鋁合金車身平臺的基礎(chǔ)性能關(guān)聯(lián)性研究*

王震虎，夏二立，張松波，邱颯蔚，李落星

（1.湖南大學(xué)，汽車車身先進(jìn)設(shè)計制造國家重點實驗室，長沙 410082； 2.湖南大學(xué)機械與運載工程學(xué)院，長沙 410082；3.重慶長安汽車歐尚研究院，重慶 400023）

前言

現(xiàn)階段各大車企越來越重視“平臺化”概念，汽車生產(chǎn)平臺化不僅能降低成本，提高開發(fā)效率，而且能縮短開發(fā)周期，實現(xiàn)各車企旗下各品牌之間的技術(shù)共享，提升品牌競爭力。隨著國家對電動汽車的重視，鋁合金輕質(zhì)車身受到各大車企的青睞，鋁合金車身平臺開發(fā)成為研發(fā)熱點。在鋁合金車身開發(fā)的前期策劃階段，各項基礎(chǔ)性能目標(biāo)和輕量化目標(biāo)的確定是汽車行業(yè)的難點，目標(biāo)值的合理性直接與成本緊密相關(guān)，也對開發(fā)車型的市場競爭力產(chǎn)生重大影響。眾所周知，輕量化與各項基礎(chǔ)性能之間是一對矛盾統(tǒng)一體，性能目標(biāo)的最佳方案便是兩者平衡的結(jié)果。若在確定目標(biāo)時把輕量化和各項性能分開考慮，可能導(dǎo)致目標(biāo)設(shè)定的不合理，因此深入研究車身剛度、模態(tài)與輕量化系數(shù)之間的關(guān)系對車身的性能目標(biāo)設(shè)定有著重要的意義。

國外對上述問題的內(nèi)在聯(lián)系已經(jīng)開展了大量研究。比較有代表性的是Griffiths等［1-2］從線性系統(tǒng)的靜力學(xué)理論和模態(tài)理論出發(fā)，得出各階頻率下結(jié)構(gòu)柔度的計算方法，然后基于簡支梁和矩形框架進(jìn)行柔度分析，發(fā)現(xiàn)簡支梁的1階彎曲模態(tài)對整體靜態(tài)柔度的貢獻(xiàn)量最大、矩形框架的1階扭轉(zhuǎn)模態(tài)頻率下的柔度與結(jié)構(gòu)的靜態(tài)扭轉(zhuǎn)柔度值非常相近的事實，由此得出簡單結(jié)構(gòu)的靜態(tài)柔度與1階模態(tài)頻率下的柔度近似相等的結(jié)論。同樣的，Wahyuni等［3］從能量的角度研究對結(jié)構(gòu)的整體靜態(tài)剛度（柔度）與各階模態(tài)參量之間的關(guān)系進(jìn)行了研究，并運用簡支梁模型和簡單的建模結(jié)構(gòu)進(jìn)行兩者關(guān)系的驗證后，提出對于線性無阻尼結(jié)構(gòu)，總的能量等于每一階模態(tài)的能量之和，是靜態(tài)柔度與模態(tài)關(guān)系的基礎(chǔ)。以上研究只是針對簡單的簡支梁和矩形框架梁的嘗試，尚未在工程中的大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)上進(jìn)行驗證。因此，Malen［4］在研究白車身的靜態(tài)剛度與模態(tài)關(guān)系時，首先將白車身的彎曲狀態(tài)等效為梁的彎曲，基于簡支梁彎曲剛度與截面系數(shù)之間的關(guān)系和梁在1階彎曲自由振動時的頻率與截面系數(shù)的關(guān)系，得到梁的1階彎曲模態(tài)頻率與彎曲剛度、質(zhì)量和簡支梁長度之間的關(guān)系，然后推廣至白車身模型中，用同樣的方法得到扭轉(zhuǎn)剛度與車身參數(shù)、車身1階扭轉(zhuǎn)模態(tài)之間的關(guān)系。該方法雖然在車身結(jié)構(gòu)上得到了運用，但將白車身大幅簡化為梁、桿，后期再依賴于大量實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行修訂，深受實驗樣本優(yōu)劣和樣本量的影響，可信度不高。此外，Deleener等［5-6］提出通過頻響函數(shù)和模態(tài)測試技術(shù)獲取白車身靜態(tài)剛度的方法，其基本思想是頻響函數(shù)的頻率逼近0時，即為車身的靜態(tài)剛度，但在頻率為0處的波動問題尚未有效解決，況且此方法不能確定車身模態(tài)與剛度之間的關(guān)系，對性能目標(biāo)設(shè)定的參考價值較小。

