系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律在連接體模型中的應(yīng)用

四川

連接體是由若干個(gè)物體通過輕繩、輕桿等連接起來的系統(tǒng)，其涉及相互作用的物體多、受力和運(yùn)動(dòng)情況復(fù)雜，因此該類問題綜合性較強(qiáng)，解決此類問題除了運(yùn)用整體、隔離法外，還可以用系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律求解。下面筆者從以下三種模型進(jìn)行探討。

一、速率相等的連接體模型

該模型的特點(diǎn)是兩個(gè)物體通過不可伸長的輕繩連接，其速度方向均沿著繩且兩物體速率相等。這種模型中單個(gè)物體機(jī)械能一般不守恒，但是系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。

圖1

【例1】如圖1所示，物塊A和B通過一根輕質(zhì)不可伸長的細(xì)繩連接，跨放在質(zhì)量不計(jì)的光滑定滑輪兩側(cè)，質(zhì)量分別為mA=2 kg、mB=1 kg。初始時(shí)A靜止于水平地面上，B懸于空中。先將B豎直向上舉高h(yuǎn)=1.8 m(未觸及滑輪)然后由靜止釋放，一段時(shí)間后細(xì)繩繃直，A、B以大小相等的速度一起運(yùn)動(dòng)，之后B恰好可以和地面接觸。取g=10 m/s2，空氣阻力不計(jì)。求：

(1)B從釋放到細(xì)繩剛繃直時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；

(2)A的最大速度v的大??；

(3)初始時(shí)B離地面的高度H。

【答案】(1)t=0.6 s (2)v=2 m/s (3)H=0.6 m

(2)設(shè)細(xì)繩繃直前瞬間B速度大小為vB，則vB=gt=6 m/s。又因?yàn)榧?xì)繩繃直瞬間，張力遠(yuǎn)大于A、B的重力，所以系統(tǒng)動(dòng)量近似守恒，故mBvB=(mA+mB)v，解得A、B的速度v=2 m/s。然后A、B一起做勻減速運(yùn)動(dòng)，v=2 m/s即為A的最大速度。

【點(diǎn)評】(1)細(xì)繩繃緊的瞬間系統(tǒng)動(dòng)量近似守恒，但機(jī)械能不守恒。細(xì)繩繃直后A、B一起運(yùn)動(dòng)，A、B兩物塊組成的系統(tǒng)只有動(dòng)能與重力勢能之間的轉(zhuǎn)化，所以系統(tǒng)機(jī)械能守恒。(2)選擇表達(dá)式ΔE減=ΔE增進(jìn)行求解，這樣可以不必選擇零勢能參考平面，給解題帶來了方便。

二、分速度相等的連接體模型

該模型的特點(diǎn)是A、B兩個(gè)物體通過輕繩(或輕桿)相連，其中A物體的速度方向不沿繩(或桿)，B物體的速度方向沿繩(或桿)，我們可以將A物體的速度進(jìn)行正交分解，這樣其沿繩(或桿)的分速度大小就與B物體的速率相等了。這種模型中單個(gè)物體機(jī)械能一般也不守恒，但是A、B系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。

【例2】如圖2所示，有一半徑為R的半圓形圓柱面MPQ，質(zhì)量為2m的球A與質(zhì)量為m的球B用不可伸長輕繩連接后掛在圓柱面邊緣，現(xiàn)將球A從邊緣M點(diǎn)靜止釋放，若不計(jì)一切摩擦，求：球A沿圓柱面滑到最低點(diǎn)P時(shí)速度大小及此時(shí)球B的速度大小。

圖2

圖3

因?yàn)锳、B系統(tǒng)只有重力做功，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，由ΔE減=ΔE增列出方程

【點(diǎn)評】該題目中很多學(xué)生錯(cuò)誤地認(rèn)為vA=vB，其實(shí)它們并不相等。由運(yùn)動(dòng)的合成與分解可知，球A在P點(diǎn)沿水平方向的運(yùn)動(dòng)是合運(yùn)動(dòng)，沿繩的運(yùn)動(dòng)是它的一個(gè)分運(yùn)動(dòng)，該分運(yùn)動(dòng)的速度大小與球B的速度大小相等。

