一種改進(jìn)的進(jìn)化模型和混沌優(yōu)化的螢火蟲算法?

李肇基 程 科 王萬耀 崔慶華

（江蘇科技大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 鎮(zhèn)江 212000）

1 引言

螢火蟲算法（Firefly Algorithm，F(xiàn)A）是2008 年由Xin-She Yang［1］提出的一種元啟發(fā)式算法，其思想來源于螢火蟲的發(fā)光行為。螢火蟲會(huì)向亮度更強(qiáng)且更為靠近自己的螢火蟲移動(dòng)，通過這種方式進(jìn)行種群進(jìn)化，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)尋優(yōu)。目前，螢火蟲算法已成功應(yīng)用到數(shù)值優(yōu)化、工程技術(shù)、資源管理等領(lǐng)域［2～6］，并且表現(xiàn)出良好的性能和適應(yīng)性。與大多數(shù)隨機(jī)算法相同，傳統(tǒng)螢火蟲算法同樣存在后期收斂速度慢、易陷入局部最優(yōu)等缺點(diǎn)。

針對(duì)傳統(tǒng)算法的缺點(diǎn)，眾多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了研究與改進(jìn)。Gandomi［7］等用不同的混沌映射模型對(duì)光強(qiáng)吸收系數(shù)與吸引度系數(shù)進(jìn)行混沌映射，實(shí)驗(yàn)證明正弦映射與高斯映射能有效提高螢火蟲算法的全局優(yōu)化能力。但是，僅對(duì)光強(qiáng)吸收系數(shù)與吸引度因子采用混沌優(yōu)化，沒有充分體現(xiàn)混沌思想對(duì)螢火蟲算法的種群與進(jìn)化過程的優(yōu)化作用；馮艷紅［8］等將立方映射所產(chǎn)生的混沌序列引入到螢火蟲算法，提出一種基于混沌理論的動(dòng)態(tài)種群螢火蟲算法，減少了螢火蟲的無效運(yùn)動(dòng)提高了算法精度。但是采用隨機(jī)方式替換掉種群中的個(gè)體，容易破壞原種群結(jié)構(gòu)，使優(yōu)化結(jié)果變差；符強(qiáng)［9］等分析了螢火蟲算法的進(jìn)化計(jì)算機(jī)制，提出一種基于新型進(jìn)化計(jì)算模式的改進(jìn)型螢火蟲優(yōu)化算法（IEFA），并利用高斯變異改善個(gè)體的多樣性，有效改善螢火蟲算法過早進(jìn)化停滯的問題，但是對(duì)整個(gè)種群進(jìn)行變異擾動(dòng)，可能會(huì)使種群多樣性降低，而且增加了算法的計(jì)算時(shí)間；郁書好［10］將自適應(yīng)步長運(yùn)用到螢火蟲算法的位置更新公式中，提出自適應(yīng)步長螢火蟲優(yōu)化算法，有效地提高了算法的綜合性能。但是單純地改變步長機(jī)制，并不能有效解決初始種群分布不均和進(jìn)化過程中的域約束等問題。

基于標(biāo)準(zhǔn)螢火蟲算法存在的缺陷，并受近年來一些改進(jìn)思想的啟發(fā)，提出一種改進(jìn)的進(jìn)化模型和混沌優(yōu)化的螢火蟲算法（Firefly Algorithm Based on Improved Evolutionary Model and Chaos Optimization，F(xiàn)AEC），該算法通過混沌映射對(duì)種群進(jìn)行初始化，在迭代過程中采用慣性權(quán)重和動(dòng)態(tài)步長平衡算法的局部尋優(yōu)與全局搜索性能，并通過種群最優(yōu)個(gè)體引導(dǎo)其他個(gè)體進(jìn)行移動(dòng)，實(shí)現(xiàn)螢火蟲之間的信息共享，對(duì)超出搜索區(qū)域的螢火蟲，引入對(duì)稱邊界變異操作，提高了種群多樣性。最后標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的結(jié)果表明，與標(biāo)準(zhǔn)螢火蟲算法相比所提算法具有更高的尋優(yōu)精度和更快的收斂速度，同時(shí)能夠避免因迭代過早停滯而陷入局部最優(yōu)的問題。

