以《事件的獨(dú)立性》教學(xué)設(shè)計(jì)為例， 談數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

熊慧玲

[摘 ?要] 核心素養(yǎng)背景下，高中數(shù)學(xué)教學(xué)案例的設(shè)計(jì)，需要將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六大要素，與具體的教學(xué)環(huán)節(jié)聯(lián)系起來，思考每一個(gè)環(huán)節(jié)可能對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育起著什么樣的作用. “事件的獨(dú)立性”是高中數(shù)學(xué)概率知識(shí)的重要組成部分，與學(xué)生的生活具有一定的聯(lián)系. 從具體的實(shí)例中進(jìn)行抽象，然后通過邏輯推理建立模型，并在問題解決的過程中強(qiáng)化知識(shí)理解，是有效構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)，實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)落地的重要途徑.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);核心素養(yǎng);教學(xué)案例設(shè)計(jì);事件的獨(dú)立性

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（征求意見稿）明確指出：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中逐步形成的. 高中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析. 這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既有獨(dú)立性，又相互交融，形成一個(gè)有機(jī)整體[1]. 從理論的角度來看，高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是自洽的，符合邏輯的，這一點(diǎn)毋庸置疑. 而從實(shí)踐的角度來看，一線教師最關(guān)心的是高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)如何從理論變成可操作的步驟. 很顯然，這個(gè)步驟首先體現(xiàn)在教師的教學(xué)設(shè)計(jì)上，而根據(jù)筆者的經(jīng)驗(yàn)，在理解一個(gè)新的學(xué)習(xí)理論的時(shí)候，最佳的方式就是選擇一個(gè)案例進(jìn)行深度研究，在研究的過程當(dāng)中不斷地吸納理論知識(shí)，不斷地對(duì)可能發(fā)生的教學(xué)實(shí)際情況進(jìn)行預(yù)測(cè)，這樣往往能夠促進(jìn)對(duì)理論的理解，也能夠?qū)?shí)踐產(chǎn)生真正的指導(dǎo)作用. 我們僅以高中數(shù)學(xué)“事件的獨(dú)立性”教學(xué)案例的設(shè)計(jì)為例，談?wù)劰P者的思考.

■以生為本，理解數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

核心素養(yǎng)是面向?qū)W生的核心素養(yǎng)，高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六大要素是面向?qū)W生需要的培養(yǎng)目標(biāo)，因此，在理解學(xué)科核心素養(yǎng)的時(shí)候，必須堅(jiān)持以生為本的教學(xué)理念. 只有確定了這一出發(fā)點(diǎn)，才能讓學(xué)科核心素養(yǎng)的培育落到實(shí)處. 高中數(shù)學(xué)是高中所有文化學(xué)科的基礎(chǔ)性學(xué)科，其對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、思維習(xí)慣，具有不可替代的作用. 高中數(shù)學(xué)事件的獨(dú)立性這一知識(shí)，與學(xué)生的生活有著密切的聯(lián)系，但是學(xué)生在生活當(dāng)中體驗(yàn)事件的獨(dú)立性的時(shí)候，往往是基于生活經(jīng)驗(yàn)而非嚴(yán)密的邏輯推理，因此，在學(xué)生學(xué)習(xí)這一知識(shí)的時(shí)候，是會(huì)遇到不少困難的. 有同行發(fā)現(xiàn)：有些學(xué)生特別容易混淆新舊概念，又因所求事件與已知事件相互關(guān)系較復(fù)雜，剛開始學(xué)習(xí)時(shí)很可能掉進(jìn)各事件間的“蜘蛛網(wǎng)”，茫然找不到頭緒[2]. 其實(shí)在筆者的教學(xué)當(dāng)中，也遇到過這種情況. 因此本節(jié)課的教學(xué)，很容易將教學(xué)的重心確定，即在梳理其邏輯關(guān)系以及概率知識(shí)上. 問題在于，如果只重視其中的邏輯關(guān)系以及概率知識(shí)，那么學(xué)生學(xué)習(xí)的時(shí)候會(huì)感覺十分的抽象，影響其學(xué)習(xí)興趣不說，其學(xué)習(xí)結(jié)果也不會(huì)很好.

