基于改進(jìn)Arnold 映射二次置亂的圖像加密算法?

胡春杰 嵇海祥 牛智星 阮 聰 陳 翠

（1.江蘇南水科技有限公司 南京 210012）（2.水利部南京水利水文自動化研究所 南京 210012）（3.水利部水文水資源監(jiān)控工程技術(shù)研究中心 南京 210012）

1 引言

隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的不斷發(fā)展及普及，信息安全與存儲問題越來越突出。數(shù)字圖像因其形象、直觀與生動等特點(diǎn)，成為人們多媒體交流的重要傳輸介質(zhì)之一。為了確保圖像在傳輸過程中的安全，最有效的方法就是對數(shù)字圖像進(jìn)行加密，圖像加密成為信息安全領(lǐng)域中一個重要的研究熱點(diǎn)。數(shù)字圖像可以看成二維的序列，其數(shù)據(jù)量比文本大的多。傳統(tǒng)的分塊加密方法，加密效率比較低，不再適用于圖像加密［1～2］。而混沌系統(tǒng)對初值敏感性、偽隨機(jī)性等特征，可以產(chǎn)生多變復(fù)雜的偽隨機(jī)序列，使得其應(yīng)用到圖像加密中非常契合。近年來，眾多學(xué)者將混沌加密思想引入到圖像加密中，越來越受到歡迎［3～8］。

文獻(xiàn)［9］提出了經(jīng)典的基于“置亂—擴(kuò)散”的圖像加密結(jié)構(gòu)，取得了不錯的加密效果。文獻(xiàn)［10］先利用三維的貓映射對圖像的置亂進(jìn)行置亂，再通過Logistic 映射對圖像的像素值進(jìn)行替代加密，算法實(shí)現(xiàn)簡單、執(zhí)行時間短等優(yōu)點(diǎn)，但不能抵抗選擇明文攻擊。文獻(xiàn)［11］利用一維Logistic混沌映射對圖像像素位置進(jìn)行置換，再用Logistic 混沌映射進(jìn)行像素值置亂，達(dá)到圖像雙重加密的效果，但由于單一的混沌映射加密，其算法密鑰空間小，不能有效抵御窮舉攻擊。文獻(xiàn)［12］提出了一種高效率的分塊圖像置亂算法，提高了加密的效率，但是沒有解決Arnold變換周期問題，當(dāng)攻擊者破譯擴(kuò)散加密過程后，對置亂加密的破譯就簡單多了。

綜合上述，本文提出一種基于改進(jìn)Arnold映射二次置亂的圖像加密算法。首先結(jié)合Logistic映射和改進(jìn)的Arnold 映射先進(jìn)行圖像全局置亂再進(jìn)行圖像分塊置亂，達(dá)到了圖像二次置亂的效果，再將置亂圖像中各個像素和前面相鄰的像素進(jìn)行位異或運(yùn)算、交叉換位等操作，最終得到加密圖像。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，該算法解決了Arnold變換置亂效果差和周期性的問題，并且可以有效地抵御各種統(tǒng)計攻擊。

2 理論知識

2.1 Arnold映射的改進(jìn)

Arnold 映射［13］是在遍歷理論的研究中提出的一種非線性映射，其方程公式定義如下:

其中（x，y）為明文圖像的像素點(diǎn)，(x?,y?)為置亂后圖像的像素點(diǎn)。參數(shù)a，b 均為正整數(shù)，N 是圖像矩陣的階數(shù)。將式（1）寫成方程組的表達(dá)式為

為了加強(qiáng)圖像置亂的效果，對方程進(jìn)行非線性化處理，改進(jìn)的方程表達(dá)式為

2.2 參數(shù)的設(shè)置

傳統(tǒng)的Arnold映射具有周期性，在圖像位置置亂時參數(shù)沒有發(fā)生改變，經(jīng)過一定次迭代后會恢復(fù)出原始明文圖像。對于大小不同的圖像，其變換周期也是不一樣的，如表1 所示。當(dāng)攻擊者破解圖像像素值替換與改變過程后，置亂階段的破解就比較容易了，因此傳統(tǒng)的Arnold 映射安全性不高，易破譯。

