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    淺談“判斷函數(shù)奇偶性”的幾種情形

    2019-08-14 07:21:58靳亦樸
    數(shù)理化解題研究 2019年19期
    關(guān)鍵詞:綜上偶函數(shù)奇函數(shù)

    靳亦樸

    (河北省邯鄲市第三中學 056001)

    掌握判斷函數(shù)的奇偶性的方法和步驟,是本章節(jié)的重點和難點.在老師的指導(dǎo)下,我試圖通過實例歸納了這類問題的求解方法.

    函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的“整體”性質(zhì).一般地,如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就稱作偶函數(shù);如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有f(-x)=-f(x),則函數(shù)f(x)為奇函數(shù).判斷函數(shù)的奇偶性,應(yīng)嚴格按照函數(shù)奇偶性的判斷步驟進行.

    首先,根據(jù)解析式求出其定義域,若其定義域不關(guān)于原點對稱,則函數(shù)為非奇非偶函數(shù).

    一、判斷下列函數(shù)的奇偶性

    (1)f(x)=0,x∈(-1,1];

    分析首先確定函數(shù)的定義域,可以事半功倍.

    解(1)函數(shù)的定義域為(-1,1],不關(guān)于原點對稱,所以該函數(shù)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).

    (2)函數(shù)的定義域{2},不關(guān)于原點對稱,所以該函數(shù)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).

    其次,若其定義域關(guān)于原點對稱,再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系.若f(-x)=f(x)則函數(shù)為偶函數(shù);若f(-x)=-f(x),則函數(shù)為奇函數(shù).

    解(3)函數(shù)的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞),關(guān)于原點對稱.當x∈(-∞,0)∪(0,+∞)時,顯然-x∈(-∞,0)∪(0,+∞).

    (4)函數(shù)的定義域是R,關(guān)于原點對稱.

    ∵f(-x)=(-x)4-3(-x)2=x4-3x2=f(x),

    ∴該函數(shù)為偶函數(shù).

    (5)函數(shù)的定義域為R,關(guān)于原點對稱.∵f(-x)=-2(-x)+1=2x+1≠f(x),-f(x)=-(-2x+1)=2x-1,f(-x)≠-f(x),

    ∴該函數(shù)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).

    (6)∵函數(shù)f(x)的定義域為R,關(guān)于原點對稱.

    當a≠0時,f(-x)=|-x+a|-|x-a|=|x-a|-|x+a|=|x+a|-|x-a=-f(x),

    此時,函數(shù)為奇函數(shù).

    當a=0時,f(x)=|x+a|-|x-a|=|x|-|x|=0,

    ∴f(-x))=f(x))=0,且f(-x))=f(x)=0,

    此時,函數(shù)f(x)既是奇函數(shù),又是偶函數(shù).

    綜上可知,當a∈R,且a≠0時,函數(shù)f(x)為奇函數(shù);當a=0時,函數(shù)f(x)既是奇函數(shù),又是偶函數(shù).

    二、判斷分段函數(shù)的奇偶性

    首先要判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱;其次,如果其定義域關(guān)于原點對稱,要分段討論,必須判斷每一段是否都具有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)的特征.

    分析首先要特別注意x與-x的范圍,然后將它們代入相應(yīng)區(qū)間的函數(shù)表達式中,f(x)與f(-x)一般對應(yīng)不同的表達式,再按照奇偶函數(shù)的定義進行判斷或證明.

    解f(x)定義域為R,關(guān)于原點對稱.

    當x>0時,-x<0,∴f(-x)=-x3+3x2-1=-(x3-3x2+1)=-f(x);當x=0時,-x=0,∴f(-x)=f(0)=0,f(x)=f(0)=0,f(-x)=-f(x);當x<0時,-x>0,則f(-x)=-x3-3x2+1=-(x3+3x2-1)=-f(x).

    綜上,當x∈R時,總有f(-x)=-f(x),∴f(x)為奇函數(shù).

    三、抽象函數(shù)的奇偶性

    在判斷此類函數(shù)的奇偶性時,需要判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系;也可以根據(jù)f(x)±f(-x)是否為0來判斷兩者的關(guān)系.

    例4如(8)函數(shù)f(x),x∈R,若對于任意實數(shù)a,b,都有f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b),求證:f(x)為偶函數(shù).

    分析f(x)的定義域為R,定義域關(guān)于原點對稱,欲證明f(x)為偶函數(shù),只需要證明f(-x)=f(x)即可.

    證明由題意知f(x)的定義域為R,∴定義域關(guān)于原點對稱.

    ∵對于任意的a,b∈R都有f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b),

    ∴b=0,2f(a)=2f(a)f(0).若f(a)=0,a是任意實數(shù),則f(x)=0,顯然是偶函數(shù).

    若f(a)≠0,則f(0)=1.再令a=0,f(b)+f(-b)=2f(0)f(b)=2f(b),f(-b)=f(b).

    ∴該函數(shù)是偶函數(shù).

    此外,判斷函數(shù)的奇偶性還可以根據(jù)函數(shù)圖象的對稱情況進行判斷.若函數(shù)的圖象關(guān)于原點(y軸)對稱,則函數(shù)為奇函數(shù)(偶函數(shù)),否則就不具有奇偶性.

    在學習這章節(jié)時,通過練習典型的例題,通過細微而敏銳的觀察,進而聯(lián)想轉(zhuǎn)化.對于每一道題,無論難易,冷靜對待,牢記解題方法和技巧,養(yǎng)成良好習慣,提高數(shù)學素養(yǎng).

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