2 傳統(tǒng)螢火蟲算法

2.1 算法的仿生原理與數(shù)學(xué)描述

傳統(tǒng)螢火蟲算法是一種仿生智能優(yōu)化算法，具體的仿生原理如下［11］。

1）螢火蟲總是不分雄雌地向著比較亮的螢火蟲移動(dòng)，最亮的螢火蟲隨機(jī)移動(dòng)。

2）螢火蟲之間的相對(duì)吸引力決定了螢火蟲的移動(dòng)距離，吸引力與螢火蟲個(gè)體的亮度成正比關(guān)系，與螢火蟲之間的距離成反比關(guān)系。

3）對(duì)于函數(shù)優(yōu)化問題，可以將目標(biāo)函數(shù)的值作為螢火蟲亮度的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，將螢火蟲的位置作為目標(biāo)函數(shù)的解。螢火蟲的亮度越高，表明目標(biāo)函數(shù)值越優(yōu)，通過種群進(jìn)化，最終亮度最高的螢火蟲的位置，便是待優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)趨近理論最優(yōu)值的解。

在FA 算法中，亮度和吸引度是螢火蟲個(gè)體的兩個(gè)重要特征。其中，亮度的高低代表了螢火蟲所處位置的優(yōu)劣并決定了螢火蟲個(gè)體的移動(dòng)方向，吸引度則直接影響了螢火蟲個(gè)體的移動(dòng)距離，通過亮度和吸引度的不斷更新和迭代來尋找目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。在FA 算法中螢火蟲i 到螢火蟲j 的距離rij，通常用歐氏距離計(jì)算，即:

其中d表示搜索空間的維度。

由定義螢火蟲i對(duì)螢火蟲j的吸引力和螢火蟲i對(duì)螢火蟲j的相對(duì)亮度成正比，可得螢火蟲i對(duì)螢火蟲j的吸引力為

式中，β0為最大吸引力，表示光源處（r=0）螢火蟲的吸引力，通常 β0=1。γ 為光強(qiáng)吸收系數(shù)，它的取值對(duì)FA 算法的收斂速度和優(yōu)化效果有很大的影響。

螢火蟲i相對(duì)螢火蟲j的熒光亮度公式為

式中，Ii是螢火蟲i 的絕對(duì)亮度，對(duì)應(yīng)螢火蟲i 所處位置的目標(biāo)函數(shù)值；γ 為光強(qiáng)吸收系數(shù)，描述了熒光隨著距離增加和傳播介質(zhì)的吸收而逐漸減弱的光學(xué)特性，可設(shè)為常量。

螢火蟲j被螢火蟲i吸引，j向i移動(dòng)來更新原有的位置，j位置的更新公式為

式中，t為算法的迭代次數(shù)，xj(t+1)代表螢火蟲j在第t+1次迭代的位置；βij是螢火蟲i對(duì)螢火蟲j的吸引力；α 為常數(shù)，取 α ∈［0，1］；rand 是在［0，1］上服從均勻分布的隨機(jī)因子。

算法尋優(yōu)過程為:采用隨機(jī)方式在搜索空間生成螢火蟲種群，螢火蟲個(gè)體的亮度由其所在的空間位置決定，通過比較式（3）可得，螢火蟲會(huì)向比自己亮度更高的個(gè)體移動(dòng)，通過計(jì)算式（2）所得的吸引力是影響移動(dòng)距離的主要因素，移動(dòng)后的新位置根據(jù)式（4）來計(jì)算，在位置更新公式中增加了隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)，避免種群過早陷入局部最優(yōu)，經(jīng)過若干次迭代尋優(yōu)后，種群個(gè)體將會(huì)運(yùn)動(dòng)到亮度最高的螢火蟲的位置，算法得到全局最優(yōu)解。

