雙分量玻色氣體在有限溫度下的力學(xué)穩(wěn)定性和相分離

高佩佩,賀麗,余增強(qiáng)*

(1.山西大學(xué) 理論物理研究所,山西 太原 030006;2.山西大學(xué) 物理電子工程學(xué)院,山西 太原 030006)

0 引言

量子多體系統(tǒng)的力學(xué)穩(wěn)定性決定于粒子的統(tǒng)計(jì)屬性和粒子間的相互作用形式。不同于費(fèi)米子系統(tǒng),玻色氣體由于缺少量子簡(jiǎn)并壓的支撐,因而其穩(wěn)定性對(duì)相互作用格外敏感。在沒有外勢(shì)的情況下,理想玻色-愛因斯坦凝聚(BEC)具有無窮大的壓縮率,熱力學(xué)上僅處于穩(wěn)定性的邊緣。只有當(dāng)氣體原子間存在有效排斥相互作用時(shí),BEC才真正達(dá)到穩(wěn)定,成為可壓縮的量子流體[1]。反之,當(dāng)原子間存在吸引相互作用時(shí),BEC會(huì)發(fā)生塌縮。實(shí)際上,這種失穩(wěn)不僅出現(xiàn)在凝聚相,在正常相中塌縮也會(huì)發(fā)生[2]。

此前關(guān)于上述雙分量玻色氣體的理論研究大多局限于零溫[3-7],關(guān)注的焦點(diǎn)集中在量子漲落對(duì)基態(tài)能量的貢獻(xiàn),而對(duì)熱漲落效應(yīng)的考察則很少涉及。本文將指出,有限溫度時(shí)體系可以在高密度和低密度兩個(gè)極限下保持穩(wěn)定,而力學(xué)失穩(wěn)出現(xiàn)在中等密度區(qū)間,這導(dǎo)致BEC相和正常相會(huì)以相分離的方式共存,由此我們給出了體系在有限溫度的相圖(如圖1所示)。在接下來的篇幅中,我們將運(yùn)用Hartree-Fock平均場(chǎng)理論具體闡釋該相圖是如何得到的,并指出發(fā)生相分離時(shí)體系的物態(tài)方程具有類似于經(jīng)典氣液相變的特征,最后我們討論了在冷原子實(shí)驗(yàn)中如何觀測(cè)這種相分離現(xiàn)象。

簡(jiǎn)單起見,以下設(shè)散射長(zhǎng)度a↑↑=a↓↓=a,并限定a+a↑↓>0。在此參數(shù)條件下,Hartree-Fock理論給出的準(zhǔn)粒子能譜總是正定的,且零溫時(shí)沒有自束縛態(tài)存在。后文的理論推導(dǎo)采用自然單位制,即令kB=?=1。數(shù)值計(jì)算中,我們?nèi)∩⑸溟L(zhǎng)度a=65a0(a0為玻爾半徑),取玻色子質(zhì)量m為39K原子的質(zhì)量。

(a) Phase boundaries as functions of the inter-spin scattering length a↑↓ at temperature T=400nK.(b) Phase boundaries as functions of temperature for a↑↓=-0.8 a.PS represents the phase separation between BEC phase and normal phase.The dashed lines indicate the critical density for the BEC transition of an ideal gas.Fig.1 Phase diagram of a spin-half Bose gas with intra-spin repulsive interaction and inter-spin attractive interaction(a)溫度T=400 nK時(shí),相邊界隨散射長(zhǎng)度a↑↓的變化。(b)散射長(zhǎng)度a↑↓=-0.8 a時(shí),相邊界隨溫度的變化。 PS表示BEC相與正常相之間的相分離,虛線為理想氣體BEC相變的臨界密度圖1 具有同自旋排斥相互作用、反自旋吸引相互作用的雙分量玻色氣體的相圖

1 均勻體系的相變與力學(xué)穩(wěn)定性

1.1 鐵磁相變與BEC相變

(1)

(2)

在弱相互作用情形下,凝聚體滿足如下物態(tài)方程

(3)

值得注意的是,凝聚波函數(shù)(2)是自旋算符σx的本征態(tài),也就是說,BEC是自旋橫向極化的鐵磁態(tài)。

當(dāng)原子密度n由小到大連續(xù)變化時(shí),物態(tài)方程會(huì)從(1)式逐漸過渡到(3)式,相應(yīng)地,體系的平衡態(tài)會(huì)從無凝聚、無自旋極化的正常相演化到自旋橫向極化的BEC相。在此過程中,會(huì)先后經(jīng)歷鐵磁相變和BEC相變?？梢栽谄骄鶊?chǎng)理論的框架下通過引入序參量描述這兩次相變過程。

我們?cè)贖artree-Fock近似下寫出體系的巨正則哈密頓量

(4)

平均場(chǎng)哈密頓量(4) 可以在準(zhǔn)粒子表象下寫為對(duì)角化的形式

(5)

(6)

平均場(chǎng)參量δn和δnδMx可以通過下面的自洽方程求解

(7)