本文中從鋁合金車身平臺化開發(fā)的角度，首先深入分析鋁合金車身平臺的剛度與模態(tài)之間的關(guān)系，然后基于輕量化系數(shù)與扭轉(zhuǎn)剛度的關(guān)系過渡到輕量化系數(shù)與車身模態(tài)的關(guān)系，以此構(gòu)建車身的模態(tài)、剛度和輕量化系數(shù)之間的關(guān)系，為鋁合金車身的輕量化開發(fā)奠定了必要的基礎(chǔ)。

1 鋁合金車身平臺的基礎(chǔ)性能

由于前期策劃階段可輸入的信息很少，對鋁合金車身平臺性能的評估往往只考慮其基礎(chǔ)性能：彎曲剛度、扭轉(zhuǎn)剛度、1階彎曲模態(tài)和1階扭轉(zhuǎn)模態(tài)。其中，彎曲剛度表征的是車身在滿載狀態(tài)下抵抗彎曲變形的能力，扭轉(zhuǎn)剛度則表征汽車在凹凸不平路面行駛時車身的抗扭變形能力，兩者反映的是車身的整體剛度特性。1階彎曲和扭轉(zhuǎn)模態(tài)是表征汽車乘坐舒適性的重要指標(biāo)，是保證在復(fù)雜路況上給駕乘人員提供一種“結(jié)實”的安全感。此外，合理的剛度特性也是保證車身1階彎曲和扭轉(zhuǎn)模態(tài)的基礎(chǔ)。而車身的強度、碰撞性能是以整車的詳細(xì)模型為基礎(chǔ)的，在前期規(guī)劃階段尚不予考慮。因此，彎曲剛度、扭轉(zhuǎn)剛度、1階彎曲模態(tài)和1階扭轉(zhuǎn)模態(tài)是前期策劃階段衡量車身結(jié)構(gòu)好壞的重要指標(biāo)，是前期策劃階段需要考慮的重要性能。

1.1 鋁合金車身平臺的彎曲剛度

在探究鋁型材車身平臺的彎曲剛度的計算方法時，可以將其視作一個矩形的框架結(jié)構(gòu)，具體如圖1所示，圖中矩形長邊表示車身的縱向結(jié)構(gòu)，長度大致為汽車的軸距；較短的邊表示車身的橫向結(jié)構(gòu)，長度大致為汽車的前后輪距。為求得整體框架的縱向彎曲剛度，分別約束矩形框架點1，2位置y，z方向的平動自由度和z方向的轉(zhuǎn)動自由度；約束矩形框架點3，4位置 x，y，z方向的平動自由度和 x，z方向的轉(zhuǎn)動自由度；再在左右兩邊的中點上分別施加垂直于矩形框架平面向下且大小為F的力。若記F5＝F6＝-F，則根據(jù)靜力平衡，很容易得到 F1＝F2＝F3＝F4＝F／2。若將框架看作一個離散的線性系統(tǒng)，則框架系統(tǒng)所受外力的向量形式為

其中省略部分用0填充，表示結(jié)構(gòu)在該自由度上無外載荷作用。

圖1 矩形框架的彎曲受力狀態(tài)

根據(jù)剛度定義，可得該矩形框架結(jié)構(gòu)的彎曲剛度表達(dá)式為

式中δ5和δ6分別為加載點5和6的垂直偏移量，且分別為點 1～6的垂直方向的位移絕對值。將δ5和δ6表達(dá)式代入式（2）中得

對鋁合金車身平臺而言，鋁合金下車體其約束和加載方式與框架相同，如圖2所示。其差異主要體現(xiàn)在：為消除約束、加載點局部變形過大對車身彎曲剛度的影響，取約束、加載點在縱梁和門檻梁底面的垂向投影點作為彎曲剛度的測點。