2.2 算法的局限性分析

在實(shí)際問題中很多待優(yōu)化函數(shù)通常具有多峰、高維、地形復(fù)雜等，表現(xiàn)為大量的局部極值分布在全局最優(yōu)值周圍，傳統(tǒng)螢火蟲算法在優(yōu)化這類問題時(shí)容易早熟收斂，尋優(yōu)精度難以提高。造成這種現(xiàn)象的原因是由于傳統(tǒng)螢火蟲算法通過螢火蟲個(gè)體之間的相互吸引來實(shí)現(xiàn)尋優(yōu)，而個(gè)體不具備變異特性，很容易陷入局部極值。尤其在進(jìn)化前期，種群中的超級(jí)個(gè)體通常會(huì)吸引其他個(gè)體快速聚集到其周圍，造成種群多樣性降低，而且，隨著個(gè)體逐漸接近全局最優(yōu)值，種群的收斂速度會(huì)明顯下降甚至出現(xiàn)進(jìn)化停滯現(xiàn)象，喪失了進(jìn)一步進(jìn)化的能力，往往這種現(xiàn)象發(fā)生時(shí)，算法尚未收斂到全局最優(yōu)值。因此，保證種群在整個(gè)進(jìn)化過程中具有持續(xù)優(yōu)化能力，提高種群多樣性，是提高傳統(tǒng)螢火蟲算法性能的重要途徑。

3 一種改進(jìn)的進(jìn)化模型和混沌優(yōu)化的螢火蟲算法

3.1 基于混沌優(yōu)化策略的種群初始化

在非線性系統(tǒng)中，存在一種特有的非周期運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象被稱為混沌現(xiàn)象，其特點(diǎn)是行為復(fù)雜，與隨機(jī)現(xiàn)象類似，但是存在內(nèi)在的規(guī)律性。利用混沌運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)性、遍歷性和初值敏感性來提高隨機(jī)優(yōu)化算法的效率就是混沌優(yōu)化［12］?；舅枷霝槔没煦缱兞康谋闅v性和隨機(jī)性，通過混沌映射規(guī)則將待優(yōu)化變量映射到混沌變量的取值區(qū)間內(nèi)，將獲得的混沌序列，通過線性變換轉(zhuǎn)化到目標(biāo)函數(shù)的搜索空間。

在多種混沌序列的模型中，邏輯自映射函數(shù)產(chǎn)生的混沌序列遍歷性要優(yōu)于常用的Logistics 映射［13］。采用邏輯自映射函數(shù)生成混沌序列，如式（5）所示:

其中，為避免混沌序列出現(xiàn)全為1 或0.5 的情況，所以初始值不能取0 和0.5，d 表示D 維搜索空間的第d維。

初始化混沌種群的過程描述如下:

步驟1 對(duì)于D 維空間的M 個(gè)螢火蟲個(gè)體，根據(jù)邏輯自映射函數(shù)的性質(zhì)，首先初始化混沌變量，在(-1,1)區(qū)間隨機(jī)產(chǎn)生初始變量。

步驟2 按照式（5）迭代，將邏輯自映射生成的MaxGeneration *D-1 個(gè)混沌變量，與初始混沌變量一起對(duì)應(yīng)全部MaxGeneration*D 個(gè)螢火蟲個(gè)體。

步驟3 將產(chǎn)生的混沌變量序列按式（6）變換到目標(biāo)函數(shù)的搜索空間，生成螢火蟲初始種群的M個(gè)個(gè)體，公式如下:

式中，Lb 和Ub 分別表示搜索空間第d維的下限和上限，yn,d是根據(jù)式（6）產(chǎn)生的第i個(gè)螢火蟲對(duì)應(yīng)的第d 維混沌變量，xi,d為第i 個(gè)螢火蟲在搜索空間中第d維的坐標(biāo)值。

傳統(tǒng)螢火蟲算法的隨機(jī)種群初始化效果如圖1 所示，基于混沌優(yōu)化策略的種群初始化效果如圖2所示。

圖1 隨機(jī)種群初始化

圖2 基于混沌優(yōu)化策略的種群初始化

從圖1 和圖2 的初始化種群分布對(duì)比可以看出，采用混沌優(yōu)化策略的初始種群，種群分布的均勻性要明顯優(yōu)于采用隨機(jī)策略的初始化種群。