在核心素養(yǎng)視角下，筆者發(fā)現(xiàn)本課的教學(xué)可以另外尋找一個(gè)重心，那就是學(xué)生的能力培養(yǎng)，或者說素養(yǎng)培養(yǎng). 盡管素養(yǎng)和能力不是同一個(gè)概念，但是在面向?qū)W生，想讓學(xué)生知道通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)可以獲得的一些素養(yǎng)的時(shí)候，不必過于強(qiáng)調(diào)能力與素養(yǎng)的區(qū)別. 也就是說對(duì)于學(xué)生而言，我們告訴他們是在為了培養(yǎng)他們的能力，而在教師的教學(xué)目的當(dāng)中，教師應(yīng)當(dāng)知道是為了培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng). 這就是“以生為本”理念的體現(xiàn).

從數(shù)學(xué)知識(shí)邏輯的角度來看，理解事件的獨(dú)立性，需要讓學(xué)生理清概念. 數(shù)學(xué)上將“事件的獨(dú)立性”定義為“一個(gè)事件的發(fā)生對(duì)另外一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響”，其概率公式為P（AB）=P（A）·P（B）. 其經(jīng)常與另外兩個(gè)事件進(jìn)行對(duì)比、學(xué)習(xí). 一是互斥事件——不可能同時(shí)發(fā)生（當(dāng)然有可能都不發(fā)生）的事件，其概率公式為P（A+B）=P（A）+P（B）;二是對(duì)立事件——兩個(gè)不可能同時(shí)發(fā)生的事件，而且是A事件發(fā)生的時(shí)候，B事件必不發(fā)生，反過來，B事件發(fā)生的時(shí)候，A事件必不發(fā)生，其概率公式為P（A+B）=P（A）+P（B）=1.

這樣的定義與比較，對(duì)于學(xué)生來說，絕大多數(shù)情況下是感覺到比較抽象的. 抽象的原因是因?yàn)閷W(xué)生的大腦當(dāng)中沒有形象的事件作為支撐. 因此，從核心素養(yǎng)培育的角度來看，這里的教學(xué)設(shè)計(jì)可以通過給學(xué)生提供形象事件的方法，讓學(xué)生對(duì)事件的獨(dú)立性的理解有表象可以支撐，同時(shí)還可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，而數(shù)學(xué)抽象正是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要組成部分;至于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的邏輯推理，在本內(nèi)容的教學(xué)當(dāng)中更是非常豐富;而建立起來的對(duì)事件的獨(dú)立性的理解，本身就可以作為一個(gè)數(shù)學(xué)模型在其他的場(chǎng)合使用. 因此在事件的獨(dú)立性這一內(nèi)容的教學(xué)中，數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模非常充分，而根據(jù)史寧中教授的觀點(diǎn)，有了這三個(gè)方面，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育就可以得到保證了.

■內(nèi)容導(dǎo)向，實(shí)現(xiàn)教學(xué)案例高效設(shè)計(jì)

確定了學(xué)生是學(xué)習(xí)的根本，那么在事件的獨(dú)立性這一教學(xué)中，教學(xué)設(shè)計(jì)需要堅(jiān)持的另一個(gè)思路，就是內(nèi)容導(dǎo)向. 也就是根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生的邏輯去設(shè)計(jì)教學(xué)，當(dāng)然，這一設(shè)計(jì)過程中，對(duì)學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的把握是不可缺少的. 實(shí)際上這一點(diǎn)早就有人提出，比如有人認(rèn)為：將高中數(shù)學(xué)的“六大核心素養(yǎng)”培育有效地融入數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程中，落實(shí)到教育的主體（學(xué)生）身上，成為目前數(shù)學(xué)教學(xué)亟待解決的重要工作，甚至可以說是教育教學(xué)的核心工作[3]. 筆者在設(shè)計(jì)這一課的時(shí)候，重點(diǎn)設(shè)計(jì)了三個(gè)方面：

一是幫學(xué)生回顧條件概率的知識(shí). 實(shí)踐表明，在概率知識(shí)的學(xué)習(xí)中，如果忽視了對(duì)基礎(chǔ)的把握，那么學(xué)生構(gòu)建新的概率知識(shí)就比較困難了. 事件的獨(dú)立性這一知識(shí)的學(xué)習(xí)與條件概率的知識(shí)有著密切的關(guān)系，所以必須讓學(xué)生非常熟悉條件概率. 關(guān)于這一點(diǎn)，本文不再贅述.