【例3】如圖4所示，滑塊a、b的質(zhì)量均為m，a套在固定直桿上，與光滑水平地面相距h，b放在地面上，a、b通過鉸鏈用剛性輕桿連接。不計(jì)摩擦，a、b可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度大小為g。則

( )

A.a落地前輕桿對b一直做正功

C.a下落過程中，其加速度大小始終不大于g

D.a落地前，當(dāng)a的機(jī)械能最小時(shí)，b對地面的壓力大小為mg

圖4

圖5

【答案】BD

(2)通過第(1)問的分析可知，b物體的速度先增大后減小，所以輕桿對b先做正功，后做負(fù)功，故A錯(cuò)誤。

(3)因?yàn)閍、b和桿組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，所以a落地前當(dāng)a的機(jī)械能最小時(shí)，b的機(jī)械能最大，速度最大，輕桿對它的作用力為0，故b對地面的壓力大小為mg。當(dāng)然輕桿對a的作用力也為0，所以a的加速度為g，C錯(cuò)誤，D正確。

【點(diǎn)評】(1)該題是通過輕桿連接的系統(tǒng)，a沿桿豎直向下運(yùn)動(dòng)，b沿地面水平向右運(yùn)動(dòng)，兩物體的速度不相等，但是它們沿桿的分速率是相等的，這是解決問題的關(guān)鍵。(2)當(dāng)b物體的速度最大時(shí)，b的加速度為0，所受合力為0，則輕桿對b的作用力也為0，這是解答該題的又一個(gè)關(guān)鍵。

三、角速度相等的連接體模型

該模型的特點(diǎn)是兩個(gè)物體通過剛性輕桿連接，因?yàn)樗鼈冊诶@同軸轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中在相等時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度相等，所以這兩個(gè)物體的角速度是相等的。這種模型中單個(gè)物體機(jī)械能也不守恒，但是系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。

圖6

【例4】如圖6所示，長為2L的輕桿OB，O端裝有轉(zhuǎn)軸，B端固定一個(gè)質(zhì)量為m的小球B，OB中點(diǎn)A固定一個(gè)質(zhì)量為m的小球A，若OB桿從水平位置靜止釋放，則在它轉(zhuǎn)到豎直位置的過程中，求：

(1)A、B球擺到最低點(diǎn)的速度大小分別是多少？

(2)輕桿對A、B球所做的功分別是多少？

(3)輕桿對A、B球做的總功是多少？

【錯(cuò)因分析】上述解法錯(cuò)誤地認(rèn)為輕桿對小球的作用力沿著桿的方向，對A、B兩個(gè)小球不做功。事實(shí)上輕桿在向下擺動(dòng)的過程中，輕桿對小球的彈力并沒有沿著桿的方向，輕桿對小球是做了功的，所以A與地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能不守恒，同樣B與地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能也不守恒。

【正解】(1)選A、B和地球?yàn)橄到y(tǒng)，系統(tǒng)中只有動(dòng)能與重力勢能發(fā)生了相互轉(zhuǎn)化，故系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則

又因?yàn)閮尚∏虻慕撬俣认嗟?/p>

假設(shè)輕桿對A球做功為WA，由動(dòng)能定理得

同理，假設(shè)輕桿對B球做功為WB，由動(dòng)能定理得

(3)輕桿對A、B球所做的總功W=WA+WB=0。

【點(diǎn)評】該題輕桿對小球A做負(fù)功，對小球B做正功，輕桿對小球的作用力并沒有沿桿的方向，輕桿的作用是實(shí)現(xiàn)A球與B球之間機(jī)械能的傳遞。

綜上，用系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律求解連接體問題時(shí)，其解題的策略有：

(1)選系統(tǒng)并判定系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒。

(2)選公式。機(jī)械能守恒定律常用的有三種表達(dá)式：①E1=E2(系統(tǒng)的初、末機(jī)械能相等)；②ΔEk=-ΔEp(系統(tǒng)動(dòng)能的增量等于系統(tǒng)勢能的減少量)；③ΔEA=-ΔEB(系統(tǒng)由兩個(gè)物體組成時(shí)，A的機(jī)械能增量等于B的機(jī)械能減少量)。其中①式必須選擇零勢能參考平面，顯得有些繁瑣；②、③兩式可不必選擇零勢能參考平面，且可統(tǒng)一成ΔE減=ΔE增，更顯簡潔、方便。