拿破侖三角形改斜歸正傳奇

李垂勝 鄒興平

(湖北省恩施市龍鳳鎮(zhèn)民族初級中學 445003)

一、拿破侖定理

拿破侖定理在城市建設規(guī)劃中確定新發(fā)展中心區(qū)中心位置時，利用拿破侖定理可在老市區(qū)為任意形狀時科學地確定新的發(fā)展中心區(qū)的位置，該方法可合理組織人流、物流，使城市土地的利用率，建筑的使用效率達到最佳.因而在城市建設規(guī)劃中具有很好的應用價值.

法蘭西第一帝國皇帝拿破侖為人頗為好學，自幼喜愛數(shù)學，對數(shù)學方面很感興趣，早年畢業(yè)于炮兵學校，期間在學習射擊、測量技術中對幾何三角有特別愛好和研究，他在行軍打仗的空閑時間，經(jīng)常研究平面幾何.他也是法蘭西科學院院士，他對數(shù)學和數(shù)學家懷有特別的敬意，并且欣賞他自己提出的問題.拿破侖發(fā)現(xiàn)：“在三角形外側以各邊為一邊作的三個正三角形的外心是一個正三角形的頂點.在斜三角形內(nèi)側以各邊為一邊作的三個正三角形的外心是一個正三角形的頂點.”因為是拿破侖發(fā)明，所以稱拿破侖定理(法語：Napoléon Bonaparte).

二、證明方法

證法一：如圖1，以任意三角形ABC的三邊AB，BC，AC為邊分別作三個正三角形ABG，BCH，ACO，它們的內(nèi)心分別為F，D，E，要證明DEF是正三角形，只需證明它的三個角都是60°.

連接AF，BF，BD，CD，CE，AE，將△BDF繞點F逆時針旋轉120°得△FAM，連接EM.

∵∠DCE=∠DCB+∠BCA+∠ACE=60°+∠BCA，∠EAM=360°-(∠FAM+∠FAE)=360°-(∠FBD+∠FAE)=360°-(∠CBD+∠CBA+∠ABF+∠BAF+∠BAC+∠CAE)=360°-(120°+∠ABC+∠BAC)=240°-(∠ABC+∠BAC)=60°+180°-(∠BAC+∠ABC)=60°+∠BCA.

∴∠DCE=∠EAM，∴△DCE≌△MAE(SAS)，∴EM=DE，∴△EFM≌△EFD(SSS)，∴∠EFM=∠EFD，∴∠DFM=2∠DFE.又∵∠DFM=∠DFA+∠AFM=∠DFA+∠BFD=∠AFB=120°，∴∠DFE=60°.

圖1

同理可證，∠DEF=∠FDE=∠DFE=60°，故△DEF是正三角形.

同學們學了軸對稱和相似知識后，就可以用以下方法來證明.

圖2

證法二：如圖2，以任意三角形ABC的三邊AB，BC，AC為邊分別作三個正三角形ABG，BCH，ACO，它們的內(nèi)心分別為F，D，E，連接AF、BF、BD、CD、CE、AE.要證明DEF是正三角形，只需證明它的三個角都是60°.

因△ACO是正三角形，則∠AEC為120°.同理可證，另外兩個角∠AFB和∠BDC也都是120°，于是，在六邊形AFBDCE中，剩下的三個角的和是360°，所以，這三個三角形△AEF，△BDF，△DCE就能拼湊為一個與△DEF全等的三角形.

圖3

如何拼湊請看下一步，如圖3，可以想象把三角形像折紙一樣向三角形△DEF內(nèi)部翻折，把它們拼湊在一起.

于是∠AEF+∠CED=∠DEF，而∠AEC=∠AEF+∠CED+∠DEF=2∠DEF=120°,所以得出∠DEF=60°.同理，∠EFD=∠EDF=60°.故△DEF是正三角形.

圖4

圖5

同學們學了圓的知識后，就可以用證法三來證明.

證法三：如圖5，在△ABC的各邊上向外各作等邊△ABF，等邊△ACD，等邊△BCE.設等邊△ABF的外接圓和等邊△ACD的外接圓相交于O,連AO、CO、BO.則∠AFB=∠ADC=60°.

∵A、F、B、O四點共圓,A、D、C、O四點共圓,∴∠AOB=∠AOC=120°.而周角等于360°,∴ ∠BOC=120°,∵ △BCE是等邊三角形，∴ ∠BEC=60°,∴B、E、C、O四點共圓,∴ 這3個等邊三角形的外接圓共點O.∵A、F、B、O四點共圓，A、D、C、O四點共圓，B、E、C、O四點共圓，∠AFB=∠ADC=∠BEC=60°，∴ ∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°.∵NP、MP、MN是連心線，BO、CO、AO是公共弦，∴BO⊥NP于X，CO⊥MP于Y，AO⊥NM于Z.∴X、P、Y、O四點共圓,Y、M、Z、O四點共圓,Z、N、X、O四點共圓,∴ ∠N=∠M=∠P=60°,即△MNP是等邊三角形.

這一定理可以等價描述為：

若以任意三角形的各邊為底邊向形外作底角為60°的等腰三角形，則它們的外心是一個正三角形的頂點.

若以任意三角形的各邊為底邊向形外作底角為30°的等腰三角形，則它們的頂點連線構成一個等邊三角形.

同學們學了余弦定理和三角函數(shù)的知識后，就可以證明：在三角形內(nèi)側以各邊為一邊的三個正三角形的外心是一個正三角形的三個頂點.

圖6

同學們在學習數(shù)學知識解決問題時，要學會從多角度思考，采用多種方法，一題多解，也要學會對知識進行拓展引申，與生活生產(chǎn)實際向聯(lián)系，學以致用，解決社會實際問題，為人類造福.