表1 不同階數(shù)N下的變換周期

為了解決上述Arnold 映射置亂安全性差的問題，引入Logistic 映射生成控制參數(shù)a，b，這樣產(chǎn)生的Arnold 置亂矩陣不再具有周期性。Logistic 映射方程表達(dá)式如式（4）所示:

其中當(dāng)3.5699＜μ ≤4 時系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。Arnold映射控制參數(shù)的具體過程如下［14］:

1）將式（4）方程迭代 300 次，減少暫態(tài)效應(yīng)帶來的不好影響。

2）生成Logistic 序列仔通過式（5）產(chǎn)生Arnold映射控制參數(shù)。

3 算法設(shè)計

設(shè)原始明文圖像A 大小為m*n，圖像加密算法的流程圖如圖1所示。

圖1 圖像加密流程圖

3.1 像素值位置置亂

3.1.1 全局置亂

1）通過產(chǎn)生控制參數(shù)生成Arnold 映射混沌置亂方程，并對原始明文圖像A 進(jìn)行一次像素置亂變換。

2）重復(fù)步驟1）操作n1輪，得到置亂圖像B。

3.1.2 圖像分塊置亂

將置亂后的圖像B分解成大小為n*n 圖像塊，每塊中有m*m 個像素點(diǎn)，可以用矩陣形式表示如下:

其中Bij為n*n矩陣，i,j=1,2,…m，將每個分塊圖像看成一個整體，然后對其進(jìn)行置亂，得到相應(yīng)的混亂的圖像塊，達(dá)到了圖像二次置亂的效果，重復(fù)n2 輪直至每塊圖像的置亂完成，最終得到置亂圖像C。

3.2 圖像像素值的改變

首先對置亂圖像C 中每個像素和它前面相鄰的像素進(jìn)行按位異或運(yùn)算，然后對其異或運(yùn)算的結(jié)果進(jìn)行像素值的交叉換位，得出最終加密圖像。其主要步驟如下:

1）設(shè)置亂圖像C的第一個像素的灰度值為C（1）與255 進(jìn)行異或，得到 C?(1)，再對 C?(1)進(jìn)行交叉換位，得到Q（1）。具體的換位操作如圖2所示。

圖2 交叉換位示意圖

圖 2中的 bit1，bit2，…，bit8 分別表示像素點(diǎn)灰度值的第 1，2，…，8 位。

2）置亂圖像C 的第二個像素的灰度值C（2）與Q（1）進(jìn)行異或操作，得到 C?(2)，再對 C?(1)進(jìn)行交叉換位，得到Q（2）。

3）依次將圖像的每個灰度值 C（i）與 Q（i-1）進(jìn)行異或，得到 C?(i)；依據(jù)交叉換位規(guī)則得到Q（i）。最后將一維Q（i）換成圖像D，即得到最終加密圖像D。

3.3 解密算法

解密過程為加密過程的相反過程，只要得到正確的密鑰條件下，按照加密過程的相反操作處理就可以恢復(fù)得到原始明文圖像。

4 仿真結(jié)果

本文算法采用在Matlab7.0 平臺下進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，硬件壞境為系統(tǒng)Win7，處理器為i5，內(nèi)存4G 的PC 機(jī)。設(shè)置Logistic 映射初始值 x0=0.35，μ =3.7；全局置亂次數(shù)n1=200，分塊置亂次數(shù)n2=200，運(yùn)行得到加密圖像，圖3（b）為全局置亂置亂圖，圖3（c）為先全局置亂再分塊置亂后得到的置亂圖像。

