讓學生在探究中提升數(shù)學核心素養(yǎng)

田仕芹

[摘 要]數(shù)學核心素養(yǎng)包括基礎層面的數(shù)學知識和技能，數(shù)學能力層面的數(shù)學運算、數(shù)學推理、數(shù)學抽象、數(shù)學直觀、數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學交流，數(shù)學文化層面的數(shù)學精神、數(shù)學思想和數(shù)學方法。為提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，教師要讓學生在探究中經(jīng)歷概念的形成過程、抓住概念的本質(zhì)特征，在命題學習中進行直觀感知類探究、現(xiàn)實情境類探究和操作活動類探究，并在習題探究中注重整體思維、動態(tài)思維、批判思維和發(fā)散思維的培養(yǎng)。

[關鍵詞]數(shù)學核心素養(yǎng);概念;命題;習題;探究

數(shù)學素養(yǎng)一詞早在1956年《數(shù)學通報》刊登的一篇蘇聯(lián)文獻的譯稿中就已出現(xiàn)。從20世紀80年代起，在素質(zhì)教育的進程中，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)成為中小學數(shù)學教學的重要任務。當今世界各國教育都在聚焦對于人的核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，小學階段又是基礎教育的重要學段，如何理解數(shù)學核心素養(yǎng)，又如何在小學數(shù)學教學中引導學生探究，進而提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，是值得探討的問題。

一、數(shù)學核心素養(yǎng)的內(nèi)涵和構(gòu)成要素分析

數(shù)學教育學者關注數(shù)學核心素養(yǎng)的內(nèi)涵和構(gòu)成要素，從不同角度展開研究，比較有代表性的觀點有二。其中一種觀點側(cè)重能力。如馬云鵬認為，數(shù)學核心素養(yǎng)是學生通過數(shù)學學習應達成的有特定意義的綜合性能力，它既基于數(shù)學知識和技能，又高于數(shù)學知識和技能，是對數(shù)學本質(zhì)與數(shù)學思想的反映和體現(xiàn);史寧中重視數(shù)學學科的思維品質(zhì)和關鍵能力，認為數(shù)學學科主要培養(yǎng)演繹和歸納的邏輯思維，培養(yǎng)相應的演繹和歸納推理能力。另一種觀點在重視能力的同時關注情感。如張奠宙認為，數(shù)學核心素養(yǎng)包括情感態(tài)度、價值觀，不只是數(shù)學能力;桂德懷、徐斌艷認為，數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學情感態(tài)度、價值觀、數(shù)學知識、數(shù)學能力的綜合體現(xiàn)?！读x務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中多次出現(xiàn)“數(shù)學核心素養(yǎng)”，雖沒有明確界定數(shù)學核心素養(yǎng)這一術(shù)語，但其中提到的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識和創(chuàng)新意識卻是數(shù)學核心素養(yǎng)的表現(xiàn)。

盡管學界對數(shù)學核心素養(yǎng)的內(nèi)涵與外延還沒有形成共識，但有些數(shù)學核心素養(yǎng)成分是數(shù)學教育者共同關注的。如，基礎層面的數(shù)學知識和技能，數(shù)學能力層面的數(shù)學運算、數(shù)學推理、數(shù)學抽象、數(shù)學直觀、數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學交流，數(shù)學文化層面的數(shù)學精神、數(shù)學思想和數(shù)學方法。

數(shù)學知識與技能旨在使學生在解決常規(guī)、簡單的數(shù)學問題或?qū)嶋H問題過程中初步形成問題解決的意識和能力，是數(shù)學能力形成的基礎。數(shù)學運算有效整合運算技能和邏輯思維，促進學生提高了程序化思考問題能力、邏輯推理能力和思維靈活性;數(shù)學推理中的演繹推理促使學生養(yǎng)成尊重客觀事實的理性精神，合情推理促使學生養(yǎng)成敢于猜想的創(chuàng)新精神;數(shù)學抽象使學生在識別、歸納數(shù)學規(guī)律或數(shù)學問題的過程中形成抽象概括能力;數(shù)學直觀使學生在利用圖形描述和思考問題的過程中拓展問題解決的思路與方法，促進學生發(fā)散思維能力和直覺思維能力的形成;數(shù)學建模使學生在將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，求解后在回歸實際問題的過程中體會數(shù)學與相關學科、社會生活的聯(lián)系，體驗數(shù)學的應用價值，形成應用數(shù)學的意識和能力;數(shù)據(jù)分析能力使學生在收集、判別、整合及運用信息和數(shù)據(jù)的過程中養(yǎng)成基于數(shù)據(jù)思考問題的習慣，形成理性思考和決策的能力;數(shù)學交流使學生在應用數(shù)學語言描述、表達、解釋數(shù)學事實的過程中增進對數(shù)學的豐富認知和積極情感，在與他人交流對數(shù)學知識、思想和觀念的理解的過程中加深對數(shù)學的理解，形成數(shù)學反思意識;數(shù)學精神有助于激發(fā)學生對數(shù)學的積極情感，提高興趣、增強意志，使學生形成正確的數(shù)學觀、學習觀、價值觀;數(shù)學思想與方法使學生在數(shù)學學習和問題解決過程中完善數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，養(yǎng)成數(shù)學思考能力。

