)知識的引入，還需要設(shè)出直線方程，將直線方程帶入到曲線公式中，而應(yīng)用導(dǎo)數(shù)可以簡化很多求解步驟。

三、 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題

在不等式證明方法中主要包括換元法、綜合法、歸納法、分析法，但是對于含有指數(shù)或者對數(shù)的不等式證明習題，這些方法卻無法得心應(yīng)手，而導(dǎo)數(shù)方法的引入，可以很好地解決這些問題，簡化計算步驟。

例如：已知0

對于這道證明題，上述中的證明方法都無法很好地入手，并且綜合分析很容易出現(xiàn)錯誤，并且分析找不到相應(yīng)的切入點，而應(yīng)用導(dǎo)數(shù)就可以實現(xiàn)問題的清晰解答。

證明：要證ab

在導(dǎo)數(shù)的幫助下，學生對于不等式的學習會更加感興趣，在導(dǎo)數(shù)工具的幫助下，可以更加得心應(yīng)手地解決實際問題。

四、 導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用

傳授學生知識的目的是引導(dǎo)學生靈活運用相關(guān)知識解決實際問題，導(dǎo)數(shù)知在解決實際生活問題中也有著很大的用處，在高中數(shù)學教學中引入相關(guān)問題有助于提升學生的解決實際問題的能力。例如：將進貨單價為90遠的某商品按100遠一個出售，能賣出500個，已知這種商品如果每個漲1元，其銷量就會減少10個，為了獲得最大利潤，售價應(yīng)定為多少？

解：設(shè)：漲價x元，總利潤為y元。

由題意得y=f（x）=（10+x）（500-10x）（0≤x≤49）（單個利潤×銷量）

（y=-10x2+400x+5000）

f′（x）=-20x+400。

令f′（x）=0，解得x=20

f（0）=5000，f（20）=9000，f（49）=590。

所以當漲價20元時有最大利潤9000元，售價應(yīng)定為100+20=120元。在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用下，本來計算較為麻煩的實際問題得到有效解決，并且解答過程十分簡潔，思路清晰。

五、 結(jié)語

總而言之，在高中數(shù)學教學內(nèi)容中，作為工具的導(dǎo)數(shù)知識在解決各類數(shù)學問題時都能夠發(fā)揮良好的作用，在實際教學中，教師要深度開展導(dǎo)數(shù)內(nèi)容教學，引導(dǎo)學生建立導(dǎo)數(shù)思維，以及靈活運用導(dǎo)數(shù)知識，實現(xiàn)問題的簡化解答。另外，在教學中，教師要注重導(dǎo)數(shù)知識的遷移，引導(dǎo)學生運用導(dǎo)數(shù)知識分析與解答實際問題，實現(xiàn)學以致用。

參考文獻：

[1]馬艷.淺談導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學中的應(yīng)用[J].基礎(chǔ)教育論壇，2016（22）：34-36.

[2]朱雅琪.淺談導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學解題中的應(yīng)用[J].知識文庫，2017（2）.

作者簡介：彭國榮，福建省寧德市，福建省寧德市實驗學校。