圖3 圖像加密與解密

5 算法分析

5.1 直方圖分析

圖4（a）為明文圖像的灰度直方圖，圖4（b）為密文圖像的灰度直方圖。從圖4 可以看出，原始明文圖像的像素點(diǎn)分布相當(dāng)不均勻，而密文圖像的像素點(diǎn)分布均勻平坦，有效地掩蓋了明文圖像的直方灰度信息，可以抵御圖像像素值的統(tǒng)計破譯。

圖4 加密前后的灰度直方圖

5.2 密鑰空間分析

在本文算法中，密鑰 key=（x0,μ,n1,n2），若仿真實(shí)驗(yàn)時計算機(jī)的壞境可以達(dá)到每個參數(shù)精度都有10-16，那么密鑰空間可達(dá)1064，以及加上置亂過程有兩個外層循環(huán)，因此想用使用窮舉攻擊破譯密文圖像，成功的概率是非常渺小的。

5.3 信息熵

信息熵可以衡量數(shù)字圖像中所包含信息的不確定性，圖像越是混亂，灰度值分布越均勻，其計算公式為

其中P(mi)是信源取第i 個符號mi的概率，由文獻(xiàn)［14］可知，一個理想的隨機(jī)圖像信息熵最大值為8。通過式（6）計算得到本文加密后圖像的信息熵為7.9900，與理論值8 非常接近，可以得出密文圖像灰度分布是均勻的，能夠有效地抵御熵攻擊。

5.4 相鄰像素點(diǎn)的相關(guān)性

一般情況下，一幅有實(shí)際意義的明文圖像包含了大量的冗余信息，其相鄰像素間相關(guān)性比較高。為了分析明文圖像和加密圖像的相關(guān)性，使用式（7）計算相關(guān)性:

式中n是像素點(diǎn)的個數(shù)；E（x）、E（y）分別是x、y的期望，cov（x，y）是 x，y 的協(xié)方差，r 是相鄰像素相關(guān)系數(shù)，現(xiàn)分別從在明文圖像和密文圖像中垂直、水平、對角線方向上隨便選取2000 對相鄰的像素點(diǎn)，圖5～圖7 分別是明文原始圖像和密文圖像在三個方向上的像素的分布情況。

圖5 垂直方向的相關(guān)性

由表2 可知，密文圖像的相鄰像素點(diǎn)相關(guān)性非常小，相關(guān)系數(shù)十分趨近于0。說明本算法具有良好的擴(kuò)散性能。與其他加密算法相比較［5～6，8］，本文加密算法的密文圖像的r 系數(shù)較小，破壞相關(guān)性更好。

圖6 水平方向的相關(guān)性

圖7 對角方向的相關(guān)性

表2 相鄰像素點(diǎn)的相關(guān)系數(shù)

5.5 差分攻擊分析

為了測試一個像素值的變化對算法整體加密結(jié)果的影響，采用兩種常見的措施［16］:像素變化率（NPCR）和統(tǒng)一平均變化程度（UACI）。NPCR 表示原始圖像一個像素發(fā)生改變時，該密文圖像的變化率。UACI用來測量原始圖像和密文圖像之間的平均變化程度。

6 結(jié)語

本文提出的是一種基于改進(jìn)Arnold 映射二次置亂的圖像加密算法，在置亂階段利用改進(jìn)Arnold映射進(jìn)行圖像置亂，不僅提高了圖像置亂效果，而且引入了Logistic 映射產(chǎn)生控制參數(shù)，很好地解決了Arnold 映射具有周期性帶來的安全性差的問題。全局置亂后再進(jìn)行分塊置亂，從而實(shí)現(xiàn)了對圖像二次置亂，充分地削弱了圖像的相關(guān)性，進(jìn)一步提高圖像的置亂度和置亂性能；最后再進(jìn)行相鄰像素間按位異或、交叉換位操作最終得到加密圖像。通過仿真表明，該算法置亂效果好，安全性較好，非常適合圖像的加密傳輸，具有良好的實(shí)用價值。