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    關(guān)于“L函數(shù)”的一則注記
    ——對(duì)一道二模試題的探究

    2019-08-22 01:00:16
    數(shù)學(xué)通報(bào) 2019年6期
    關(guān)鍵詞:凸性二項(xiàng)式附屬中學(xué)

    汪 健

    (華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué) 201203)

    題若函數(shù)f(x)滿(mǎn)足:對(duì)于任意正數(shù)s、t,都有f(s)>0、f(t)>0,f(s)+f(t)

    (2)若函數(shù)g(x)=3x-1+a(3-x-1)為“L函數(shù)”,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

    這是2017年上海市黃浦區(qū)高三數(shù)學(xué)二模試卷的最后一題.其第三小題的證明可化歸為以下命題.

    1 最佳下界的驗(yàn)證

    (i)s+t≤1.

    由二項(xiàng)式定理即得

    fn(s)+fn(t)=sn+tn

    <(s+t)n=fn(s+t).

    令d=s+t-1,則s-d=1-t,

    故由y=xn的凸性,

    fn(s)+fn(t)=sn+tn≤dn+1.

    另一方面,

    而d∈(0,1),故dn+1<1+dn-1,

    從而fn(s)+fn(t)

    =s+t≥sn+tn=fn(s)+fn(t).

    由二項(xiàng)式定理,

    fn(s+t)-fn(t)=

    故fn(s)+fn(t)

    fn(s)=sn≤s,

    而同(iii)可得fn(s+t)>s+t,

    故fn(s)+fn(t)

    因此fn(s)≤1+(s-1)=s,

    ≥fn(s)+fn(t).

    展開(kāi)完全平方得

    >s≥sn=fn(s),

    故fn(s)+fn(t)

    fn(s)≤1+(s-1)=s

    故fn(s)+fn(t)

    故fn(x)是“L函數(shù)”.

    故fn(x0)

    2 最佳上界的驗(yàn)證

    命題2已知函數(shù)f(x)為“L函數(shù)”,且f(1)=1.若f(x)<λx對(duì)一切0

    證明對(duì)任意的0

    由二項(xiàng)式定理,顯然

    gn(s)+gn(t)

    由y=xn的凸性,

    又(1-2d)n≤1-2d,

    故gn(s)+gn(t)

    易知,

    gn(s)+gn(t)=sn+1-(2n-1)(1-t)n,

    gn(s+t)=1-(2n-1)(1-s-t)n,

    于是gn(s+t)-gn(s)-gn(t)

    =(2n-1)[(1-t)n-(1-s-t)n]-sn.

    gn(s+t)-gn(s)-gn(t)

    =(1-t)n[(2n-1)(1-un)-(1-u)n].

    由s+t≤1知t<1,從而u∈(0,1),

    故gn(s+t)-gn(s)-gn(t)

    顯然,當(dāng)n>2時(shí),上式右端為正,

    故gn(s)+gn(t)

    考慮函數(shù)g(s)=sn-(s+t)n+1,

    g′(s)=nsn-1-(n+1)(s+t)n

    gn(s)+gn(t)-gn(s+t)

    =sn-(s+t)n+1+1-(2n-1)(1-t)n,

    也是關(guān)于s的減函數(shù).

    由此可知,

    gn(s)+gn(t)-gn(s+t)

    即gn(s)+gn(t)

    由函數(shù)y=1-(2n-1)(1-x)n(x∈[0,1])的凸性知,

    gn(s+t)=(2u)n+1,

    從而gn(s+t)-gn(s)-gn(t)

    ≥(2u)n+1-2[1-(2n-1)(1-u)n].

    ≥2n+1[un+1+(1-u)n+1]-2,

    故2n+1[un+1+(1-u)n+1]-2>0,

    從而gn(s)+gn(t)

    gn(s+t)=(s+t)n+1>tn+1+(n+1)tsn

    >tn+1+sn=gn(t)+gn(s)

    gn(s+t)=(s+t)n+1>tn+1+(n+1)tns

    h)s>1.

    由二項(xiàng)式定理,顯然

    gn(s)+gn(t)

    故gn(x)是“L函數(shù)”.

    故δ1/(n+1)>δln(1-δ)/lnδ=1-δ,

    或者等價(jià)地,δ>1-δ1/(n+1).

    >2-4ε-2(1-2ε)n+1,

    又因?yàn)?ε<2δ且(1-2ε)n+1<δ,

    從而gn(x0)>kx0.

    3 進(jìn)一步的思考

    上述問(wèn)題可以通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)膯挝环纸鈁2],將不連續(xù)的“L函數(shù)”(如S(x))“磨光”成光滑的來(lái)加以解決,具體細(xì)節(jié)留給讀者作為練習(xí).

    其次,新概念“L函數(shù)”的命名也值得商榷.從定義的核心部分,不等式f(s)+f(t)

    不僅如此,前文所舉的“L函數(shù)”fn(x)與gn(x)的圖象所表現(xiàn)出的凸性(如下圖所示)說(shuō)明,“L函數(shù)”的圖像在局部上的形狀更加接近于J形或G形.此外,不連續(xù)的“L函數(shù)”S(x)的圖像也呈現(xiàn)出與上述兩族函數(shù)類(lèi)似的“凸”階梯函數(shù)的形象.

    不過(guò),“L函數(shù)”、“G函數(shù)”和“J函數(shù)”的名稱(chēng)都在數(shù)學(xué)中已有特定的意義[3],故此,筆者認(rèn)為,為“L函數(shù)”另?yè)衩Q(chēng)似乎更為妥當(dāng).

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