基于Matlab 的扇形環(huán)板軸向壓縮變形的偏微分方程數(shù)值求解?

潘莉英 曹 巖

（1.陜西省寶雞教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 寶雞 721004）（2.西安工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院 西安 710021）

1 引言

薄板是工程結(jié)構(gòu)中的一種常用構(gòu)件，它是由兩個(gè)平行面和垂直于它們的柱面所圍成的物體，幾何特征是其高度遠(yuǎn)小于底面尺寸。在縱向載荷和橫向載荷共同聯(lián)合作用時(shí)，由于板很薄，假定只發(fā)生在平行于中面的應(yīng)力，且這些應(yīng)力沿板的厚度是均勻的，此時(shí)微分平衡控制方程中不計(jì)撓度的非線(xiàn)性項(xiàng)，且沒(méi)有垂直于板面的載荷q（x，y）=0，得下式［1～6］:

圖1 縱向載荷和橫向載荷共同聯(lián)合作用下薄板的力學(xué)模型

此式即為直角坐標(biāo)系中復(fù)雜彎曲時(shí)的微分平衡控制方程。因此直角坐標(biāo)系中矩形板在縱向和橫向載荷聯(lián)合作用下失穩(wěn)的臨界載荷的確定只需求解式（1）即可。但是式（1）的嚴(yán)格求解是有困難的，當(dāng)邊界條件比較復(fù)雜、或者矩形板有不規(guī)則的幾何形狀，比如扇形板［7］。此時(shí)上式Px，Py，Pxy不再是常數(shù)，這樣常系數(shù)微分方程（1）將變?yōu)樽兿禂?shù)偏微分方程，從而導(dǎo)致無(wú)法獲得該方程的解析解［8～11］。

2 扇形環(huán)板撓曲數(shù)學(xué)模型的建立

在定解條件下（初始條件及邊界條件），求解變系數(shù)偏微分方程，針對(duì)面內(nèi)彎曲件的幾何形狀，可利用扇形環(huán)板的小撓度問(wèn)題近似。那么既滿(mǎn)足薄板小撓度的控制方程，又滿(mǎn)足某一問(wèn)題邊界條件的撓度函數(shù)，就是該問(wèn)題的解。在板所應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足的各種條件中（控制微分方程及邊界條件），可以根據(jù)問(wèn)題的具體情況，先找出能滿(mǎn)足其中一部分條件的撓度函數(shù)，其中留有待定系數(shù)（或函數(shù)），然后令其滿(mǎn)足（大多數(shù)情況下是近似滿(mǎn)足）余下的條件，以決定這些待定常數(shù)。如果能精確滿(mǎn)足余下的條件，則得到精確解，否則為近似解［12～16］。

2.1 扇形環(huán)板小撓度彎曲的數(shù)學(xué)模型的建立

設(shè)有扇形環(huán)板如圖2所示，中心角為θ0，k=π/θ0（k ?Z+），因此 θ0≤π ；內(nèi)圓半徑 a ，外圓半徑 b，板的直線(xiàn)邊簡(jiǎn)支，而弧邊的支座可由邊界條件最后決定。以該板的一個(gè)直線(xiàn)邊為柱坐標(biāo)的極軸基線(xiàn)，均布載荷P 均勻作用于該扇形環(huán)板面，因板服從D(?4w)=p(r,θ)，故設(shè)撓曲曲面方程為式（2）。

圖2 扇形環(huán)板小撓度彎曲的幾何模型

把式（2）代入下式（3），得式（4）。

把 p 化為三角級(jí)數(shù)，得

代入式（4），得

則式（6）的通解是如下:

該式含4 個(gè)待定系數(shù)A，B，C，G 根據(jù)弧形邊上的4個(gè)邊界條件決定。當(dāng)邊界條件確定時(shí)，則A，B，C，G可計(jì)算獲得，則扇形環(huán)板的撓曲形式也就確定。