(8)

這里〈…〉表示算符的熱力學(xué)平均,f(ω)=1/(eω/T-1)為玻色分布函數(shù)。

我們先來討論沒有玻色凝聚的情況(即n0=0,δn=n)。

(9)

下面再來考慮出現(xiàn)玻色凝聚的情況(即n0>0)。

在BEC相中,凝聚密度的取值應(yīng)滿足極值條件〈?K/?n0〉=0,該條件又可進(jìn)一步明確寫為

(10)

在BEC相變的臨界點(diǎn)nC處,凝聚密度為零。將n0=0代入上式,并聯(lián)立自洽方程(7)、(8),即可求得nC。在弱相互作用條件下,鐵磁相變與BEC相變的臨界點(diǎn)非常接近,nC僅比nM略大。解析上可以證明,二者之差的頭階項(xiàng)正比于a↑↓的平方。

以上分析表明,當(dāng)原子密度由小到大連續(xù)變化時(shí),鐵磁相變會(huì)先于BEC相變出現(xiàn)。當(dāng)nnC時(shí),體系處于鐵磁BEC相。圖2(a)給出了固定溫度下橫向磁化強(qiáng)度Mx和凝聚分?jǐn)?shù)N0/N隨密度變化的數(shù)值結(jié)果。在BEC相中,橫向磁化來自于熱原子和凝聚原子兩部分的貢獻(xiàn)。隨著n的持續(xù)增加,熱原子的數(shù)目會(huì)越來越少,最終Mx和N0/N均會(huì)趨近于1。

需要說明的是,鐵磁相變和BEC相變既可以通過固定溫度、變化密度來實(shí)現(xiàn),也可以通過固定密度、變化溫度來實(shí)現(xiàn)。我們的考察采用了前一種方式,這種處理在后文求解等溫壓縮率時(shí)會(huì)更加方便。

(a)Inset: density and magnetization density of thermal atoms as functions of n in the BEC phase.(b) In the shadow region, the system is unstable due to the negative compressibility.The vertical dotted lines indicate the densities satisfying the equilibrium conditions when the phase separation takes places. In both plots, the symbol ▲ marks the magnetic phase transition point nM, which is close to the critical point of BEC transition nC. For the displayed scale, the two critical points almost coincide. Parameters: temperature T=400 nK, and inter-spin scattering length a↑↓=-0.8 aFig.2 (a) Transverse magnetization Mx and condensate fraction N0/N as functions of density n at a constant tempe rature in the homogenous case;(b) Isothermal P-n and μn curves for the homogenous system.(a)插圖為BEC相中熱原子的密度δn與磁化密度δnδMx隨n的變化曲線。(b)在陰影區(qū)域中體系的壓縮率κT為負(fù)值, 因而是不穩(wěn)定的。豎直點(diǎn)線的位置對(duì)應(yīng)于發(fā)生相分離時(shí)滿足平衡條件的密度值。兩圖中用符號(hào)▲標(biāo)記磁化相變的臨界點(diǎn)nM,BEC相變的臨界點(diǎn)nC與其非常接近, 在圖示尺度下二者幾乎完全重合。選用參數(shù):溫度T=400 nK,散射長(zhǎng)度a↑↓=-0.8 a圖2 (a)給定溫度下,均勻體系的橫向磁化強(qiáng)度Mx與凝聚分?jǐn)?shù)N0/N隨密度n的變化曲線;(b)均勻體系的等溫P-n曲線和μ-n曲線

1.2 力學(xué)穩(wěn)定性

(11)

其中

(12)

現(xiàn)在來討論玻色凝聚相(即n0>0)。BEC相的凝聚密度n0滿足極值方程(10)。在固定溫度下,對(duì)該方程兩邊求n的偏導(dǎo),可得

(13)

以上分析可以通過圖2(b)中的等溫P-n曲線和μ-n曲線更直觀地體現(xiàn)出來。在高密度或低密度極限下,P和μ均隨n單調(diào)增加,因此體系是穩(wěn)定的。而在中間一段密度范圍內(nèi)(以nM為起點(diǎn)、一直延伸到BEC相的一部分),P和μ是n的減函數(shù),表明均勻體系在此區(qū)間內(nèi)會(huì)發(fā)生力學(xué)失穩(wěn)。

2 相分離與物態(tài)方程

在等溫壓縮率小于零的區(qū)間內(nèi),均勻體系會(huì)發(fā)生旋節(jié)分解(spinodal decomposition)[13]:其中一部分原子自發(fā)地相互聚集,形成高密度的穩(wěn)定相,其余原子則變得更加稀薄,形成低密度的穩(wěn)定相。這種過程最終會(huì)達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡,從而導(dǎo)致高密度相與低密度相的相分離。兩相平衡的熱力學(xué)條件為

P(n1)=P(n2)=PPS,

(14)

μ(n1)=μ(n2)=μPS,

(15)