3.2 基于慣性權(quán)重的進(jìn)化計(jì)算模型

由式（2）可知，隨著種群的持續(xù)迭代，個(gè)體之間距離不斷減小，個(gè)體間的相對(duì)吸引力逐漸增大，降低了算法的局部搜索能力。式（4）中加入了帶有特定系數(shù)的隨機(jī)項(xiàng)，加大了搜索范圍，避免算法過早陷入局部最優(yōu)，但可能需要迭代多次才能達(dá)到精度要求，使得算法在迭代次數(shù)受限的情況下，無法滿足精度要求。為了提高算法的局部搜索和全局搜索能力，在式（4）中引入慣性權(quán)重，并增加種群中最優(yōu)個(gè)體對(duì)其他個(gè)體的牽引作用［9］。改進(jìn)的位置更新公式如式（7）所示:式中，第一項(xiàng)ω(t)×xj(t)表示螢火蟲個(gè)體的前一次迭代位置對(duì)當(dāng)前位置的影響，第四項(xiàng)ω(t)×rand()×(xbest(t)-xj(t))表示當(dāng)前迭代的種群最優(yōu)個(gè)體對(duì)種群中個(gè)體提供的牽引作用，用來控制當(dāng)前種群最優(yōu)個(gè)體對(duì)其他個(gè)體的影響程度，以及當(dāng)前個(gè)體對(duì)前代個(gè)體的繼承情況。慣性權(quán)重分為固定權(quán)重和時(shí)變權(quán)重，在粒子群算法研究中，自適應(yīng)權(quán)重［14］是常用的時(shí)變權(quán)重之一。為充分利用目標(biāo)函數(shù)信息，加強(qiáng)搜索方向的指導(dǎo)性，進(jìn)一步提高個(gè)體移動(dòng)速度［15］，提出一種新型的自適應(yīng)慣性權(quán)重，計(jì)算公式如式（8）所示:

式中，f(xbest(t)) 為第t 次迭代的全局最優(yōu)值，fi(t-1)和 fi(t-2)分別為 i 螢火蟲第 t-1 和 t-2 次迭代的值，M(f)=f(xi(t))為第t 次迭代的種群目標(biāo)函數(shù)值的平均值。

螢火蟲的移動(dòng)距離受到慣性權(quán)重的影響，分析式（8）可得，在每一次迭代中，慣性權(quán)重根據(jù)上一次迭代產(chǎn)生的全體目標(biāo)函數(shù)值與i螢火蟲前兩次迭代的目標(biāo)函數(shù)值計(jì)算所得，從而減少慣性權(quán)重變化的盲目性。由于在慣性權(quán)重的求解過程中充分利用了目標(biāo)函數(shù)的信息，使得螢火蟲算法的搜索方向具有指導(dǎo)性，螢火蟲個(gè)體向高質(zhì)量區(qū)域快速移動(dòng)。在算法迭代后期，螢火蟲個(gè)體已經(jīng)接近最優(yōu)解，且相鄰兩次迭代差值減小，此時(shí)慣性權(quán)重變小，螢火蟲的移動(dòng)距離隨之減小，加快了算法的收斂速度，提高了搜索能力，從而改善算法的尋優(yōu)性能。

3.3 基于高斯分布的種群變異操作

螢火蟲種群陷入局部最優(yōu)的特征是進(jìn)化出現(xiàn)停滯，即連續(xù)多次迭代并未使種群最優(yōu)值發(fā)生變化。通過實(shí)驗(yàn)總結(jié)初步設(shè)定，當(dāng)經(jīng)過連續(xù)6 次迭代，種群的全局最優(yōu)值未發(fā)生變化，則判定其進(jìn)化停滯，已經(jīng)陷入局部最優(yōu)區(qū)域。為了幫助螢火蟲種群脫離局部最優(yōu)值束縛，本文采用高斯分布對(duì)螢火蟲種群進(jìn)行變異操作。高斯概率分布被廣泛應(yīng)于工程應(yīng)用中，對(duì)工程優(yōu)化與設(shè)計(jì)具有良好的促進(jìn)作用。高斯分布的概率密度函數(shù)如式（9）所示。

其中，σ 為高斯分布的方差，μ 為期望。

將種群中的全部螢火蟲個(gè)體按目標(biāo)函數(shù)值的大小進(jìn)行排序，利用最優(yōu)的10%×n 個(gè)螢火蟲將排名最后的10%×n 個(gè)螢火蟲群體進(jìn)行狀態(tài)替換更新，同時(shí)對(duì)更新螢火蟲群體的狀態(tài)進(jìn)行高斯變異處理，變異公式如式（10）所示。

