從課本一道習(xí)題說數(shù)學(xué)教學(xué)

曾小紅

近幾年的中考題，題目大多源自課本，從課本習(xí)題中尋找命題生長點(diǎn)和拓展點(diǎn)，形成新穎、靈活的中考題。因此，重視課本習(xí)題的拓展、探究及應(yīng)用是具有重要意義的。下面筆者舉一例談?wù)劻?xí)題的教學(xué)設(shè)想。

人教版八年級下冊第十九章《一次函數(shù)》第109 頁13 題：一個有進(jìn)水管與出水管的容器，從某時刻開始4 min 內(nèi)只進(jìn)水不出水，在隨后的8 min 內(nèi)既進(jìn)水又出水，每分的進(jìn)水量和出水量是兩個常數(shù)。容器內(nèi)的水量y(單位：L)與時間x(單位：min)之間的關(guān)系如圖所示。

(1)當(dāng)0臆x臆4 時，求y 關(guān)于x 的函數(shù)解析式。

(2)當(dāng)4約x臆12 時，求y 關(guān)于x 的函數(shù)解析式。

(3)每分進(jìn)水、出水各多少升？

本題是分段函數(shù)應(yīng)用題，是課本重點(diǎn)介紹的一種題型，對培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和推理能力有重要價值。從分析題意可知：本題要考查的知識背景是一次函數(shù)、一元一次方程、二元一次方程組，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、解方程(組)等知識。涉及的數(shù)學(xué)思想方法有數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想。這是一道好題，但教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，如果講完或練完本題就此結(jié)束此題教學(xué)，那么學(xué)生在碰到類似問題時依然不會解決，其原因是學(xué)生的思維沒有得到發(fā)展，具體說就是思維的靈活性、深刻性、廣闊性、敏捷性沒有得到發(fā)展，因而學(xué)生不能做到舉一反三。數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的載體就是數(shù)學(xué)問題，抓住數(shù)學(xué)問題大做文章可以培養(yǎng)和發(fā)展思維的品質(zhì)。為此在全面分析和解決本題之后，筆者主要做了以下變式和拓展。

變式一：變學(xué)生熟悉的題材背景，選擇與計費(fèi)有關(guān)的問題

題1：某移動公司采用分段計費(fèi)的方法來計算話費(fèi)，月通話時間x(分鐘)與相應(yīng)話費(fèi)y(元)之間的函數(shù)圖象如圖1 所示：

(1)月通話為100 分鐘時，應(yīng)交話費(fèi)______元；

(2)當(dāng)x臆100 時，求______與______之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)月通話為280 分鐘時，應(yīng)交話費(fèi)______元？

圖1

題2：某市電力公司為鼓勵市民節(jié)約用電，采取按月用電量分段收費(fèi)辦法，若某戶居民每月應(yīng)交電費(fèi)y(元)與用電量x(度)的函數(shù)圖象是一條折線，如圖2 所示，根據(jù)圖象解下列問題：

圖2

(1)分別寫出當(dāng)0臆x臆100 和x躍100 時，y 與x 的函數(shù)關(guān)系式；

(2)利用函數(shù)關(guān)系式，說明電力公司采取的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)；

(3)若該用戶某月用電62 度，則應(yīng)繳費(fèi)多少元？若該用戶某月繳費(fèi)105 元時，則該用戶該月用了多少度電？

計費(fèi)問題涉及面比較廣，除了電話費(fèi)、電費(fèi)，還可以是水費(fèi)、出租車收費(fèi)、銷售費(fèi)用等，這些問題都是學(xué)生身邊熟悉的問題，對激發(fā)學(xué)生求知欲和探究欲有很多的促進(jìn)作用。課標(biāo)強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。

變式二：變抽象的題材背景，選擇與工程有關(guān)的問題

題3：為改造南湖景觀，甲、乙兩支清淤泥隊同時開始清理南湖淤泥，一段時間后，乙隊被調(diào)往別處，甲隊又用了3 小時完成了剩余的清淤任務(wù)，已知甲隊每小時的清淤量保持不變，乙隊每小時清淤50 噸，甲、乙兩隊在此路段的清淤總量y(噸)與清淤時間x(時)之間的函數(shù)圖象如圖3 所示。

圖3

(1)乙隊調(diào)離時，甲、乙兩隊已完成的清淤總量為______噸。

(2)求此次任務(wù)的清淤總量m。

(3)求乙隊調(diào)離后y 與x 之間的函數(shù)關(guān)系式。

課標(biāo)明確數(shù)學(xué)在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和創(chuàng)造力等方面有著獨(dú)特的作用，選擇此類抽象的問題正是基于此要求。同樣的函數(shù)圖像，稍稍改變數(shù)據(jù)，還可以把此問題變成與行程有關(guān)系的問題。數(shù)學(xué)是相通的，卻又變化萬千。相通是因為同一知識點(diǎn)，考查同樣的思想方法和能力要求，變化萬千是數(shù)據(jù)可變、題材背景可變。培養(yǎng)學(xué)生多數(shù)學(xué)的愛好就需要教師不斷地挖掘?qū)W生身邊的事例，讓學(xué)生感覺到數(shù)學(xué)就在身邊，數(shù)學(xué)可以為生活服務(wù)。

以上兩個變式都沒有改變圖像特點(diǎn)，在考查要求不變的基礎(chǔ)上，如果變換函數(shù)圖像，則可以變式的題目更多，甚至可以是多段函數(shù)等(本文僅就兩段函數(shù)舉例說明)。

變式三：變函數(shù)圖像，選擇更靈活的題材

題4：據(jù)有關(guān)資料顯示，2017 年底廣西農(nóng)村貧困人口為267 萬人，為響應(yīng)習(xí)總書記全面脫貧的號召，實(shí)現(xiàn)到2020 年我國現(xiàn)行標(biāo)準(zhǔn)下農(nóng)村貧困人口脫貧的目標(biāo)，自治區(qū)政府分兩階段實(shí)施“精準(zhǔn)扶貧”攻堅戰(zhàn)，農(nóng)村貧困人數(shù)呈逐漸減少趨勢。預(yù)計貧困人數(shù)與時間變化關(guān)系如圖4 所示(提示：2017 年底至2020 年底共36 個月)。

請你根據(jù)以上材料，結(jié)合圖像解決以下問題：

(1)當(dāng)0臆x臆10 時，求y 與x 的函數(shù)關(guān)系式；

(2) 按照第10 個月后的脫貧變化趨勢，請通過計算判斷到2020 年底廣西能否實(shí)現(xiàn)完全脫貧的計劃？

(1)在(2)的條件下，若能完全脫貧，請求出在第幾個月可以脫貧；若不能完全脫貧，從第21 個月開始月平均脫貧人數(shù)至少要增加多少才能保證在2020 年底前完全脫貧？

圖4

如何用好教好課本習(xí)題，每一位教師都有自己的看法和做法，正所謂“仁者見仁智者見智”。通過習(xí)題教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生的思維和能力的一種有效途徑。如何讓學(xué)生遠(yuǎn)離題海訓(xùn)練又能培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維、提高解題能力，舉一反三，通一而領(lǐng)全局，是每一位數(shù)學(xué)教師的重要責(zé)任。