俞雪梨
摘要:假設檢驗有雙側檢驗和單側檢驗之分,實際應用的過程中,通常把假設檢驗的實施流程化,而沒有去深究實施流程邏輯上的嚴密性。文章研究了單側檢驗中的這個邏輯問題,使得單側檢驗的實施流程更加嚴密。
關鍵詞:假設檢驗;單側檢驗;邏輯嚴密
中圖分類號:G642.0 文獻標志碼:A 文章編號:1674-9324(2019)31-0195-02
一、假設檢驗的基本流程
高等金融類院校和工科院校均開設了“統(tǒng)計學”這門核心課程,其中假設檢驗由于廣泛應用于金融、生物技術、教育學、心理學等多個領域,因而備受重視,與此同時,該部分內容涉及比較深的統(tǒng)計思想,因而也是教學中的難點。為了降低學生學習的難度,在教學過程中,通常把假設檢驗的流程程序化和步驟化,一般總結為以下幾個步驟。
第一步:提出原假設H和備擇假設H;第二步:確定檢驗統(tǒng)計量;第三步:根據(jù)顯著性水平,確定拒絕域;第四步:計算檢驗統(tǒng)計量的實現(xiàn)值;第五步:驗證第四步檢驗統(tǒng)計量的實現(xiàn)值是否掉入拒絕域,得出結論。
下面用一個例子來說明這五個步驟的實施。
例1:某大學所有學生都擁有手機,一年前,所有學生每月的手機話費支出的均值為100元。一年之后的現(xiàn)在,從該校所有學生中隨機抽取100名同學進行調查,發(fā)現(xiàn)他們每月的手機話費支出的均值為110元,標準差為30元。據(jù)此,在顯著性水平為α=0.05下能否認為所有學生每月的手機話費均值已不同于一年以前?
解:第一步:依題意,如果用μ代表現(xiàn)在所有學生每月話費的均值,一年前話費均值μ=100元,原假設為H:μ=μ=100,備擇假設是原假設的對立面,即為H:μ≠100元。第二步:考慮到總體標準差σ未知,并且樣本容量很大,使用z=N(0,1)作為檢驗統(tǒng)計量。第三步:當X的值太大或者太小,與檢驗值100差距很大時,是小概率事件,此時檢驗統(tǒng)計量
Z=~N(0,1)將會是一個很小的負數(shù)或是一個很大的正數(shù),結合顯著性水平α=0.05,說明這兩塊區(qū)域的面積加起來要等于0.05,查正態(tài)分布的分位數(shù)表可得,右邊的分位點為1.96,由于對稱性,左邊的分位點為-1.96,即拒絕域為z>1.96或z<-1.96(如圖1)。第四步:將樣本數(shù)據(jù)及原假設成立時μ=μ=100代入計算檢驗統(tǒng)計量的實現(xiàn)值,得z===
3.33。第五步:由于3.33>1.96,掉入右側拒絕域,因此拒絕原假設H,認為現(xiàn)在該校所有學生每月話費的均值已不同于一年以前的100元。
二、單側檢驗中存在的問題
例2:在例1中,抽取到的這100名學生每月的手機話費支出的均值為110元,比一年前所有學生每月手機話費均值100元是有所提高的,一個很自然的問題是,在顯著性水平為α=0.05下,能否認為所有學生每月的手機話費均值比一年以前有顯著的提高?
解:第一步:顯然這是屬于單側假設檢驗問題,原假設為H:μ≤100元,備擇假設為H:μ>100元。第二步,檢驗統(tǒng)計量仍然為z=N(0,1)。第三步:原假設是H:μ≤100,樣本均值反映了總體均值的真實情況,當?shù)闹堤?,比檢驗值100大很多時,是在原假設成立時不太可能發(fā)生的小概率事件,此時依據(jù)小概率原理,我們將得出拒絕原假設的結論。因此拒絕域只在右邊,考慮到顯著性水平為0.05,查表得臨界值為1.6449,拒絕域為z>1.6449。第四步:代入計算得檢驗統(tǒng)計量的實現(xiàn)值z===3.33。第五步:由于3.33>1.6449,掉入拒絕域,拒絕原假設H,即可以認為現(xiàn)在該校所有同學每月話費的均值比一年以前的100元有顯著的提高。
大家在使用上述步驟時,幾乎是“天經(jīng)地義”,沒有誰去質疑它的邏輯嚴密性。問題出在哪里呢?在第四步中,在原假設成立的時候,計算檢驗統(tǒng)計量的實現(xiàn)值,為什么代入μ=μ=100進行計算呢?事實上,原假設μ≤100中μ不僅可以等于100,還可能是≤100的任何一個值。為什么只需要代入端點值μ=100進行判斷就可以了呢?
三、單側檢驗中邏輯問題的解決
事實上,在做假設檢驗時,把需要收集證據(jù)驗證的假設放在備擇假設的位置上,要求在得出備擇假設是對的結論(即拒絕原假設)時,要有足夠的證據(jù)(小概率事件發(fā)生了)。由于檢驗統(tǒng)計量z=是一個關于μ的遞減函數(shù),因此當μ=μ=100算出的檢驗統(tǒng)計量大于拒絕域,從而得出拒絕原假設的結論時,把μ<100代入計算得到的檢驗統(tǒng)計量將更大,就一定會掉入拒絕域中,同樣能夠保證拒絕原假設時證據(jù)的充分性。因此,在進行單側檢驗的時候,計算檢驗統(tǒng)計量的實現(xiàn)值時只需把端點的值代入計算。
因為pπ<<π,pπ
0,因而Z′(π)<0,因此Z(π)是一個單調遞減函數(shù),這就保證了在總體比例的單側檢驗中,假設檢驗流程的第四步,可以使用原假設的臨界點代入計算檢驗統(tǒng)計量的實現(xiàn)值。
參考文獻:
[1]叢凌博.假設檢驗的啟發(fā)式教學方法研究[J].價值工程,2012,(6):273.