二、讓學生在探究中提升數(shù)學核心素養(yǎng)

1.概念探究

數(shù)學概念學習是對數(shù)學知識的建構(gòu)過程，它包括個體的自我建構(gòu)以及個體與外部交流、協(xié)商、對話的互動建構(gòu)。學生在建構(gòu)數(shù)學概念時，需要以一個已經(jīng)建構(gòu)的數(shù)學概念或已有的生活經(jīng)驗作為理解概念的邏輯起點，與某個數(shù)學概念相關的特定生活經(jīng)驗是認識這個數(shù)學概念的認知根源。如對平行線的認識，城市里的學生會以鐵軌作為認知根源，鄉(xiāng)村里的學生會以田隴作為認知根源。恰當?shù)恼J知根源是學生正確理解概念的基礎，教師要尋求符合學生實際情況的認知根源，促進他們理解概念、建構(gòu)概念。

在概念探究中，要讓學生經(jīng)歷感知、分析、比較和抽象的過程，以歸納方式概括出概念的本質(zhì)特征，通過比較厘清概念之間的區(qū)別與聯(lián)系。例如，在教學“平行四邊形”時，先請學生觀察課件中的平行四邊形，獨立思考它們的共同特征，并與同桌交流;然后將學生分成4～5人一個小組，思考這些共同特征的驗證方法，并匯報展示;再請學生觀察課件中的平行四邊形、長方形、正方形、梯形和六邊形，厘清平行四邊形和長方形、正方形的區(qū)別與聯(lián)系。學生在觀察、思考、概括、分類、交流等探究過程中，感悟了平行四邊形的本質(zhì)特征。又如，在教學“分數(shù)”時，可引導學生沿“比——一部分與另一部分之間的關系”和“數(shù)——以有理數(shù)形式出現(xiàn)的分數(shù)”兩條主線展開探究，其中會涉及四個層面：比率——部分與整體的關系和部分與部分的關系、度量——分數(shù)單位的累積、運算——一個運算的過程、商——分數(shù)轉(zhuǎn)化為除法之后運算的結(jié)果。學生在探究中獲得對分數(shù)意義的理解。

2.命題探究

數(shù)學中的命題，包括公理、定理、公式、法則、數(shù)學對象的性質(zhì)等。教師要適當?shù)貫閷W生提供“先行組織者”材料，啟發(fā)學生主動、有意識地聯(lián)系舊知識，積極探索、領會和發(fā)現(xiàn)命題。教學中，教師可創(chuàng)設情境，引導學生進行直觀感知類探究、現(xiàn)實情境類探究和操作活動類探究。

（1）直觀感知類探究

數(shù)學直觀，既是數(shù)學抽象思維的問題信息源，又是途徑信息源。教師可以借助圖形、表格、案例、影像等直觀感性材料，促使學生的思維在豐富、生動的直觀信息支持下被激活。

例如，在教學“圓的面積”時，教材上是通過將圓分割成小扇形，將圓面積轉(zhuǎn)化為長方形面積。事實上，教師可以在課堂上呈現(xiàn)直觀圖形，即半徑為[r]的圓及它的外切正方形，引導學生先比較正方形的周長，再結(jié)合正方形的面積，猜測圓的面積。學生通過比較，易猜想到圓的面積為[S圓=πr2]。教師繼續(xù)引導學生將圓面積轉(zhuǎn)化為長方形面積驗證猜想。

（2）現(xiàn)實情境類探究

數(shù)學源于、高于、用于生活現(xiàn)實。學生認知中最根深蒂固的部分就是生活中經(jīng)常接觸和用到的知識。數(shù)學教學要適度回歸生活，針對具體內(nèi)容創(chuàng)設與學生日常生活相關的問題情境，引導學生依據(jù)生活經(jīng)驗展開探究，使他們感受到數(shù)學就在身邊，以有效地觸發(fā)學生的思維興奮點，培養(yǎng)積極的數(shù)學情感。