二是給學(xué)生提供生活案例，讓學(xué)生去辨別分析. 筆者提供的例子有：在籃球比賽過程當(dāng)中，通常有罰球. 那“第一次罰球進(jìn)了”與“第二次罰球進(jìn)了”這兩個(gè)事件有沒有互相影響？在一個(gè)不透明的箱子當(dāng)中有三個(gè)顏色不同而其他都相同的球，其中兩個(gè)球是白球. 如果采用不放回的取球方式，那么“第一次任取一個(gè)球是白球”，與“第二次任取一個(gè)球是白球”，這兩個(gè)事件有沒有互相影響？在一個(gè)不透明的箱子當(dāng)中有三個(gè)顏色不同而其他都相同的球，其中兩個(gè)球是白球. 如果采用放回的取球方式，那么“第一次任取一個(gè)球是白球”，與“第二次任取一個(gè)球是白球”，這兩個(gè)事件有沒有互相影響？

這三個(gè)例子都是學(xué)生比較熟悉的例子，因而學(xué)生的思維容易加工，而在這個(gè)環(huán)節(jié)學(xué)生思維加工的時(shí)間短，就可以保證其可以將自己的注意力集中到對(duì)事件的互相影響的判斷上來，從而保證學(xué)生的思維圍繞“判斷兩個(gè)事件的相互獨(dú)立”而展開. 事實(shí)證明，學(xué)生基本上能夠做出正確的判斷，即第一種和第三種情況是互相獨(dú)立的，而第二種不是互相獨(dú)立的.

這樣的話，學(xué)生對(duì)“事件A是否發(fā)生對(duì)事件B是否發(fā)生的概率沒有影響”就容易產(chǎn)生理解，這種理解是不需要付出太多努力的，因?yàn)橛惺吕闹?，他們幾乎可用自己的直覺去進(jìn)行理解與判斷，這會(huì)進(jìn)一步理解獨(dú)立事件的性質(zhì)而奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 由于第一點(diǎn)對(duì)條件概率的知識(shí)進(jìn)行了回顧，這里建立P（AB）=P（A）P（B）也就不會(huì)遇到太多的困難.

三是理解相互獨(dú)立事件的性質(zhì). 實(shí)踐表明，對(duì)獨(dú)立事件的性質(zhì)的理解，可以在比較中進(jìn)行. 這涉及的事件通常有互斥事件、必然事件、不可能事件、任何事件，等等. 當(dāng)然，這里要注意的是，只有學(xué)生對(duì)其他事件相對(duì)比較熟悉的情況下，他們才能在比較的過程當(dāng)中更好地理解獨(dú)立事件的性質(zhì).

■問題解決，學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容精加工

問題解決是鞏固知識(shí)的重要途徑，問題解決也是核心素養(yǎng)體現(xiàn)的重要環(huán)節(jié)[4]. 在事件的獨(dú)立性這一內(nèi)容的教學(xué)中，筆者設(shè)計(jì)的問題也來源于生活. 比如，一個(gè)電子元件正常工作的概率r稱之為這個(gè)元件的可靠性，由多個(gè)元件組成的系統(tǒng)正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠性. 假如每個(gè)元件工作的可靠性都是0

（1） ■

（2） ■

（3） ■

這個(gè)例子具有學(xué)科融合的特征，需要學(xué)生通過邏輯推理去判斷各個(gè)系統(tǒng)的組成形式，進(jìn)而思考事件獨(dú)立性的性質(zhì)，在本問題的解決當(dāng)中起著什么樣的作用. 當(dāng)學(xué)生能夠?qū)⑹录莫?dú)立性的限制與此問題解決進(jìn)行良好的結(jié)合時(shí)，通常可以認(rèn)為學(xué)生的邏輯推理是成功的，對(duì)事件的獨(dú)立性這一數(shù)學(xué)模型的掌握是成功的.

總的來說，學(xué)科核心素養(yǎng)背景下設(shè)計(jì)高中教學(xué)案例，需要將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要素與具體的教學(xué)內(nèi)容對(duì)應(yīng)起來，然后重點(diǎn)設(shè)計(jì)培育這些素養(yǎng)內(nèi)容的環(huán)節(jié)，做到這一點(diǎn)，就邁開了核心素養(yǎng)培育的第一步.

參考文獻(xiàn)：

[1] ?張先龍，肖凌戇. 基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計(jì)——以函數(shù)的單調(diào)性新授課為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（z1）.

[2] ?趙蘇琴. 找準(zhǔn)目標(biāo) 對(duì)癥下藥——談怎樣理解事件的獨(dú)立性[J]. 新高考：高二數(shù)學(xué)，2015（04）.

[3] ?莊志剛，于鶯彬. 基于高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計(jì)研究與實(shí)踐[J]. 數(shù)學(xué)通訊，2017（24）.

[4] ?胡先富. 事件獨(dú)立性的教學(xué)中應(yīng)該注意的兩個(gè)問題[J]. 數(shù)學(xué)通訊，2003（23）.