基于希爾伯特空間和層次分析法的大壩安全評價模型研究

侯 麗，邢精連，周 健

（南京市水利規(guī)劃設(shè)計院股份有限公司，江蘇 南京 210001）

0 引言

我國是世界上水能資源最豐富的國家之一，其蘊(yùn)藏量和開發(fā)量均居世界首位。根據(jù)2012年第一次全國水利普查結(jié)果，我國共有水庫9.8萬余座，總庫容9823.12億m3，共修建水電站4.67萬余座，裝機(jī)容量達(dá)3.33億kW[1]。水庫大壩的安全運行決定了工程綜合效益的大小，也間接決定了工程涉及到的國民經(jīng)濟(jì)及生命財產(chǎn)的安全。因而進(jìn)行水庫大壩工程的安全監(jiān)測和評價非常有必要[2]。

水庫大壩運行工況復(fù)雜，影響條件很多。一般大壩評價模型只基于一般數(shù)學(xué)統(tǒng)計分析模型進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，包括原型觀測資料正分析、反演分析、反饋分析及大壩安全綜合評價專家系統(tǒng)。四類數(shù)據(jù)分析中原型觀測資料正分析評價大壩安全應(yīng)用較多。其中正分析中的監(jiān)控模型一般有統(tǒng)計模型、確定性模型、混合模型及其他數(shù)學(xué)理論建立的模型[2]。一般的數(shù)學(xué)安全評價模型考慮更多的是數(shù)據(jù)分析，沒有較好地考慮到數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián)性和重要性不同的情況，導(dǎo)致分析結(jié)果不是很準(zhǔn)確。本文應(yīng)用層次分析法并結(jié)合多維的希爾伯特指標(biāo)空間構(gòu)建大壩安全評價模型，對安全指標(biāo)進(jìn)行分析，并對各個指標(biāo)的安全影響因子進(jìn)行計算。

1 希爾伯特多維指標(biāo)空間的建立

綜合分析大壩安全運行的影響因子，將因子按大壩結(jié)構(gòu)不同分類，根據(jù)不同的影響因子建立希爾伯特空間。利用層次分析法確定指標(biāo)因子的權(quán)重并計算出權(quán)重算子，最后確立標(biāo)準(zhǔn)的希爾伯特指標(biāo)子空間。

1.1 評價模型的多層次結(jié)構(gòu)構(gòu)建

層次分析法的層次結(jié)構(gòu)一般因不同的評價對象而不同。一般分為頂層、中層和底層；其中頂層為最終評價目標(biāo)層，中層為準(zhǔn)則層，中層以下根據(jù)評價項目的復(fù)雜程度分為層數(shù)不同的措施層[3]。其中措施層采用一層的一般評價層次結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)圖見圖1。

圖1 AHP法的評價模型結(jié)構(gòu)

1.2 指標(biāo)空間權(quán)重算子的生成

指標(biāo)空間權(quán)重算子的建立分四步[4]。第一步：根據(jù)層次分析法得到的評價層次結(jié)構(gòu)模型可以構(gòu)造判斷矩陣。第二步：進(jìn)行判斷矩陣一致性檢驗。第三步：若判斷矩陣通過一致性檢驗，則計算各指標(biāo)的權(quán)重。第四步：通過各指標(biāo)的權(quán)重構(gòu)建希爾伯特指標(biāo)空間權(quán)重算子Δ

1.3 標(biāo)準(zhǔn)希爾伯特指標(biāo)子空間的建立

一般影響大壩安全的因素分為強(qiáng)度因素、管理因素、穩(wěn)定因素三類；各因素都包含壩體、廠房、庫岸三種評價指標(biāo)[2]。大壩安全主要的評價指標(biāo)包括三大類三小種[5]。其中每一種評價指標(biāo)代表指標(biāo)空間的一維，則構(gòu)建一個3維的希爾伯特指標(biāo)空間H3。若Hilbert指標(biāo)空間的一個量化線性子空間為N?？傻酶髦笜?biāo)元素向量y為[6]：