其中，N(0,1)為隨機(jī)向量，并且為服從期望為0、方差為1的高斯分布。

當(dāng)經(jīng)過6 次迭代后，全局最優(yōu)值沒有發(fā)生改變時(shí)，未執(zhí)行種群變異操作的種群分布如圖3 所示，執(zhí)行基于高斯分布的種群變異操作的種群分布如圖4所示。

圖3 未執(zhí)行種群變異操作的種群分布

圖4 進(jìn)行種群變異操作的種群分布

從圖3 和圖4 圈出的區(qū)域?qū)Ρ瓤梢钥闯?，圖3中被圈出的點(diǎn)分布較密集，已經(jīng)陷入局部最優(yōu)區(qū)域，種群未執(zhí)行高斯種群變異操作，陷入局部最優(yōu)區(qū)域的個(gè)體無法跳出局部最優(yōu)值的束縛，圖4 為已經(jīng)執(zhí)行高斯種群變異操作，種群個(gè)體能夠跳出局部極值區(qū)域。

3.4 動(dòng)態(tài)步長與域約束機(jī)制

步長在螢火蟲優(yōu)化算法中扮演著重要的角色，設(shè)置合適的步長值會(huì)直接影響到算法的全局搜索和局部搜索能力。標(biāo)準(zhǔn)FA 算法采用固定的步長值，在一定程度上無法體現(xiàn)出個(gè)體的差異性，遞減步長能夠動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)個(gè)體的移動(dòng)幅度，使個(gè)體在迭代前期以較大的步長進(jìn)行全局搜索，而后期則以較小步長進(jìn)行局部尋優(yōu)。本文采用隨著迭代次數(shù)非線性遞減的方式計(jì)算步長。如式（11）所示:

式中，Δαt為步長的動(dòng)態(tài)衰減系數(shù)，并且Δαt=1-(10-4/0.9)(1/t)，t表示迭代次數(shù)。隨著迭代次數(shù)t的增大，Δαt逐漸增大，（1- Δαt）減小，使得t+1 代的步長逐漸減小。

采用固定步長和非線性遞減步長的曲線走勢(shì)如圖5和圖6所示。

圖5 固定步長曲線

圖6 非線性遞減步長曲線

在螢火蟲算法的迭代過程中，為了保證種群個(gè)體能夠在搜索空間中進(jìn)行有效搜索，當(dāng)螢火蟲的位置超出目標(biāo)函數(shù)的可行域時(shí)，一般是將螢火蟲的位置替換為超出的邊界值，此時(shí)域約束公式如式（12）所示:

式中，xmin為搜索空間下限，xmax為搜索空間上限。這種邊界控制策略容易使算法陷入局部最優(yōu)，而且超出邊界的點(diǎn)全部約束在邊界處，有可能會(huì)使算法在邊界處過早收斂，降低算法的尋優(yōu)率。因此，引入一種對(duì)稱邊界變異操作［16］，此時(shí)的域約束公式如式（13）所示:

對(duì)稱邊界變異操作能夠使種群中螢火蟲的位置始終保持在可行域內(nèi)，避免了螢火蟲算法在邊界處陷入局部最優(yōu)，同時(shí)在一定程度上提高了種群的多樣性，動(dòng)態(tài)步長與邊界變異操作有效地提高了螢火蟲算法的收斂速度和尋優(yōu)率。

3.5 算法流程

基于標(biāo)準(zhǔn)螢火蟲算法，將混沌優(yōu)化策略、慣性權(quán)重、種群最優(yōu)個(gè)體引導(dǎo)、動(dòng)態(tài)步長和域約束機(jī)制等引入螢火蟲算法，提出一種改進(jìn)的進(jìn)化模型和混沌優(yōu)化的螢火蟲算法，其算法的執(zhí)行流程描述如下:

步驟1:初始化參數(shù)。設(shè)置螢火蟲數(shù)目m，問題維度d，光強(qiáng)吸收系數(shù)γ，步長因子初始值α，最大吸引度因子 β0，最大迭代次數(shù)MaxGeneration，搜索精度ε。

