具有時空時滯的反應(yīng)擴散方程行波解的穩(wěn)定性

閆瑞,王靜玉

(山西財經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006)

0 引言

反應(yīng)擴散方程通常用來描述和模擬人口動力學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)等方面的實際問題。例如, 具有時空或非局部時滯的反應(yīng)擴散方程通常用來描述物理和生物演化過程,見文[1-2]及其相關(guān)文獻。本文研究如下具有時空時滯的反應(yīng)擴散方程

(1)

帶有初值

u(s,x)=u0(s,x),s∈[-r,0],x∈R,

(2)

其中D>0是擴散系數(shù),J是一個非負連續(xù)的核函數(shù)。對于方程(1),給出如下假設(shè):

(A2)存在M>0,K∈(0,M)使得f∈C1([0,K],R),f(0)=0,f′(x)≥0,|f(x)-f(y)|≤f′(0)|x-y|,x,y∈[0,K].

(A3)F∈C2([0,K]×[0,f(K)],R),F(0,f(0))=F(K,f(K))=0,對x∈(0,K),F(x,f(x))>0,對于x∈(K,M),F(x,f(x))<0.另外,對于(x,y)∈[0,M]×[0,T],?2F(x,y)>0,?ijF(x,y)≤0(i,j=1,2),其中,T=maxx∈[0,M]f(x),?1F(x,y)=?F(x,y)/?x,?2F(x,y)=?F(x,y)/?y.

(A4)存在η∈(0,1)使得對任意α∈(1-η,1),F(x,αf(x))=0有唯一解ω>0,且對任意x∈(0,ω),F(x,αf(x))>0,且對任意x∈(ω,M),F(x,αf(x))<0.

(A5)?1F(K,f(K))+?2F(K,f(K))f′(0)<0.

由(A3)知方程(1)有兩個常數(shù)平衡點0和K。我們主要研究連接0和K的行波解。本文中,(1)的行波解指的是φ,c滿足如下的常微分方程

(3)

當φ單調(diào)時,稱其為波前解。

方程(1)是一個具有雙重非線性項的反應(yīng)擴散方程。 函數(shù)f(x)可以看作是一種非線性的功能反應(yīng)項, 例如, 非線性生育函數(shù)或非線性響應(yīng)函數(shù)。Tian和Weng在文 [3]中利用有限時滯近似方法結(jié)合單調(diào)半流定理討論了方程(1)的行波解的存在性。Xu和Xiao在文 [4] 中利用比較定理和Schauder不動點定理得到了當c≥c*(c*是臨界波速)時行波解的存在性?？墒? 并沒有關(guān)于行波解的穩(wěn)定性的相關(guān)結(jié)論。

近年來, 反應(yīng)擴散方程行波解的穩(wěn)定性受到了廣泛關(guān)注。在這個問題上有很多結(jié)論。但時滯方程的穩(wěn)定性的相關(guān)結(jié)論較少。Schaaf在文[5]中第一次運用譜分析方法得到了Fisher-Kpp方程行波解的局部穩(wěn)定性。隨后,Smith 和 Zhao 在文 [6]中利用擠壓技術(shù)得到了具有雙穩(wěn)態(tài)非線性項方程的行波解的全局指數(shù)穩(wěn)定性。緊接著, Mei等在文[7] 中利用加權(quán)能量估計的方法和比較原則得到了非局部Nicholson非線性方程行波解的全局指數(shù)穩(wěn)定性。利用同樣的方法, Yang 和Liu 在文[8]中得到了具有時空時滯的Nicholson果蠅模型的行波解的全局指數(shù)穩(wěn)定。最近,Chern等在文[9]中研究了非單調(diào)的臨界波速的穩(wěn)定性,關(guān)于一些系統(tǒng)的行波解的穩(wěn)定性和離散方程的行波解的穩(wěn)定性都有相關(guān)研究,例如文[10-13]。 受上述文章的啟發(fā), 利用類似的方法, 我們研究了方程(1)的行波解的穩(wěn)定性。

1 預(yù)備知識和主要結(jié)果

令T為一個正常數(shù),B是一個Banach空間。C([0,T],B)表示由[0,T]上的B值連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的空間。L2([0,T],B)表示由[0,T]上的B值L2函數(shù)構(gòu)成的空間。[0,∞)上的空間可以類似地給出。

定理1[8]假設(shè)條件 (A1)-(A4)成立, 則存在最小波速c*>0及相應(yīng)的常數(shù)λ*(c*)滿足

其中

對任意c≥c*, 方程(1)存在單調(diào)的行波解φ(x+ct)使得φ(-∞)=0,φ(+∞)=K,但當0c*時,P(λ,c)=0有兩個正實根0<λ1(c)<λ2(c),并且當λ1(c)<λ<λ2(c)時滿足P(λ,c)<0.當c=c*時,P(λ*,c*)=0, 即λ1=λ*=λ2.