其中，e=｛e1，e2，e3｝是的一組 H3標(biāo)準(zhǔn)正交基。在 H3中元素 y向量的坐標(biāo)為：y=｛λ1，λ2，λ3｝。若賦有權(quán)重的標(biāo)準(zhǔn)子空間 M 為Hilbert指標(biāo)空間H3的另一個線性子空間[8]，則設(shè)x為M的元素，存在映射Δ，使：

式(2)代入式(3)得：

則構(gòu)造的M為三維的標(biāo)準(zhǔn)Hilbert線性指標(biāo)子空間[8]。

2 基于M的安全指數(shù)向量范數(shù)評價模型

2.1 計量模型的建立

該模型的大壩安全評價模型各評價指標(biāo)的關(guān)聯(lián)性較低。根據(jù)其數(shù)乘性質(zhì)可以構(gòu)建單位球面，即為安全指標(biāo)向量[6~7]。Hilbert空間性上弱緊性，則可用安全指數(shù)向量的范數(shù)‖M‖來表示大壩安全狀況W的高低[8]，即安全指數(shù)函數(shù)：W=‖M‖。

大壩安全評價建模步驟見圖2。

圖2 評價模型建立過程

而‖M‖又是標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)子空間的函數(shù)，可以表示為

則指標(biāo)指數(shù)函數(shù)為

依據(jù)以上模型可以確定評價指標(biāo)的數(shù)值，進(jìn)而可以進(jìn)行定性定量地判斷大壩安全狀況。而且可以對比不同指標(biāo)對大壩安全等級的影響。經(jīng)工程實際計算，大壩安全等級與分值區(qū)間的關(guān)系見表1[9]。

表1 大壩安全水平等級

2.2 安全指標(biāo)分析

根據(jù)上文，大壩安全水平等級可以由安全指數(shù)模型確定，但實際問題依然不能解決。故根據(jù)指標(biāo)分析的理論，對指標(biāo)空間的每個指標(biāo)計算評價，進(jìn)而定量地確定各評價指標(biāo)對大壩安全運行的影響狀況[10]。所計算出的數(shù)值也稱評價指標(biāo)的貢獻(xiàn)率。該模型對多元函數(shù)求偏導(dǎo)建立各指標(biāo)的安全評價函數(shù)。則對式(6)求偏導(dǎo)得：

利用變化量便能確定出各個指標(biāo)對大壩安全水平的影響。在實際應(yīng)用中可以判斷各個指標(biāo)的重要性及影響大壩安全的因素，這樣可以有目的性地提高某個指標(biāo)的安全水平。

3 計算案例

3.1 安全指數(shù)的計算

現(xiàn)以某壩為例，該壩對強(qiáng)度、管理、穩(wěn)定三個準(zhǔn)則的價值取向為：首先要求強(qiáng)度好，然后要求管理水平高，最后才是穩(wěn)定好。判斷矩陣采用1~9比較尺度構(gòu)造[11]，且重要性等級與判斷矩陣元素αij的取值見表2[12]。

表2 重要性等級與判斷矩陣元素αij的取值表

由表2可得準(zhǔn)則層對目標(biāo)層的判斷矩陣（依次為強(qiáng)度、穩(wěn)定、管理因素）G為：

在計算權(quán)重之前應(yīng)該進(jìn)行矩陣的一致性檢驗。一致性檢驗的計算方法為：

式中：C.I.=（λmax-n）/（n-1）；R.I.為平均隨機(jī)一致性指標(biāo)。

且當(dāng)C.R.<0.1時，判斷矩陣具有可接受的一致性，否則判斷矩陣偏離一致性過大[12]。經(jīng)計算判斷矩陣G的C.R.<0.1，說明判斷矩陣G滿足一致性檢驗。