步驟2:初始化種群。采用式（5）生成初始混沌序列，然后根據(jù)式（6）將混沌序列映射到螢火蟲算法的解空間，生成螢火蟲種群的初始位置xi(i=1,2,…,m)。

步驟3:根據(jù)種群中個(gè)體的位置計(jì)算各螢火蟲的目標(biāo)函數(shù)值，作為螢火蟲個(gè)體各自的最大熒光亮度I0，對(duì)種群中的螢火蟲個(gè)體按照目標(biāo)函數(shù)值排序并記錄最優(yōu)值 fbest，同時(shí)記錄最優(yōu)個(gè)體位置。

步驟4:根據(jù)式（3）計(jì)算種群中螢火蟲個(gè)體之間的距離rij，再由式（1）計(jì)算種群中螢火種個(gè)體的相對(duì)熒光亮度Iij(rij)，并比較鄰域內(nèi)螢火蟲亮度的大小，確定螢火蟲個(gè)體的移動(dòng)方向。

步驟5:根據(jù)式（2）計(jì)算螢火蟲個(gè)體的吸引度βij(rij)，再由式（8）計(jì)算當(dāng)前第t 次迭代的慣性權(quán)重ω(t)，最后根據(jù)式（7）更新螢火蟲的空間位置。

步驟6:由式（11）對(duì)迭代步長進(jìn)行更新，并根據(jù)式（13）對(duì)種群中的螢火蟲個(gè)體進(jìn)行域約束操作。

步驟7:重新計(jì)算移動(dòng)后的螢火蟲種群的目標(biāo)函數(shù)值，并記錄種群的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值 fbest和最優(yōu)個(gè)體位置xbest(t)。當(dāng)連續(xù)6次迭代一直未更新，則將種群中最差的10%×m 個(gè)螢火蟲的狀態(tài)替換為最優(yōu)的10%×m 個(gè)螢火蟲的狀態(tài)，并通過式（10）對(duì)過渡種群進(jìn)行高斯變異操作。

步驟8:當(dāng)滿足搜索精度或者達(dá)到最大迭代次數(shù)，轉(zhuǎn)步驟9，否則轉(zhuǎn)步驟3。

步驟9:算法迭代完成，輸出結(jié)果。

4 實(shí)驗(yàn)仿真與分析

在六個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上分析和驗(yàn)證FAEC 算法的收斂速度與尋優(yōu)能力，對(duì)文獻(xiàn)［9］中的基于改進(jìn)型進(jìn)化機(jī)制的IEFA 算法和傳統(tǒng)FA 算法進(jìn)行對(duì)比測(cè)試。仿真實(shí)驗(yàn)環(huán)境基于Windows 10 操作系統(tǒng)，2.5GH 主頻的 Intel 處理器，4G 內(nèi)存，利用 MatlabR2015a進(jìn)行編程測(cè)試。

1）Sphere Model 函數(shù)

2）Rastrigin函數(shù)

3）Ackley函數(shù)

4）Griewank函數(shù)

5）Rosenbrock函數(shù)

6）Zakharov函數(shù)

4.1 尋優(yōu)精度分析

對(duì)FAEC、IEFA 和FA 算法的公共參數(shù)設(shè)置如下:初始螢火蟲個(gè)體數(shù)目為20，迭代次數(shù)為500，最大吸引度因子β0=1，初始步長因子α=0.2，光強(qiáng)吸收因子γ =1。其中，對(duì)于IEFA，慣性權(quán)重從1.1 到0.4線性遞減，步長衰減系數(shù)△α=0.97。

函數(shù) f1和 f2的維數(shù)為2，函數(shù) f3的維數(shù)為15，函數(shù) f4、f5和 f6的維數(shù)為30。以上六個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)經(jīng)過30次試驗(yàn)，平均測(cè)試結(jié)果如表1所示。