對任意c≥c*, 定義加權(quán)函數(shù)為

ω(x)=e-2λ*x,

其中λ*為定理1中定義的正常數(shù)。顯然,當x→-∞時,ω(x)→∞,當x→∞時,ω(x)→0.

0=u-≤u0(s,x)≤u+=K, (s,x)∈[-r,0]×R,

0=u-≤u(t,x)≤u+=K, (t,x)∈[0,+∞)×R,

且存在正常數(shù)μ使得

特別地,解u(t,x)指數(shù)收斂到φ(x+ct):

2 穩(wěn)定性的證明

為了證明穩(wěn)定性的結(jié)論,我們需要引入兩個引理,見文[14-16]。

引理1 假設(shè)(A1)-(A4)成立, 若初始條件滿足

0=u-≤u0(s,x)≤u+=K, (s,x)∈[-r,0]×R,

那么Cauchy問題(1)和(2)存在唯一的解u(t,x)滿足

0=u-≤u(t,x)≤u+=K, (t,x)∈[0,+∞)×R.

則

若給定的初值0=u-≤u0(s,x)≤u+=K, (s,x)∈[-r,0]×R,令

(4)

則

(5)

(6)

因此,由比較原則有

u-≤U-(t,x)≤u(t,x)≤U+(t,x)≤u+, (t,x)∈[0,+∞)×R,

(7)

u-≤U-(t,x)≤φ(x+ct)≤U+(t,x)≤u+, (t,x)∈[0,+∞)×R.

(8)

定理2的證明過程需要分三步。

首先,證明U+(t,x)收斂到φ(x+ct).

vt(t,ξ)+cvξ(t,ξ)-Dvξξ(t,ξ)-?1F(ξ)v(t,ξ)=

(9)

帶有初值v(s,ξ)=v0(s,ξ),(s,ξ)∈[-r,0]×R,其中

在方程(9)的兩端同乘ω(ξ)v(t,ξ)e2μt,其中μ>0是一個正常數(shù),得到

(10)

結(jié)合(10), 有

對上述不等式, 在R×[0,t]上分別對ξ和t積分, 得到

(11)

由于

其中η>0 .由Fubini定理及變量代換ξ-y-cτ→ξ,s-τ→s,y→y,τ→τ,得到

然后得到

(12)

對于非線性項Q,運用Taylor公式, 并結(jié)合(A2)和(A3)可得

(13)

(14)

其中

(15)

為了得到估計,通過選擇η與μ可以證明Bη,μ,ω(ξ)>0。于是得到如下結(jié)論。

Aη,ω(ξ)≥C1>0,ξ∈R.

(16)

Aη,ω(ξ)≥2cλ*-2D(λ*)2-2?1F(0,0)-η?2F(0,0)f′(0)-

證畢。

引理4 令μ1>0是如下方程的唯一根

令μ<μ1,則

Bη,μ,ω(ξ)>0,ξ∈R.

(17)

證明由引理3可得

證畢。

將(15)與(17)代入(14), 得到如下估計。

(18)

類似地,在方程(9)兩端對ξ求導(dǎo), 對得到的方程兩端同乘以e2μtω(ξ)vξ(t,ξ), 然后在R×[0,t]上分別對ξ和t積分, 由(18)式可以得到如下的估計。

(19)

結(jié)合(18)和(19), 得到如下不等式。

(20)

(21)

我們需要給出整個區(qū)間(-∞,+∞)上的估計, 因此, 需給出如下在ξ=+∞處的收斂性。

證明由于Q≤0, 由(9)可得

vt(t,ξ)+cvξ(t,ξ)-Dvξξ(t,ξ)-?1F(ξ)v(t,ξ)

又

及

令ξ→+∞,上述不等式變?yōu)?/p>

上述不等式兩端同乘以eμ2t,并在[0,t]上積分,得到

由上面兩式得到

即

其中

由于(A5), 選擇μ2>0使得

則v(t,∞)≤Ce-μ2t.證畢。

由引理8和引理9可直接得到下面結(jié)論。

其中0<μ

其次,證明U-(t,x)收斂到φ(x+ct).

令

類似可得

其中0<μ

最后,證明u(t,x)收斂到φ(x+ct).

3 應(yīng)用

考慮如下傳染病模型

(22)

其中b>a>0,u(t,x)為感染者在時刻t和位置x處的密度,a是受感染者的治愈率,b為接觸率。

顯然,方程(22)有兩個常數(shù)平衡點u-≡0和u+≡1-a/b>0。

在文[17]中,作者已證明存在c*使得當c>c*時連接u-和u+的行波解是存在的。

注:當b>a時,隨著時間的變化傳染病個體的密度趨向于地方性水平。另外,當a↑b時,傳染病個體的密度趨向于0。即當受感染個體的恢復(fù)率接近宿主接觸率時,這種疾病將最終消滅。這表明,降低宿主-媒介接觸率是控制疫情的有效途徑。因此,研究結(jié)果將有助于預(yù)測傳染病的發(fā)展趨勢,識別傳染病傳播的關(guān)鍵因素,并尋求預(yù)防和控制傳染病傳播的最佳策略。