基于有限元法思想的經(jīng)濟管理學(xué)研究方法的思考

向芃桔

[摘 要]在有限元法理論的基礎(chǔ)上，通過扎根理論建立有限元函數(shù)求解經(jīng)濟、管理學(xué)問題的思想，能夠降低傳統(tǒng)經(jīng)濟、管理研究方法的預(yù)測誤差。本文將工科和數(shù)學(xué)學(xué)科有限元方法抽象為人文社科的研究方法，與傳統(tǒng)研究方法相比，該方法能夠更全面地考慮求解問題的影響因素且擬合出的結(jié)果更加接近實際、預(yù)測更加精確。

[關(guān)鍵詞]有限元法;扎根理論;研究方法;管理學(xué)

doi：10.3969/j.issn.1673 - 0194.2019.12.052

[中圖分類號]F224[文獻標(biāo)識碼]A[文章編號]1673-0194（2019）12-0-02

0? ? ?引 言

現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)管理通過使用計算機有效提高了工作的效率和質(zhì)量。有限元法自1943年被提出且與計算機結(jié)合后，因其在復(fù)雜工程問題上的高精確度和適應(yīng)能力被廣泛應(yīng)用于物理學(xué)、傳熱學(xué)、流體力學(xué)等各個領(lǐng)域。同時，有限元法的思想也可以應(yīng)用于經(jīng)濟和管理學(xué)科研究。傳統(tǒng)的經(jīng)濟、管理學(xué)科研究方法大多為演繹歸納、理論實證、定量定性，是一種自上而下的研究理論。隨著時代的發(fā)展，自下而上的研究方法被越來越多地應(yīng)用在企業(yè)中，提高了研究的準(zhǔn)確性，但仍有誤差。隨著AI時代的到來，找到一種研究方法讓計算機與經(jīng)濟、管理研究結(jié)合在一起，能夠提高結(jié)果的精確性。

1? ? ?有限元法概論

有限元法（FEA，F(xiàn)inite Element Analysis）是利用數(shù)學(xué)近似的方法模擬真實的物理系統(tǒng)，并將求解域劃分為許多彼此之間僅靠節(jié)點連接的子域，該子域稱為有限元。根據(jù)不同學(xué)科分析，推導(dǎo)出有限元內(nèi)的方程近似解，再通過求解總域需要滿足的條件將其組成整個結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)方程，得到方程的解。由于大多數(shù)實際的問題難以得到精確的解，而有限元不僅能夠計算結(jié)果，且計算精度高，適用于各種復(fù)雜的情況，被各工程領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。有限元法是在差分法和變分法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種數(shù)值處理方法，將差分法對求解域的離散和里茲法的選擇試探函數(shù)相結(jié)合。有限元法與里茲法等同，都在有限單元中利用變分原理建立函數(shù)，但有限元法因為采用了離散處理使問題變得更加簡單和更容易被處理。

2? ? ?研究問題

筆者認(rèn)為各個學(xué)科的理論知識都是一個有機整體，他們是相互關(guān)聯(lián)的，存在相同的邏輯。例如，在經(jīng)濟學(xué)中，規(guī)模經(jīng)濟指一個企業(yè)規(guī)模達到一定水平后，通過各生產(chǎn)要素有機結(jié)合將產(chǎn)生“1+1>2”的效果，生產(chǎn)越多分?jǐn)偟礁魃唐飞系某杀揪驮缴?。在不考慮“規(guī)模不經(jīng)濟”的情況下，由簡單的幾何知識便可以理解規(guī)模經(jīng)濟的概念。企業(yè)猶如一個長方體，規(guī)模有多大，長方體就有多大，而長方體的容積就是其生產(chǎn)的效益。當(dāng)企業(yè)增加規(guī)模時，就如同投入資源增加長方體的表面積（即成本），表面積以平方的速度投入，容積（即效益）以立方的速度增加。因此，在解決經(jīng)濟管理復(fù)雜問題時，相關(guān)單位可以用其他思維來思考。如果把經(jīng)濟、管理問題求解域看作一個以無數(shù)的因素（環(huán)境、經(jīng)濟、政治、人文等）構(gòu)成的一個極其不規(guī)則的立方體，那么在概問題將根本無法求解，由于其不規(guī)則的“形狀”以及復(fù)雜的相互作用關(guān)系，導(dǎo)致相關(guān)單位根本沒有一個經(jīng)濟、管理理論或數(shù)學(xué)方法能夠解決該問題。但如果將這個不規(guī)則的立方體劃分為無數(shù)個易于解決的有限單元，僅靠各自的節(jié)點相互連接作用共同影響問題的最終結(jié)論，并在有限單元中建立量化的單一變量函數(shù)關(guān)系，根據(jù)所需要解決問題的特殊性質(zhì)建立合適的變量與節(jié)點的關(guān)系，從而得到問題的解，大大降低待解決問題的難度。

3? ? ?有限元研究法與動態(tài)規(guī)劃法及假設(shè)演繹法

在以往的管理學(xué)研究中，動態(tài)規(guī)劃法和有限元法有相似之處，但差異較大，方向也截然不同。動態(tài)規(guī)劃法是運籌學(xué)的一個分支，是求解決策過程最優(yōu)化的數(shù)學(xué)方法。該方法將問題分為一系列單階級問題，通過對一個問題進行求解來支持下一個問題。當(dāng)一個問題解決后，該問題與下一個問題再無聯(lián)系，這樣一級一級，往上遞推得到的最后一個問題就是總問題的解。動態(tài)規(guī)劃法雖然劃分了問題，但與有限元法思想解決經(jīng)濟管理問題的不同之處在于有限元法劃分不包含但相互作用的有限單元。有限元研究法分析經(jīng)濟、管理領(lǐng)域中的特色在于數(shù)據(jù)的多樣性和任意性，由大量甚至是無限的因素共同影響最終的結(jié)論并建立擬合出與實際基本一致的復(fù)合函數(shù)，而非單一的幾個關(guān)鍵因素決定最終問題的結(jié)論。