圖2 鋁合金車身平臺彎曲剛度的載荷和邊界條件

取與點1～6對應(yīng)的點Ⅰ～Ⅵ作為相應(yīng)的測點，則鋁合金車身的彎曲剛度計算公式為

基于上述邊界條件的定義，運用有限元分析軟件MSC.Nastran求解得到Z向位移云圖，如圖3所示。將前后縱梁和門檻梁的測點位移代入式（4）得到彎曲剛度的仿真值為2 270 N／mm。

圖3 鋁合金車身平臺的彎曲工況變形云圖

1.2 鋁合金車身平臺的扭轉(zhuǎn)剛度

在白車身扭轉(zhuǎn)剛度計算時，同樣可將其視作一個矩形的框架結(jié)構(gòu)。圖4所示即為矩形框架扭轉(zhuǎn)工況的約束、受力情況，具體描述為：在1，2點施加垂直于矩形平面方向且大小相等（均為F）、方向相反的兩個力，并分別約束3，4點處 x，y，z方向的平動自由度和x，z方向的轉(zhuǎn)動自由度，約束點5處z方向的平動自由度，其中5是邊L12的中點。若記F1＝F，F(xiàn)2＝-F，由靜力平衡，容易得到 F3＝-F，F(xiàn)4＝F，在整個框架系統(tǒng)中，其向量的形式為

同樣的，省略部分用0填充。

圖4 矩形框架的扭轉(zhuǎn)受力狀態(tài)

根據(jù)扭轉(zhuǎn)剛度的定義，矩形框架的扭轉(zhuǎn)剛度為施加于L12端的扭矩T除以L12與L34相對扭轉(zhuǎn)角θ，即

式中 θ1和 θ2分別為 L12和 L34的扭轉(zhuǎn)角，且點的垂直位移。同樣的，鋁合金車身平臺的載荷邊界條件與矩形框相同，扭轉(zhuǎn)剛度計算方法是基于矩形框架的縱向扭轉(zhuǎn)剛度計算方法對測點的修正，如圖5所示。

圖5 鋁合金車身平臺扭轉(zhuǎn)剛度的載荷和邊界條件

鋁合金車身的扭轉(zhuǎn)剛度計算公式為

同樣得到扭轉(zhuǎn)工況下鋁合金車身平臺的Z向位移云圖，如圖6所示，將前后縱梁的測點位移代入式（7）得到扭轉(zhuǎn)剛度的仿真值為68 797 N·m／rad。

圖6 鋁合金車身平臺的扭轉(zhuǎn)工況變形云圖

1.3 鋁合金車身平臺的模態(tài)

模態(tài)分析的目的是得到結(jié)構(gòu)自由振動的頻率，是對多自由度無阻尼系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)振型的求解過程。

假定鋁合金車身的自由振動是n自由度無阻尼振動，則其微分方程為

式中：M為質(zhì)量矩陣，是對稱正定矩陣；K為剛度矩陣，是對稱正定或半正定矩陣；x為位移列向量。在n自由度無阻尼系統(tǒng)中尋找能使微分方程組解耦的新坐標(biāo)的過程，其實就是尋找能使質(zhì)量矩陣和剛度矩陣同時對角化的坐標(biāo)變換矩陣的過程。假設(shè)同一系統(tǒng)所選擇的兩種不同坐標(biāo)x與η有如下變換關(guān)系：

式中Φ為非奇異矩陣。則在η坐標(biāo)下系統(tǒng)的微分方程為

再令 ΦTMΦ＝Mm，ΦTKΦ＝Km，則式（10）可寫為

式中：Mm為對角陣，主對角元素為各階模態(tài)質(zhì)量；Km同樣為對角陣，主對角元素為各階模態(tài)剛度。特別地，對于第i階模態(tài)，有

即

式中 ωi，fi，Km，i和 Mm，i分別為第 i階角頻率、自然頻率、模態(tài)剛度和模態(tài)質(zhì)量。式（12）定量描述了各階模態(tài)剛度、模態(tài)頻率與模態(tài)質(zhì)量之間的關(guān)系。

