借助幾何畫板對一道圓中問題的動態(tài)探究

王彬

原題：如圖1，在半徑為5的⊙A中，弦BC，DE所對的圓心角分別是∠BAC，∠DAE，已知DE＝6，∠BAC+∠DAE＝180°，則圓心A到弦BC的距離等于多少？

這道題雖然是圓中的小題，但卻是一道難題。已知條件給定了兩個圓心角的和為180°，給定了其中一個圓心角所對的弦長，求圓心到另一條弦的距離。學(xué)生拿到題目后不容易想到從哪里入手。有弦能想到垂徑定理，于是做輔助線，也只有作輔助線后才能把角度、弦和弦心距聯(lián)系到一起，最終通過證明三角形全等得到所求的距離。

解法1：如圖2，過點(diǎn)A分別向弦CB和弦DE作垂線，垂足分別為F、G

由圓中的關(guān)系定理可知在同圓中，圓心角、弦、弧、弦心距幾個量中，只要有兩個量相等，其余的各組量都相等。關(guān)系定理的證明是通過旋轉(zhuǎn)證明的。也可以說在旋轉(zhuǎn)的過程中，這幾組量是不會變化的，那我們是否能用旋轉(zhuǎn)其中一組圓心角和弦的辦法讓問題得到突破呢？能夠想到旋轉(zhuǎn)也是因?yàn)樵}中有一個兩角的和為180°的條件，而特殊角180°的出現(xiàn)，會讓我們的問題另辟捷徑嗎？拭目以待。

解法2：如圖3，當(dāng)我們把∠BAC旋轉(zhuǎn)使點(diǎn)B和點(diǎn)E重合。

∵∠BAC+∠DAE＝180°

∴∠CAD＝180°，即CD為直徑

過點(diǎn)A作AF垂直于CE于F

由垂徑定理可知，CF＝FE

即，F(xiàn)為CE中點(diǎn)

又∵圓心A也是直徑CD的中點(diǎn)

∴AF是△CDB的中位線

可以借助幾何畫板，快速直觀解答，那么學(xué)生手中沒有幾何畫板怎么解答呢？教師要借助幾何畫板培養(yǎng)學(xué)生動態(tài)分析和解決問題的能力。學(xué)生通過添加輔助線，把動態(tài)的最終結(jié)果呈現(xiàn)出來。

解法3：如圖4，延長CA交圓A于點(diǎn)F，并連接BF

∵∠BAC+∠DAE＝180°

又∵∠BAC+∠BAF＝180°

∴∠DAE＝∠BAF

∴BF＝DE＝6

過A作AG垂直于BC于G

則CG＝BG

即G為CB的中點(diǎn)，又圓心A為CF的中點(diǎn)

∴AG是△CBF的中位線

幾何畫板在動態(tài)解決這道題的過程中，通過旋轉(zhuǎn)使題目中位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系更直觀，使原本復(fù)雜的問題變簡單。但作為教師使用幾何畫板更重要的功能就是借助幾何畫板的動態(tài)演示、分析和求解的過程，培養(yǎng)學(xué)生動態(tài)分析和解決問題的能力。