通過監(jiān)測資料和大壩運行情況綜合分析得，廠房安全指標(biāo)P1、壩體安全指標(biāo) P2、庫岸安全指標(biāo) P3分別為 99、97、95。并且根據(jù)該壩實際每部分運行情況對比各部分應(yīng)達(dá)到的安全運行標(biāo)準(zhǔn)狀況評價為：廠房的強(qiáng)度條件較好，穩(wěn)定條件一般，管理水平中上；壩體的強(qiáng)度條件最好，穩(wěn)定條件較差，管理水平中下；庫岸的強(qiáng)度條件較差，但穩(wěn)定條件好，管理水平高。

根據(jù)希爾伯特指標(biāo)空間，將上述廠房安全指標(biāo)P1、壩體安全指標(biāo)P2、庫岸安全指標(biāo)P3數(shù)值代入式(4)，可得

由層次分析法判斷矩陣G和上述該壩實際每部分運行情況對比各部分應(yīng)達(dá)到的安全運行標(biāo)準(zhǔn)狀況評價可以計算得到壩體安全指標(biāo)、廠房安全指標(biāo)、兩岸安全指標(biāo)3個因素對大壩安全運行的影響程度，通常稱作不同指標(biāo)的重要程度。主要指標(biāo)的重要程度見表3。

表3 主要因素總體影響程度優(yōu)先級排序

權(quán)重算子由層次分析法的計算結(jié)果確定，即Δ=(0.1974,0.5059,0.2971)

上述計算得到x和Δ后，根據(jù)式(7)計算得到該壩的安全運行指數(shù)W=59.9。

由表1可得，該壩安全等級是一類壩；與該壩的最近一次大壩安全鑒定的結(jié)論一致。且廠房安全指標(biāo)P1、壩體安全指標(biāo)P2、庫岸安全指標(biāo)P3對大壩安全運行組合權(quán)重由表3可知，分別為0.20、0.50、0.30，符合水庫大壩結(jié)構(gòu)的實際運行規(guī)律。

3.2 安全指標(biāo)貢獻(xiàn)率的計算

由式(9)可以計算各個指標(biāo)對該壩安全運行的貢獻(xiàn)率。通過計算得到該壩的指標(biāo)彈性算子：α=（0.06,0.42,0.14）。各指標(biāo)變化Δyj取為1，則各指標(biāo)對大壩運行總安全指標(biāo)的貢獻(xiàn)率為：ΔW=（0.06,0.42,0.14）。

故可得廠房安全指標(biāo)P1、壩體安全指標(biāo)P2、庫岸安全指標(biāo)P3對大壩安全運行的貢獻(xiàn)率分別為0.06、0.42、0.14。與層次分析法得到的各個安全指標(biāo)綜合權(quán)重的規(guī)律一致，并突出了壩體安全指標(biāo)的重要性，而庫岸安全指標(biāo)及廠房安全指標(biāo)的貢獻(xiàn)率則依次次之。

根據(jù)多層次分析法定量地計算安全指數(shù)和安全指標(biāo)貢獻(xiàn)率，為水庫大壩實際運行維護(hù)提供了理論依據(jù)。說明基于希爾伯特空間多層次安全評價模型的計算結(jié)果可靠可信。

4 結(jié)論

影響水庫大壩安全正常運行的因素很多，并且全面選取影響水庫大壩安全運行的評價指標(biāo)比較困難，所以建立比較可靠合理且計算簡便的評價模型也相對困難。本文運用層次分析法可將不同層級的評價指標(biāo)進(jìn)行合理量化，把量化的評價指標(biāo)空間構(gòu)建為權(quán)重算子，然后依據(jù)希爾伯特空間向量范數(shù)理論對水庫大壩安全性進(jìn)行評價。通過實例計算驗證，該安全評價模型的評價結(jié)果合理可信，可應(yīng)用在水庫大壩，包括一般水工建筑物的安全評價。

在實際工程應(yīng)用該評價模型時，需要根據(jù)不同壩型運行的環(huán)境和特點及各種工況選取不同的大壩評價指標(biāo)，構(gòu)建不同層次的模型結(jié)構(gòu)和維數(shù)不同的希爾伯特空間，以便更合理地評價大壩運行的安全狀況。