在工程應(yīng)用中，上述模態(tài)分析的參量都可以借助成熟的有限元分析軟件快速地進(jìn)行求解。例如，對鋁合金車身平臺進(jìn)行模態(tài)分析時，可基于Hyper-Work建立有限元模型，設(shè)置分析的頻率范圍為1～200 Hz（1 Hz以下為剛體模態(tài)，不作考慮），選用BlockLanczos法提交至MSC.Nastran進(jìn)行求解計算。由于白車身屬于弱阻尼系統(tǒng)，故無須設(shè)置阻尼系數(shù)，1階彎曲和扭轉(zhuǎn)云圖分別如圖7和圖8所示。

圖7 鋁合金車身平臺的1階扭轉(zhuǎn)模態(tài)云圖

圖8 鋁合金車身平臺的1階彎曲模態(tài)云圖

由圖7和圖8可知，鋁合金車身平臺的第1階模態(tài)振型表現(xiàn)為整體的扭轉(zhuǎn)，模態(tài)頻率為27.76 Hz；鋁合金車身平臺的第3階模態(tài)振型表現(xiàn)為整體的彎曲，其頻率為44.24 Hz。

2 鋁合金車身平臺的輕量化系數(shù)

由于白車身輕量化系數(shù)［7］綜合考慮車身扭轉(zhuǎn)剛度、車身尺寸和質(zhì)量的相對關(guān)系，對白車身材料的合理使用和結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計有重要意義，成為汽車行業(yè)車身輕量化水平的重要評價方法。

本文中將輕量化系數(shù)推廣到鋁合金車身平臺，并用于其輕量化水平的評估，仿照白車身的輕量化系數(shù)計算方法，建立車身平臺的輕量化系數(shù)計算方法，如圖9所示。鋁合金車身平臺輕量化系數(shù)的計算公式為

式中：M為鋁合金車身平臺的質(zhì)量；A為鋁合金車身平臺的前、后懸架4個安裝點的垂向投影組成的平面面積；KT為鋁合金車身平臺的扭轉(zhuǎn)剛度。按照有限元理論計算出的扭轉(zhuǎn)剛度值得出鋁合金車身平臺的輕量化系數(shù)為22.46。

圖9 鋁合金車身平臺的輕量化系數(shù)計算示意圖

3 鋁合金車身平臺基礎(chǔ)性能關(guān)聯(lián)性研究

3.1 靜態(tài)剛度與模態(tài)關(guān)聯(lián)性研究

首先給出矩形框模型的靜力學(xué)方程［8］：

式中：x為靜力學(xué)中的位移列向量；P為外力列向量。在頻域上，考慮到靜態(tài)位移實際上就是頻率為0時的動態(tài)位移，將x＝Φη代入式（14），并同時在等式兩邊左乘ΦT，得

或

式中φi為第i階模態(tài)向量。

當(dāng)矩形框架受到靜態(tài)彎曲力的作用時，根據(jù)式（1）和式（15），在第 i階模態(tài)下有

式中χj為彎曲工況下第j個坐標(biāo)的廣義力系數(shù)。由x＝Φη或 x＝φ1η1＋φ2η2＋…＋φnηn可知，第 j個坐標(biāo)的位移可描述為

將式（16）與式（17）聯(lián)立，消去 ηi得

再將式（18）代入式（3）得到彎曲剛度與各階模態(tài)參量的關(guān)系：

同理得到扭轉(zhuǎn)剛度與各階模態(tài)參量的關(guān)系式：

前面提到，鋁合金車身作為一個大型的線性系統(tǒng)，是矩形框系統(tǒng)復(fù)雜化的體現(xiàn)，它應(yīng)滿足式（19）和式（20）中的關(guān)系。但值得注意的是，靜剛度的測點與加載、約束點的位置并不重合。因此，須同時考慮試驗加載、約束位置和測點位置的模態(tài)變形量，故對式（19）和式（20）修正如下：