2.2 扇形環(huán)板小撓度彎曲的邊界條件的數(shù)學(xué)處理方法

扇形環(huán)板的邊界條件為:對(duì)r=a 為簡(jiǎn)支邊，該邊無(wú)撓度，且該邊力矩為零。則有(ω)r=a=0(Mr)r=a=0。對(duì)r=a 為固定邊，雖然該邊受力的情況不明，但位移是可以確定的，即該邊無(wú)撓度，且中面法線(xiàn)沒(méi)有任何方向之轉(zhuǎn)角，則有(ω)r=a=0 ，=0。對(duì)r=a 為自由邊，該邊的位移情況不明，但確知什么力都不作用在此邊上，則有

3 不同邊界條件下扇形環(huán)板的撓曲面形貌

3.1 內(nèi)圓固支外圓簡(jiǎn)支扇形環(huán)板撓曲問(wèn)題的求解

設(shè)r=a為固支，r=b為簡(jiǎn)支，則有

對(duì)上面4個(gè)方程聯(lián)立求解，得出A，B，C，G 的顯式解的表達(dá)式，根據(jù)幾何參數(shù)和物理參數(shù)a=20，b=50，m=1，k=1.5，u=0.3，D=100，p=10000000。取 A5，B5，C5，G5，A7，B7，C7，G7，A9，B9，C9，G9共計(jì) 19 個(gè)值，代入通解表達(dá)式（7），取前5 項(xiàng)，在Matlab 中作撓度曲面圖如圖3所示。

圖3 當(dāng)r=a固支，r=b簡(jiǎn)支時(shí)扇形環(huán)板撓度曲面圖

3.2 其它8種邊界條件下的解

圖4 當(dāng)r=a簡(jiǎn)支，r=b固支時(shí)扇形環(huán)板撓度曲面

圖5 當(dāng)r=a簡(jiǎn)支，r=b自由時(shí)扇形環(huán)板撓度曲面

圖6 當(dāng)r=a自由，r=b簡(jiǎn)支時(shí)扇形環(huán)板撓度曲面

圖7 當(dāng)r=a簡(jiǎn)支，r=b簡(jiǎn)支時(shí)扇形環(huán)板撓度曲面

圖8 當(dāng)r=a自由，r=b自由時(shí)扇形環(huán)板撓度曲面

圖9 當(dāng)r=a固支，r=b固支時(shí)扇形環(huán)板撓度曲面

圖10 當(dāng)r=a固支，r=b自由時(shí)扇形環(huán)板撓度曲面

圖11 當(dāng)r=a自由，r=b固支時(shí)扇形環(huán)板撓度曲面

根據(jù)柱坐標(biāo)系下扇形環(huán)板的撓曲微分平衡控制方程的通解表達(dá)式，利用“數(shù)值法”獲得了該扇形環(huán)板在其它8 種邊界條件下的撓曲形貌。當(dāng)扇形板內(nèi)外緣邊界條件分別為，1）r=a簡(jiǎn)支，r=b固支；2）r=a 簡(jiǎn)支，r=b 自由；3）r=a 自由，r=b 簡(jiǎn)支；4）r=a 簡(jiǎn)支，r=b 簡(jiǎn)支；5）r=a 自由，r=b 自由；6）r=a 固支，r=b固支；7）r=a固支，r=b自由；8）r=a自由，r=b固支時(shí)，扇形環(huán)板撓度曲面圖如圖4～11。

4 結(jié)語(yǔ)

1）研究討論了直角坐標(biāo)系下矩形薄板在橫向載荷、縱向載荷、橫縱向載荷作用下板的小撓度撓曲微分平衡方程。

2）建立了基于柱坐標(biāo)系下扇形環(huán)板的撓曲微分平衡控制方程，并解得該四階微分方程的通解表達(dá)式如下:

并利用“數(shù)值法”獲得了該扇形環(huán)板在9 種邊界條件下的撓曲形貌。