注重整體結構，促進有效學習

王罡

【摘要】初中數(shù)學教學中，教師僅僅依照教材內(nèi)容順序開展教學是不夠的，還應注重挖掘每章內(nèi)容的整體知識結構.教師需設法幫助學生探尋知識間的邏輯結構聯(lián)系，以實現(xiàn)內(nèi)容的有效過渡和銜接，同時讓學生學會融會貫通.本文選取多項式乘法與因式分解和平行四邊形兩個典型例子在教材內(nèi)容分析的基礎上提出相應的教學改進策略和建議，以促進和實現(xiàn)學生的有效學習.

【關鍵詞】整體性;知識結構;有效學習

美國著名教育心理學家布魯納曾提出認知結構學習理論，他主張“不論我們選教什么學科，務必使學生理解學科的基本結構”，同時認為知識的結構學習是通向有效學習的捷徑，教師在教學中應當使用發(fā)現(xiàn)法引導學生學會學習.初中數(shù)學教學更是如此，一方面，初中數(shù)學各個知識點絕非單個的孤立存在，而是知識彼此間環(huán)環(huán)相扣，聯(lián)系密切，故容易形成知識結構;另一方面，義務教育數(shù)學課程標準指出，“教材編寫應當體現(xiàn)整體性，注重突出核心內(nèi)容，注重內(nèi)容之間的相互聯(lián)系，注重體現(xiàn)學生學習的整體性”.鑒于此，教師理應對章節(jié)教學內(nèi)容的結構了然于胸，同時在教學中幫助學生整體把握教學內(nèi)容，形成知識結構圖.

然而，筆者在觀摩聽課的過程中，不時會發(fā)現(xiàn)存在這樣一種有待改進的不足：許多教師在課堂上往往對教學內(nèi)容的全局把握能力不夠，甚至平時僅注重知識點的孤立教學，只有到了章末復習小結時才會在教材的提示下幫助學生梳理本章的知識結構.顯然，此時教師所做的不過是將教材內(nèi)容經(jīng)過理解加工轉化為自己的教學內(nèi)容.事實上，單元教學設計可以有效改善這一不良狀況，它的整體性和綜合性是一般教學設計所不能比擬的，應當成為教師日后努力的方向.只有這樣，才能真正體現(xiàn)教師勞動的創(chuàng)造性，從而真正實現(xiàn)學生的高效學習.下面筆者選取兩個典型的章節(jié)內(nèi)容予以具體分析和說明.

一多項式乘法與因式分解

（一）教材內(nèi)容分析

多項式乘法與因式分解是初中數(shù)學“數(shù)與代數(shù)”模塊下數(shù)與式部分的重要內(nèi)容，兩者互為相反方向的變形.筆者分別翻閱人教版和北師版教材與之相關的章節(jié)內(nèi)容，將兩版本教材中的有關內(nèi)容展開整體對比分析，整理成下表：

版本人教版北師版

整章知識體系整式乘法的預備知識→整式乘法→乘法公式→因式分解整式乘除的預備知識→整式乘法→乘法公式→整式除法因式分解另起一章

多項式乘法均通過轉化為單項式與多項式相乘得到兩個多項式相乘的運算法則;

均通過由特例到一般的歸納過程得到乘法公式

因式分解提公因式法→公式法→十字相乘法（作為課后閱讀材料給出）提公因式法→公式法

圖1-1 兩版本教材多項式乘法與因式分解對比分析

通過整理可以看到，北師和人教兩版本教材在介紹多項式乘法和因式分解時，整章知識體系及內(nèi)容廣度均存在一定的差異.筆者認為，相對來講，人教版比北師版更好地呈現(xiàn)了該章節(jié)的知識結構，但仍有不足，例如，由多項式乘法運算法則到乘法公式的過渡和聯(lián)系不夠緊密等.鑒于此，教師需要適當擺脫教材內(nèi)容編排體系的束縛，自主從中挖掘和開發(fā)一些新的內(nèi)容，以更好地實現(xiàn)多項式乘法與因式分解相關內(nèi)容的有效銜接.

（二）教學改進策略和建議

1.一般多項式相乘與乘法公式

根據(jù)多項式與多項式相乘的運算法則，兩個多項式相乘的一般形式為（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq，這主要針對兩個多項式中的每一項互不相同而言.由該一般形式，教師可啟發(fā)學生思考以下兩個問題：

① 這里的a，b，p，q通常是兩兩互不相同的項，能否將該一般形式特殊化？

② 考慮某兩項相同的情況，共可以分為幾種特殊情況？

學生在教師的一步步提示和引導下，可以將其分為四種特殊情況：

① 某個多項式本身的兩項相同，即a=b或p=q.若以a=b為例，則原形式可化簡為（a+a）（p+q）=2a（p+q）=2ap+2aq，顯然此時轉化為單項式與多項式相乘的情形;

② 兩個多項式中的某一項相同，另一項完全不同，例如，均含有a，另一項分別為p和q，原形式可化簡為（a+p）（a+q）=a2+（p+q）a+pq，此時運算結果是二次三項式.事實上，如果將a換成x，將得到x2+（p+q）x+pq型的式子，這與后續(xù)將學習的一元二次方程乃至二次函數(shù)都有著密切的聯(lián)系;

③ 兩個多項式中的某一項相同，另一項不同，但互為相反數(shù)（絕對值相同）.例如，均含有a，另一項分別是b和-b，此時可得到（a+b）（a-b）=a2-b2，即平方差公式;

④ 兩個多項式中的兩項完全相同，例如，均含有相同的項a和b，此時可得到（a+b）2=a2+2ab+b2，即完全平方公式.