這里記 φ1，i～φ6，i為加載或約束點處第 i階 z向模態(tài)變形量，φⅠ，i～φⅥ，i為測點Ⅰ～Ⅵ第 i階 z向模態(tài)變形量，Lf為左、右前懸架減振器安裝面中心點之間的距離，L12和L34分別為前測點之間和后測點之間的距離。式（21）和式（22）的右邊各項即為白車身各階模態(tài)的彎曲（扭轉(zhuǎn)）柔度貢獻(xiàn)量，其具體含義為：鋁合金車身平臺的靜態(tài)柔度等于各階模態(tài)柔度貢獻(xiàn)量之和。

3.2 輕量化系數(shù)與模態(tài)關(guān)聯(lián)性研究

將式（22）與式（13）聯(lián)立得到車架的輕量化系數(shù)與各階模態(tài)的關(guān)聯(lián)性：

式（23）表述的是輕量化系數(shù)與車身平臺的各階模態(tài)的關(guān)系。其物理意義為：車身平臺的輕量化系數(shù)是各階模態(tài)共同貢獻(xiàn)的結(jié)果，而各階模態(tài)是車身整體或局部結(jié)構(gòu)好壞的反映。

3.3 實例應(yīng)用

3.3.1 基于模態(tài)理論的彎扭剛度和輕量化系數(shù)計算為

驗證式（21）和式（22）基于鋁合金車身平臺的實用性，運用有限元分析軟件MSC.Nastran提取前50階的模態(tài)參數(shù)（頻率、模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度）和包含彎扭工況下的約束加載點、測點在內(nèi)的12個點的Z向模態(tài)變形量，根據(jù)式（21）和式（22）計算出鋁合金車身平臺前50階模態(tài)與彎曲和扭轉(zhuǎn)剛度的關(guān)聯(lián)性曲線，如圖10和圖11所示。由圖10和圖11可知，隨著模態(tài)階次的增加，根據(jù)模態(tài)參數(shù)得到的柔度曲線整體上呈現(xiàn)收斂于靜態(tài)剛度曲線的趨勢。當(dāng)取前50階模態(tài)參數(shù)時，通過模態(tài)參數(shù)求得的彎曲和扭轉(zhuǎn)剛度值分別為2 368 N／mm和70 070 N·m／rad，輕量化系數(shù)為22.06，與通過有限元理論分析求得的彎扭剛度值誤差僅為4.32%和1.85%，輕量化系數(shù)誤差僅為1.78%，如表1所示。

圖10 車身平臺前50階模態(tài)與彎曲剛度的關(guān)聯(lián)性曲線

3.3.2 基于剛度貢獻(xiàn)量的模態(tài)識別

圖11 車身平臺前50階模態(tài)與扭轉(zhuǎn)剛度的關(guān)聯(lián)性曲線

表1 兩種彎扭剛度計算方法對比

圖12為鋁合金車身平臺各階模態(tài)對扭轉(zhuǎn)剛度的貢獻(xiàn)量。由圖可知，第1階模態(tài)對扭轉(zhuǎn)剛度的貢獻(xiàn)高達(dá)84.61%，遠(yuǎn)超其它各階模態(tài)的貢獻(xiàn)量之和，說明第1階模態(tài)便是鋁合金車體平臺的扭轉(zhuǎn)模態(tài)。而由有限元理論模態(tài)分析可知，第1階模態(tài)振型表現(xiàn)為1階扭轉(zhuǎn)振型，如圖7所示，兩種模態(tài)識別方法結(jié)論一致。

圖12 車身平臺各階模態(tài)對扭轉(zhuǎn)剛度的貢獻(xiàn)量

圖13為鋁合金車身平臺各階模態(tài)對彎曲剛度的貢獻(xiàn)量。由圖可知，第3階模態(tài)對靜態(tài)彎曲剛度的貢獻(xiàn)量達(dá)到79.72%，為所有其他各階模態(tài)貢獻(xiàn)量中最大，說明第3階模態(tài)便是鋁合金車體平臺的彎曲模態(tài)。而由有限元理論模態(tài)分析可知，第3階模態(tài)振型表現(xiàn)為1階彎曲振型，如圖8所示，兩種模態(tài)識別方法結(jié)論一致。