為了更進一步說明有限元法處理經(jīng)濟、管理問題的優(yōu)越性，筆者在本文中以幾何圖形的方式進行直觀描述。假設(shè)一個問題被一個不規(guī)則的多邊形的求解域所影響，那么有限元法就是全部覆蓋整個不規(guī)則圖形并將該求解域分解成很多不規(guī)則的、容易解決的單一要素或已有結(jié)論綜合要素的有限單元圖形。當(dāng)決策這個問題時，所考慮的是求出整個求解域的解，而假設(shè)演繹只是取了一些在求解域中面積較大且沒有完全覆蓋的關(guān)鍵因素，同時假設(shè)演繹被極大的人為因素和已有的研究結(jié)論所影響，研究者思想和思維受到禁錮無法保證研究者思維的開放和敏銳。一旦之前研究的結(jié)論有誤，就會影響研究者對問題的深入研究。

4? ? ?有限元法下的經(jīng)濟、管理學(xué)研究方法的應(yīng)用

4.1? ?有限元思想在經(jīng)濟、管理學(xué)中的研究步驟

有限元法的典型分析步驟共有6步。第一步是離散化，將各個復(fù)雜的系統(tǒng)分割成等價的有限元系統(tǒng);第二步是選擇位移模型，假設(shè)位移函數(shù)近似地表達各有限元節(jié)點在最小位能原理下的真實位移發(fā)布;第三步是用變分原理推導(dǎo)單元矩陣，并將節(jié)點位移與節(jié)點力聯(lián)系起來;第四步是整合離散化的各有限單元;第五步是求解位移矢量;第六步是由節(jié)點位移計算出各有單元的應(yīng)力和應(yīng)變。

筆者認(rèn)為，有限元法思想在經(jīng)濟管理學(xué)研究中應(yīng)用，指每一個社會上所遇到的經(jīng)濟或者管理問題都可以看作一個函數(shù)。這個函數(shù)是極其精確的，同時也是極其復(fù)雜和不可直接擬合的，具有無數(shù)個因變量，且變量之間也有對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系。研究人員通過簡單分析就能得到該問題的約束條件，但無法得到該函數(shù)的映射關(guān)系（或者說總問題與各單一要素的對應(yīng)關(guān)系）。因此，解析出該函數(shù)需要參考有限元法解決問題的步驟，首先，以該總問題為中心劃出該問題的求解域，求解域越大越好，涉及經(jīng)濟、法律、政策、生活、人文、環(huán)境、心情和天氣等各大領(lǐng)域;其次，將求解域劃分為大量的可求解的單一要素或已有結(jié)論的綜合要素的有限單元;最后，在各有限單元里建立函數(shù)且通過求解總求解域的約束條件，將各有限單元通過節(jié)點整合在一起得出總的映射關(guān)系。

4.2? ?扎根理論構(gòu)建有限單元映射

筆者認(rèn)為可以借助“扎根理論”來劃分有限單元并構(gòu)建有限單元函數(shù)。扎根理論是一種由下而上的研究方法，倡導(dǎo)在數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上歸納總結(jié)并發(fā)展出理論，代替了假設(shè)演繹法從現(xiàn)有理論中總結(jié)理論的方式，避免了以往數(shù)據(jù)或已有結(jié)論對研究者的影響。扎根理論是理論性研究和經(jīng)驗性研究之間的橋梁，所有數(shù)據(jù)均為研究對象（文獻資料、研究者自身思路觀點、個人閱歷等）。在不斷收集資料、走訪調(diào)查并分析資料的過程中，將思路撰寫成備忘錄和相關(guān)概念，然后再將備忘錄和概念排序，不斷將撰寫好的備忘錄、收集的資料和形成的概念相互聯(lián)系得出結(jié)論。同樣，筆者認(rèn)為可以通過這種方法，以中心問題出發(fā)收集資料，不斷調(diào)查形成大量有關(guān)聯(lián)的有限單元問題，例如我在哪兒，我為什么要調(diào)查這個因素，這個因素會影響什么，發(fā)生了些什么，怎么發(fā)生的，為什么會發(fā)生等。通過一般的問題會刺激研究者去想更加復(fù)雜和相關(guān)問題，而這些問題都可以說是有限單元，雖然他們看似沒有太大關(guān)聯(lián)，但實則以令人無法察覺的微妙關(guān)系存在。當(dāng)分成了有限單元個問題后，研究者便容易建立起單一要素的映射關(guān)系并將各個未知量相互靠攏，以公共作用邊將彼此通過猶如“力傳遞”一樣的節(jié)點傳遞并相互連接在一起。

5? ? ?結(jié) 語

有限元法是一門被廣泛應(yīng)用于工科和工程中的一種求解的近似方法。從最初的固體力學(xué)領(lǐng)域拓展到電磁學(xué)、聲學(xué)、機械傳動等各大領(lǐng)域，從簡單的靜力學(xué)發(fā)展到動態(tài)分析、非線性分析等復(fù)雜問題求解，已成為最有效的方法之一。有限元的思想應(yīng)用于經(jīng)濟、管理學(xué)科的內(nèi)容還較少，其精確的求解思想可以幫助經(jīng)濟、管理研究者更加全面和準(zhǔn)確地研究問題。隨著AI技術(shù)的發(fā)展，可以將分割求解域有限元、收集資料、調(diào)查和建立有限元函數(shù)等工作交給計算機，通過細(xì)分求解域得出更加準(zhǔn)確的映射函數(shù)關(guān)系。

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