其中n1、n2分別為共存態(tài)下兩相的密度,PPS和μPS為相平衡的壓強(qiáng)和化學(xué)勢(shì)。對(duì)于我們考慮的雙分量體系,低密度相為無玻色凝聚、無自旋極化的正常相,高密度相為自旋橫向極化的BEC相。

在考慮了相分離因素之后,我們可以寫出體系完整的物態(tài)方程。對(duì)于均勻相(nn2),氣體壓強(qiáng)為

(16)

綜合以上關(guān)于相分離和物態(tài)方程的分析,最終我們得到了如圖1所示的有限溫度相圖,其中相分離區(qū)間的大小依賴于相互作用強(qiáng)度和溫度。在適當(dāng)?shù)膮?shù)條件下,該區(qū)間可以覆蓋相當(dāng)大的實(shí)驗(yàn)可觀測(cè)的密度范圍。

Fig.3 Isothermal P-v curves for various scattering lengths and temperatures. The horizonal segments correspond to the coexistence states of BEC phase and normal phase In (a),temperature is fixed at T=400 nK； In (b), inter-spin scattering length is fixed at a↑↓=-0.8 a圖3 散射長(zhǎng)度和溫度取不同值時(shí)的等溫P-v曲線,其中的水平線段對(duì)應(yīng)于BEC相與正常相的共存態(tài)(a)中取固定的溫度T=400 nK； (b)中取固定的散射長(zhǎng)度a↑↓=-0.8 a

3 簡(jiǎn)諧勢(shì)阱中的密度分布

當(dāng)發(fā)生相分離時(shí),為了降低體系的勢(shì)能,原子云會(huì)自發(fā)地成形成殼層結(jié)構(gòu):高密度的BEC相會(huì)集中在勢(shì)阱的中心區(qū)域,低密度的正常相則分布勢(shì)阱的外圍。由于BEC相與正常相之間存在密度差,這就導(dǎo)致在核心區(qū)域與外殼層之間的相邊界處會(huì)出現(xiàn)密度跳變。實(shí)驗(yàn)上,可以利用原位成像技術(shù)直接觀測(cè)原子云的密度分布,進(jìn)而通過密度分布的不連續(xù)性確認(rèn)相分離的發(fā)生。

對(duì)于典型的實(shí)驗(yàn)參數(shù),外勢(shì)場(chǎng)隨空間的變化尺度aho=(mωho)-1/2遠(yuǎn)大于凝聚體的相干長(zhǎng)度以及原子的熱波長(zhǎng),因此可以在半經(jīng)典圖像下采用局域密度近似計(jì)算原子的密度分布[14]。在該近似下,r點(diǎn)處的密度被寫為局域化學(xué)勢(shì)μ(r) 的泛函,在空間中的每一點(diǎn),n(r) 和μ(r) 滿足無外勢(shì)時(shí)求得的物態(tài)方程。μ(r) 由下式關(guān)系給出

μ(r)=μ0-Vho(r) ,

(17)

圖4中畫出了根據(jù)局域密度近似計(jì)算得到的簡(jiǎn)諧勢(shì)阱中的原子密度分布?？梢钥吹?在相邊界處(豎線所在位置)原子的總密度和凝聚密度都發(fā)生了跳變,n(r)的跳變幅度即對(duì)應(yīng)于相圖中相分離區(qū)間的大小。在BEC臨界溫度以下,溫度越高,密度跳變的幅度越大;而在較低的溫度,密度跳變則很不明顯。這意味著,實(shí)驗(yàn)上為了更明確地觀測(cè)相分離現(xiàn)象須把溫度控制在一個(gè)合理的范圍之內(nèi)。

The vertical dotted lines indicate the boundary between BEC phase and normal phase, where the density profiles exhibit a sudden jump. Parameters: total number of atoms N=5×105, trapping frequency ωho=2π×150 Hz, inter-spin scattering length a↑↓=-0.8 a, temperature T=400 nK in (a) and T=340 nK in (b)Fig.4 Density distribution functions of atomic density and condensate density in a harmonic trap豎直點(diǎn)線位置為BEC相與正常相的相邊界,在該邊界上密度分布出現(xiàn)跳變。 原子總數(shù)N=5×105,勢(shì)阱頻率ω=2π×150 Hz,散射長(zhǎng)度a↑↓=-0.8 a。(a)和(b)圖中溫度分別為400 nK和340 nK圖4 簡(jiǎn)諧勢(shì)阱中原子密度及凝聚密度的徑向分布

4 討論與結(jié)論

本文考察了雙分量玻色氣體在有限溫度的力學(xué)穩(wěn)定性,并預(yù)言了正常相與BEC相之間的相分離。在兩相共存區(qū)間,體系的物態(tài)方程呈現(xiàn)出類似經(jīng)典氣液相變的特征,這為探索量子液滴態(tài)的形成機(jī)制提供了新的線索。在簡(jiǎn)諧勢(shì)阱中,相分離會(huì)導(dǎo)致原子云密度在相邊界處發(fā)生跳變,通過數(shù)值模擬,我們討論了利于實(shí)驗(yàn)觀測(cè)的溫度范圍。