一道橢圓聯(lián)賽題的探究與拓展*

北京市第十二中學高中部(100071)劉 剛

題目(2018年全國高中數(shù)學聯(lián)賽B 卷)如圖1所示,在平面直角坐標系xOy 中,A、B 與C、D 分別是橢圓的左、右頂點與上、下頂點.設(shè)P,Q 是橢圓Γ 上且位于第一象限的兩點,滿足OQ//AP,M是線段AP 的中點,射線OM 與橢圓交于點R.證明：線段OQ,OR,BC 能構(gòu)成一個直角三角形.

圖1

試題以橢圓為背景,考查了橢圓的標準方程、幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系以及轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想,檢驗了運算與求解、分析問題與解決問題的能力.試題平中見奇,內(nèi)涵豐富,解法多樣,符合新課標理念,是一道不折不扣的好題.

1 證法探究

證法1設(shè)點P 的坐標為(x0,y0),由于故存在實數(shù)λ,μ,使得

此時點Q,R 的坐標可分別表示為(λ(x0+a),λy0),(μ(x0-a),μy0),由于點Q,R 都在橢圓Γ 上,所以

從而線段OQ,OR,BC 能構(gòu)成一個直角三角形.

點評該證法由命題組提供,在解決過程中以向量為工具,先是根據(jù)向量的位置關(guān)系以及從而表示出點Q,R的坐標,然后代入橢圓方程進行整體替換處理,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想以及坐標法的運用.

證法2設(shè)Q(x1,y1),P(x2,y2),M(x0,y0),因為P 在橢圓Γ 上,所以所以由此得

從而線段OQ,OR,BC 能構(gòu)成一個直角三角形.

點評證法先設(shè)出點Q,P,M 的坐標,然后根據(jù)P,Q 在橢圓Γ 上以及M 是線段AP 的中點得出直線OR 的方程,接下來與橢圓方程聯(lián)立得到了|并與|OQ|2=x21+y21相加完成解答,體現(xiàn)了設(shè)而不求的思想以及過程的簡潔性.

證法3因為P 在橢圓Γ 上,所以設(shè)P(a cos α,b sin α),由M 是線段AP 的中點,得所以O(shè)M 的方程為聯(lián)立,得

由此得

從而線段OQ,OR,BC 能構(gòu)成一個直角三角形.

點評證法借助橢圓的參數(shù)方程先表示出點P 的坐標,然后進一步表示出直線OM 與OQ 的方程,并分別與橢圓的方程聯(lián)立,得到了|OR|2與|OQ|2,由此將問題解決.參數(shù)法是破解橢圓有關(guān)問題的利器,尤其是最值或取值范圍問題,因此在解題時應給予重視.

2 拓展

由解法2,3 可以得出OQ,OR 的斜率之積kOQ·kOR=這與橢圓的共軛直徑有關(guān),下面介紹橢圓共軛直徑的概念及相關(guān)性質(zhì).

定義連結(jié)橢圓上任意兩點的線段叫做弦,過橢圓中心的弦叫做直徑,平行于直徑CD 的弦的中點的軌跡AB 和直徑CD 稱為共軛直徑.

橢圓的共軛直徑有如下常見性質(zhì).

性質(zhì)1如圖2,已知橢圓的兩條弦CD,EF 互相平行,其中弦CD 過橢圓中心O,弦EF的中點為G,直線OG 與橢圓交于A,B 兩點,設(shè)A(x1,y1),C(x2,y2),則

證明設(shè) E(x3,y3),F(x4,y4),G(x0,y0),則二者作差得 當x23-x24/0 時,即于是所以即kCD·由此得故當x23-x24=0 時,經(jīng)過驗證也滿足綜上,

圖2

注當一對共軛直徑所在直線的斜率都存在時,它們的斜率之積為當一直徑所在直線斜率為0,另一直徑所在直線斜率不存在.

性質(zhì)2已知AB、CD 是橢圓的一對共軛直徑,若A(x1,y1),C(x2,y2),則(1)x21+x22=a2；(2)y21+y22=b2；(3)|OA|2+|OC|2=a2+b2.

證明(1)因為A(x1,y1),C(x2,y2)在橢圓1 上,所以

即

由 ③× ④,得b4(x21-a2)(x22-a2)= a4y21y22.因為AB、CD 是橢圓的一對共軛直徑,由性質(zhì)1,所以0,即a4y21y22=b4x21x22,所以b4(x21-a2x22-a2=b4x21x22,故x21+x22=a2.

(2)由(1)問證明知,①+②,得b2(x21+x22)+a2(y12+y22)=2a2b2,將x21+x22=a2代入,得y12+y22=b2.(3)因為|OA|2+|OC|2=x21+y21+x22+y22,將x21+x22=a2,y21+y22=b2代入,所以|OA|2+|OC|2=a2+b2.

高考題與競賽題都是集體智慧的結(jié)晶,在研究這些試題時,不能僅僅停留在會解的層面上,還應多反思題目是否有其他的解法? 能否將試題進行變式? 試題的本質(zhì)是什么? 只有這樣才能將試題的價值最大化,從而更好地引導教學.