例如，在教學“商不變規(guī)律”時，教師可創(chuàng)設現(xiàn)實情境：“學校即將舉行運動會，班里的同學和老師都積極準備，他們在不同超市買了同一種礦泉水。王華在甲超市花12元買了6瓶，周老師在乙超市花24元買了12瓶，李倩在丙超市花6元買了3瓶;鄒老師在丁超市花30元買了15瓶。誰買的最便宜？”學生在熟悉的生活情境中展開探究，通過列式計算、比較，探索出商不變規(guī)律。

（3）操作活動類探究

學生在獲得數(shù)學知識與技能的過程中，只有親身參與教師精心設計的教學活動，才能在數(shù)學思考、問題解決和情感態(tài)度方面得到發(fā)展。為了促使學生真正理解數(shù)學知識、掌握數(shù)學技能，教師應基于學生的認知水平、心理特征和活動經(jīng)驗，組織學生開展實驗、操作、嘗試等活動，引導學生進行觀察、分析、抽象概括，運用知識進行判斷。

例如，在教學“三角形的內(nèi)角和”時，教師可以提問：能否畫出有兩個角是直角的三角形？能否畫出三個角分別為[30°、50°、80°]的三角形？學生嘗試失敗，電腦演示也畫不出這樣的三角形。這是為什么呢？學生已經(jīng)隱約感到三角形的三個角之間有某種內(nèi)在的聯(lián)系，教師趁熱打鐵，引導學生通過量、剪拼、折的方式再展開探究。又如，在教學“圓的周長”時，教師課前安排學生準備以下學具：圓形紙片、紙杯、硬幣、細繩、直尺、三角尺。課上請學生先用自己喜歡的方式測量圓的周長和直徑，探究圓的直徑和周長之間的關系，然后借助課件生動直觀地演示周長和直徑的關系，使學生體會函數(shù)思想。

3.習題探究

問題是數(shù)學的心臟。在習題探究中培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力，促使學生養(yǎng)成“數(shù)學地思維”的習慣，是培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)的重要途徑。學生在學習數(shù)學和運用數(shù)學解決問題時，不斷地經(jīng)歷觀察、類比、直覺、想象、歸納、抽象、運算、推理、反思等數(shù)學思維過程，有助于學生理解和體悟其中蘊涵的數(shù)學思想與方法，提升數(shù)學核心素養(yǎng)。

（1）基于整體思維的探究

整體思維體現(xiàn)在尋找問題解決的思路、方法和途徑中，從整體角度出發(fā)，挖掘各個元素之間的聯(lián)系。培養(yǎng)學生對數(shù)學問題的整體分析和思考能力，可以避免因拘泥于問題的局部而使解題受阻。教師要注意引導學生從宏觀角度進行整體分析，在塊狀思維中把握各個量之間的內(nèi)在聯(lián)系，促使問題有效解決。

問題一：[求12+14+18+…+116的值]。

常規(guī)解法是按順序依次通分求和，但過程煩瑣。教師可引導學生將整體“1”平均分成兩份，取其中的1份，即[12]，再將剩下的[12]平均分成兩份，取其中的1份，即[14]，如此繼續(xù)下去，就能發(fā)現(xiàn)原式等價于1- [116]，即[1516]。

問題二：有20元紙幣和50元紙幣共40張，合計1250元，20元紙幣和50元紙幣各有多少張？

這個問題與雞兔同籠問題類似。教師可引導學生從整體思考，假設40張紙幣全為20元，則合計應為800元，比1250元少450元。由于1張50元紙幣比1張20元紙幣多出30元，450÷30=15（張），所以50元紙幣有15張，20元紙幣有40-15=25（張）。同理，也可假設40張紙幣全為50元求解。

（2）基于動態(tài)思維的探究

動態(tài)思維是相對于靜態(tài)思維而言的，較之墨守成規(guī)、機械的靜態(tài)思維，動態(tài)思維更注重從運動變化的角度把握問題的本質(zhì)，注重對問題的辯證分析，靈活地運用所學知識分析問題、解決問題。

問題三：楊老師早上8：00上班。一天，楊老師從家出發(fā)前算了一下，此時如果步行，將遲到6分鐘;如果騎自行車，可以提前3分鐘到達。已知楊老師步行每分鐘行100米，騎自行車每分鐘行200米。這天楊老師是什么時候從家出發(fā)的？

有些學生拘泥于不知道家到學校的距離而思維受阻。教師可引導學生運用動態(tài)思維進行探究，假設楊老師是在8：00前t分鐘出發(fā)的，t分鐘內(nèi)楊老師一直在步行或騎自行車，如果步行，他離學校還有6分鐘的路程;如果騎自行車，他超出學校3分鐘的路程。由題目中給出的步行和騎自行車的速度，可得到t分鐘內(nèi)騎自行車比步行多行的路程，由此求出t。