數(shù)形結(jié)合思想在極限教學(xué)中的使用

陳小燕

摘 要：極限是高等數(shù)學(xué)課程體系的基石，在其他領(lǐng)域也有重要應(yīng)用，理解極限概念對后續(xù)課程的學(xué)習(xí)起著非常重要的作用，在此使用數(shù)形結(jié)合思想方法可以起到事半功倍的效果。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;數(shù)學(xué)思想;極限;高等數(shù)學(xué)

一、高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)中引入數(shù)學(xué)思想方法的必要性

高等數(shù)學(xué)課程作為高職院校機(jī)電類、經(jīng)管類專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課程，在各個領(lǐng)域正發(fā)揮出日益重要的作用。高職院校的人才培養(yǎng)，是以職業(yè)能力培養(yǎng)為核心，以素質(zhì)教育為特色，培養(yǎng)面向社會所需要的高素質(zhì)應(yīng)用型復(fù)合人才。遵循這一目標(biāo)原則，高職高等數(shù)學(xué)課程的定位應(yīng)以應(yīng)用為目的，以夠用為尺度，為學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)提供必須夠用的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識。鑒于此，在高職高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中應(yīng)輕理論，重應(yīng)用。而筆者在

[1]教學(xué)實踐和同行交流中發(fā)現(xiàn)，高職高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)狀況很難達(dá)到這一原則。一方面，經(jīng)過高職院校理實比1：1改革，高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)時數(shù)有所縮減，很多教師沒有足夠的時間將重要內(nèi)容講深、講透;而另一方面，高等數(shù)學(xué)課程內(nèi)容較抽象、前后邏輯性強，教師“填鴨式”教學(xué)，加之學(xué)生基礎(chǔ)薄弱、學(xué)習(xí)積極性差等因素，學(xué)生學(xué)習(xí)效果較差，教學(xué)質(zhì)量不理想。故在當(dāng)前，作為授課教師，必須要研究教學(xué)方法，改變授課方式，簡化理論。

經(jīng)廊坊師范學(xué)院同行研究，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中使用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法，不僅是可行的，還是必要的。在高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，使學(xué)生不僅掌握其中的數(shù)學(xué)知識，還能使學(xué)生領(lǐng)悟到其中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生思維品質(zhì)，進(jìn)而培養(yǎng)其創(chuàng)造性思維能力和解決問題的能力。本文給出了在高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)中使用數(shù)學(xué)思想的具體事例，供廣大讀者借鑒[2]。

二、在極限教學(xué)中使用數(shù)形結(jié)合思想

高等數(shù)學(xué)是以函數(shù)為研究對象，極限為研究工具，以連續(xù)為橋梁的學(xué)科。在高等數(shù)學(xué)一系列概念中，如導(dǎo)數(shù)、連續(xù)、定積分等，都離不開極限，可以說極限是高等數(shù)學(xué)的基石，也是教學(xué)中的重難點內(nèi)容，是學(xué)生必須理解掌握的內(nèi)容。而數(shù)學(xué)分析中給出的極限定義為：若對于

“數(shù)無形，少直觀;形無數(shù)，難入微”，利用“數(shù)形結(jié)合”可使所要研究的問題化難為易，化繁為簡。在函數(shù)極限章節(jié)中使用數(shù)形結(jié)合思想，可以將復(fù)雜的極限概念直觀化，幫助學(xué)生直觀地觀察極限，從而幫助學(xué)生加深對極限概念的理解，進(jìn)一步掌握極限概念。

用數(shù)形結(jié)合思想理解函數(shù)極限，通常分三步走。第一步，畫出函數(shù)圖像;第二步，在函數(shù)圖像上標(biāo)出兩點，橫軸上的x_0點及函數(shù)圖像上對應(yīng)的點;第三步，根據(jù)自變量的變化趨勢觀察函數(shù)值的變化趨勢，若函數(shù)值能無限逼近于一個固定常數(shù)A，則可以斷定，常數(shù)A為函數(shù)此時的極限。

解：第一步先畫函數(shù)圖像

第二步在圖中橫軸上標(biāo)出“1”所在位置，標(biāo)出橫坐標(biāo)為1時，函數(shù)圖像上對應(yīng)的點，標(biāo)記為點B;

第三步，在函數(shù)圖像上觀察x→1時，函數(shù)值的變化趨勢。從圖上可以看出，x→1，可以從右邊無限逼近于1，也可以從左邊無限逼近于1。

當(dāng)x→1+時，函數(shù)圖像從右往左運動（僅觀察第一象限的函數(shù)圖像），當(dāng)x無限逼近于1時，函數(shù)圖像無限逼近于點B，此時函數(shù)值無限逼近常數(shù)1;當(dāng)x→1-時，函數(shù)圖像從左往右運動（僅看第一象限函數(shù)圖像），當(dāng)x無限逼近于1時，函數(shù)圖像無限逼近于點B，此時函數(shù)值無限逼近常數(shù)1。由此可知，無論自變量從左邊還是右邊逼近于1，函數(shù)值都無限逼近于一個固定常數(shù)1，故此時函數(shù)極限存在，是1，即

從上述分析過程可以體會到，從函數(shù)圖像上可以直觀的觀察函數(shù)極限，進(jìn)而幫助同學(xué)們理解抽象的函數(shù)極限概念。

在筆者教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，使用數(shù)形結(jié)合方法可以幫助我們了解函數(shù)極限不存在的情況，進(jìn)一步理解極限的概念。

第一步：先畫函數(shù)圖像

第二步：在橫軸上找到橫坐標(biāo)為0的點，再找函數(shù)圖像上對應(yīng)的點，標(biāo)為點B、點C。

第三步：在函數(shù)圖像上觀察，當(dāng)x→0時，函數(shù)值的變化趨勢。從函數(shù)圖像上可以看出，自變量可以從左邊，也可以從右邊無限逼近于0。

當(dāng)x→0-時，函數(shù)圖像從左往右運動（僅看第三象限的函數(shù)圖像），此時函數(shù)圖像無限逼近于點B，函數(shù)值無限逼近于常數(shù)1;當(dāng)x→0+時，函數(shù)圖像從右往左運動（僅看第一象限的函數(shù)圖像），此時函數(shù)圖像無限逼近于點C，函數(shù)值無限逼近于常數(shù)2。由此可知，當(dāng)x→0時，函數(shù)值逼近于兩個不同的常數(shù)，而不是一個固定常數(shù)，故此時極限不存在。

極限是高等數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)，也是學(xué)生在接觸高等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)到的第一個新概念，在極限教學(xué)中采用數(shù)形結(jié)合的方法，可以幫助學(xué)生理解極限概念，提高學(xué)習(xí)效率，將抽象概念直觀化，使學(xué)生心底里不再抗拒數(shù)學(xué)。總之，數(shù)形結(jié)合是一種行之有效的教學(xué)方法。

[參考文獻(xiàn)]

[1]李德晶， 楊德志. 高職院校高等數(shù)學(xué)教學(xué)方法與思路淺析[J]. 職業(yè)技術(shù)， 2011， （3）：16.

[2]馬秀梅， 林距華. 高等數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)途徑的探討[J]. 廊坊師范學(xué)院學(xué)報， 2005， （4）：73-75.

（作者單位：云南機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，云南 昆明 650000）