圓外切四邊形一個性質(zhì)的探索與發(fā)現(xiàn)

李 飛

(揚州大學(xué)附屬中學(xué)東部分校 225003)

1 問題呈現(xiàn)

《數(shù)學(xué)通報》2013年第6期數(shù)學(xué)問題解答欄目編號為2126的問題是這樣的：

如圖1，已知四邊形ABCD是⊙I的外切的四邊形，則下列恒等式成立：

供題者在《數(shù)學(xué)通報》2013年第7期給出了該題的三角解法.

2 嘗試新證

此命題結(jié)論結(jié)構(gòu)優(yōu)美，遂嘗試純幾何證法，最終用面積法將其證出，并有其它發(fā)現(xiàn).

從簡單問題入手，首先思考：如果是三角形有沒有類似的結(jié)論？經(jīng)過探索，發(fā)現(xiàn)：

結(jié)論1如圖2-1，如果△ABC是⊙I的外切三角形，則有

圖2-2

證明(面積法)設(shè)內(nèi)切圓與△ABC的切點分別為D、E、F，如圖2-2，

接下來，嘗試用面積法證明本文開頭提到的命題，即證明：

分母不同，四個分式如何相加？

經(jīng)過推證，以上猜測正確.現(xiàn)將完整證明過程整理如下：

圖3

為了推導(dǎo)的方便，將用到的關(guān)系先列如下：

如圖3，連接AC、BD相交于O，連接FH；

①設(shè)SABCD=S，S△AEI=S△AHI=S1，

S△BEI=S△BFI=S2，S△CFI=S△CGI=S3，

S△DGI=S△DHI=S4，

則有2S1+2S2+2S3+2S4=S；

②IH=IF；

③∠DHF=∠CFH，則∠AHO+∠CFO=∠AHO

+∠DHO=180°，

所以sin∠AHO=sin∠CFO.

證明第一步，推導(dǎo)

過程如下：

由牛頓定理3可知，對角線AC、BD、線段FH交于點O，

又sin∠AHO=sin∠CFO,sin∠AOH=sin∠COF，

至此可以得到圓外切四邊形的一個性質(zhì)：

由等比性質(zhì)可得

所以

3 探究發(fā)現(xiàn)

在探索問題過程中，發(fā)現(xiàn)了一個與牛頓定理2相關(guān)的結(jié)論.

結(jié)論2四邊形ABCD是⊙I的外切的四邊形，對角線AC、BD相交于點O，M、N分別為AC、BD的中點，則有

圖4

證明前面已經(jīng)證得

若S1=S3，S2=S4，

則S△ABD=S△BCD，S△ABC=S△ACD，M、N、O重合.

若S1=S3，S2=S4中至少有一個不滿足，

不妨設(shè)S1≠S3，

于是，由等比性質(zhì)可得

如圖4，連接MN、MB、MD，由牛頓定理2可知，MN經(jīng)過點I.

于是

又

由等比性質(zhì)可得

同理可得

由本結(jié)論很容易得到

結(jié)論3如圖5，四邊形ABCD是⊙I的外切的四邊形，M、N分別AC、BD的中點，延長AN、BC相交于點P，延長AI、EC相交于點Q，則PQ//AB.

圖5

證明由前面證明可知

所以PQ//AB.(證畢)