與教材中以探究的形式給出幾道題目并引導學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律相比，顯然上述做法更能突出核心內(nèi)容（兩個多項式相乘的運算法則），揭示一般多項式乘法與乘法公式的邏輯結構聯(lián)系，有利于學生認知結構的形成.此外，初中生已經(jīng)習慣了由特例到一般探尋規(guī)律的思維方式，如果教師能夠按照上述改進建議讓學生嘗試由一般到特殊的思維方式，將有助于培養(yǎng)學生良好的思維品質.

2.多項式乘法與因式分解

盡管課程標準只要求學生掌握因式分解的兩種方法（提公因式法和公式法），但考慮到學生后繼學習及完善知識結構的實際需要，分組分解法和十字相乘法也應當成為學生了解和熟悉的內(nèi)容.事實上，如果教師組織學生將前面探討的兩個多項式相乘的幾種情況和因式分解的幾種方法放在一起進行對比分析，學生會不禁驚訝地發(fā)現(xiàn)，一種情況對應一種方法，兩者互為相反方向的變形.具體內(nèi)容如下表：

多項式乘法的情況因式分解的方法一般形式聯(lián)系該表借鑒單元教學設計的思路，試圖改變根據(jù)因式分解的方法進行孤立教學的方式，將多項式乘法的情形與因式分解的方法一一對應起來，清晰地呈現(xiàn)了兩者的聯(lián)系，體現(xiàn)了教學內(nèi)容的整體性和綜合性.學生頭腦中的知識結構由此形成，同時整體綜合和靈活敏捷的思維品質獲得了提升.

二、平行四邊形

（一）教材內(nèi)容分析

平行四邊形是初中數(shù)學“圖形與幾何”模塊的核心內(nèi)容之一，主要包括一般的平行四邊形和特殊的平行四邊形（矩形、菱形、正方形）.筆者翻閱人教版和北師版教材與之相關的章節(jié)內(nèi)容，并進行對比分析，總結成下表：

由表格可獲知，盡管兩版本教材在某些方面存在一定差異，但總體內(nèi)容均按照由一般平行四邊形到特殊平行四邊形的順序編排.換而言之，只有當介紹完一般平行四邊形的性質和判定之后，才能緊接著介紹某個特殊的平行四邊形，以此類推，這樣存在的一個弊端是容易將研究對象（平行四邊形、矩形、菱形、正方形）人為地割裂開來，進而導致各對象間的邏輯結構聯(lián)系不夠密切，不利于學生形成系統(tǒng)的知識結構.筆者認為，為了彌補這種不足，教師在實際教學中應酌情加以改進，以豐富完善學生的知識結構.

（二）教學改進策略和建議

眾所周知，三角形的兩個要素分別是邊和角，故可以按照內(nèi)角大小將三角形分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，也可以按照邊長的關系將三角形分為三邊不等的三角形、底和腰不等的等腰三角形以及等邊三角形.同理，四邊形的要素有角、邊和對角線，倘若教師引導學生抓住某個要素對幾類特殊的四邊形（含梯形）的性質進行總結，相信學生對幾類特殊四邊形之間的關系將產(chǎn)生更深刻的理解和認識.

以“邊”這個要素為例，四邊形通常討論對邊和鄰邊，任意四邊形都有兩組對邊和四組鄰邊.無論是一組對邊還是一組鄰邊，通常需要探討它的位置關系和數(shù)量關系，在位置關系中最特殊的便是平行和垂直，在數(shù)量關系中最特殊的便是相等.基于以上考慮，常見的特殊四邊形的性質歸納如下：

三、總 結

由上述舉例分析可見，盡管教材呈現(xiàn)出數(shù)學知識間的邏輯順序，并在章末給出相應的知識結構圖，但作為教師，如果過分依賴教材，不能在吸收教材合理因素的基礎上進行再創(chuàng)造，將不利于對教學內(nèi)容整體性的把握.事實上，教師在教學實施時，應對教材內(nèi)容進行深度挖掘和加工，盡可能闡釋教材沒有或未能呈現(xiàn)的內(nèi)在前后邏輯結構聯(lián)系，以期幫助學生把握數(shù)學內(nèi)容的本質，完善學生的知識結構，最終實現(xiàn)學生的有效學習.

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