表 1 所列為 FA 算法、IEFA 算法和 FAEC 算法對(duì)6 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)獨(dú)立運(yùn)行30 次的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。可以看出，對(duì)于低維測(cè)試函數(shù) f1和 f2，3 種算法的尋優(yōu)精度均很高，而且IEFA 算法和FAEC 算法的最優(yōu)值、最差值、平均值和標(biāo)準(zhǔn)差均明顯優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)FA 算法。對(duì)于函數(shù) f3、f4和 f6，由于均為高維而且含有大量的局部極值，F(xiàn)AEC 算法的最優(yōu)值與最差值要比標(biāo)準(zhǔn)FA 算法高出3 個(gè)數(shù)量級(jí)以上，而且綜合性能均優(yōu)于IEFA 算法，f5為單峰高維，雖然三個(gè)函數(shù)的測(cè)試結(jié)果均不理想，但FAEC 在最優(yōu)值、平均值和標(biāo)準(zhǔn)差上要優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)FA 和IEFA。對(duì)于6 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)，F(xiàn)AEC 算法的標(biāo)準(zhǔn)差均低于FA 和IEFA，顯示了其較穩(wěn)定的尋優(yōu)過程。因此，與標(biāo)準(zhǔn)FA 和IEFA 算法相比，F(xiàn)AEC 算法具有較高的尋優(yōu)精度和較穩(wěn)定的迭代過程。

表1 FA和IEFA，F(xiàn)AEC算法對(duì)6個(gè)測(cè)試函數(shù)的計(jì)算結(jié)果比較

4.2 尋優(yōu)速度分析

針對(duì)以上6 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)速度分析，算法的參數(shù)設(shè)置與4.1節(jié)一致。

圖7～12 為三種算法在測(cè)試函數(shù) f1至 f6上的尋優(yōu)曲線。

圖7 f1 函數(shù)尋優(yōu)過程（D=2）

圖8 f2 函數(shù)尋優(yōu)過程（D=2）

圖9 f3 函數(shù)尋優(yōu)過程（D=15）

圖10 f4 函數(shù)尋優(yōu)過程（D=30）

圖11 f5 函數(shù)尋優(yōu)過程（D=30）

圖12 f6 函數(shù)尋優(yōu)過程（D=30）

圖 7～12 顯示了 FAEC 算法、IEFA 算法和 FA 算法的尋優(yōu)過程。從圖7～12 可以看出，與傳統(tǒng)FA 算法和IEFA算法相比，F(xiàn)AEC算法能夠在較少的迭代次數(shù)下搜索到全局最優(yōu)解，具有更快的迭代速度和更高的尋優(yōu)精度。其中，從圖7、圖8、圖11、圖12中可以直觀地看出，F(xiàn)AEC 算法在50 次迭代內(nèi)就能收斂并趨于穩(wěn)定，在圖8中，雖然FAEC算法在迭代初期的迭代曲線劣于IEFA，但最終仍以較少的迭代次數(shù)趨于穩(wěn)定，從圖9、圖10、圖11 可以看出，與使用隨機(jī)種群初始化的IEFA算法相比，F(xiàn)AEC算法采用混沌種群初始化方法，并利用非線性遞減步長與對(duì)稱邊界變異操作，有助于算法跳出局部最優(yōu)，平衡和局部尋優(yōu)與全局搜索，并在一定程度上增加了種群的多樣性，表現(xiàn)出較快的收斂速度和尋優(yōu)精度。

5 結(jié)語

針對(duì)FA 算法易陷入局部極值、后期收斂速度慢、尋優(yōu)精度較低等問題，引入混沌優(yōu)化策略、進(jìn)化模型和慣性權(quán)重等概念，提出一種改進(jìn)的進(jìn)化模型和混沌優(yōu)化的螢火蟲算法。引入改進(jìn)的邏輯自映射混沌模型提高種群多樣性；加強(qiáng)種群中最優(yōu)螢火蟲個(gè)體對(duì)其他個(gè)體的引導(dǎo)作用以及個(gè)體對(duì)前代位置的繼承情況，采用慣性權(quán)重對(duì)兩者進(jìn)行平衡調(diào)整，克服早熟收斂問題，增強(qiáng)全局搜索與局部搜索能力，提高收斂速度與尋優(yōu)精度；在迭代過程中，采用非線性遞減步長與對(duì)稱邊界變異，提高了收斂速度，增加了種群多樣性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了算法的有效性和優(yōu)越性。今后相關(guān)工作主要側(cè)重于FAEC算法的理論推導(dǎo)與實(shí)際問題應(yīng)用研究。