圖13 車身平臺各階模態(tài)對彎曲剛度的貢獻(xiàn)量

綜合圖12和圖13可以得出：對彎曲（扭轉(zhuǎn)）剛度貢獻(xiàn)量最大的模態(tài)階次即為對應(yīng)的1階彎曲（扭轉(zhuǎn)）模態(tài)。此模態(tài)識別方法是基于各模態(tài)參數(shù)和彎扭剛度測點綜合考慮的結(jié)果，能有效避免局部模態(tài)振型對1階彎曲（扭轉(zhuǎn)）模態(tài)識別的干擾。

4 試驗驗證

圖14和圖15分別為鋁合金車身平臺的彎扭剛度試驗測試圖。鋁合金車身平臺的彎扭剛度試驗的儀器主要有兩部分組成：一是彎扭剛度試驗臺架，用于實現(xiàn)對鋁合金車身平臺的加載和約束；另一部分是信息采集系統(tǒng)，用于測量和搜集載荷信號和車架的位移響應(yīng)。試驗邊界條件與1.1和1.2節(jié)中描述一致，測點布置在前后縱梁及門檻梁的底面，左右對稱布置。

圖14 鋁合金車身平臺的彎曲剛度試驗

表2為鋁合金車身平臺的彎扭剛度和輕量化系數(shù)的有限元分析算法和模態(tài)理論算法與試驗值的對比。由表2可以看出，彎曲剛度、扭轉(zhuǎn)剛度和輕量化系數(shù)的模態(tài)理論算法誤差比有限元算法的誤差小，其中，彎、扭剛度的模態(tài)理論算法的誤差分別為1.85%和1.82%，而輕量化系數(shù)的模態(tài)理論算法的誤差為1.89%，說明模態(tài)理論算法具有較高的工程應(yīng)用價值。

圖15 鋁合金車身平臺的扭轉(zhuǎn)剛度試驗

表2 兩種計算方法計算值與試驗值的對比

5 結(jié)論

（1）鋁合金車身平臺的靜態(tài)剛度、模態(tài)和輕量化系數(shù)存在著密切的關(guān)系，具體表現(xiàn)為：鋁合金車身平臺的靜態(tài)彎扭柔度等于各階模態(tài)柔度貢獻(xiàn)量之和，其輕量化系數(shù)也可看做是各階模態(tài)共同貢獻(xiàn)的結(jié)果。因此，有針對性地提升車身的模態(tài)可作為提升車身整體或局部剛度、降低輕量化系數(shù)的主要途徑。

（2）通過對鋁合金車身平臺各階自由模態(tài)參數(shù)的求解，可得其靜態(tài)剛度的近似解，且隨著階次的增加，基于模態(tài)參數(shù)的剛度解更逼近于有限元靜態(tài)分析解。選取前50階模態(tài)參數(shù)求得的彎曲剛度、扭轉(zhuǎn)剛度值和輕量化系數(shù)與有限元分析算法的解的誤差僅為4.32%，1.85%和1.78%，精度較高。

（3）1階扭轉(zhuǎn)模態(tài)對扭轉(zhuǎn)剛度的貢獻(xiàn)量達(dá)到84.61%，1階彎曲模態(tài)對彎曲剛度的貢獻(xiàn)量達(dá)到79.72%。對彎曲（扭轉(zhuǎn)）剛度貢獻(xiàn)量最大的模態(tài)階次即為對應(yīng)的1階彎曲（扭轉(zhuǎn)）模態(tài)，此種模態(tài)識別方法可作為彎扭模態(tài)識別的重要參考依據(jù)，能夠有效避免局部模態(tài)振型對1階彎曲（扭轉(zhuǎn)）模態(tài)識別的干擾。

（4）相對于試驗測試值，鋁合金車身平臺的彎曲剛度、扭轉(zhuǎn)剛度和輕量化系數(shù)的模態(tài)理論算法精度比有限元理論算法的誤差要小，其中彎扭剛度的模態(tài)理論算法的誤差僅為1.85%和1.82%，輕量化系數(shù)誤差則為1.89%。