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    何處得一“念”, “圖”中覓源頭

    2019-07-20 13:25:26方重友徐勇
    福建中學(xué)數(shù)學(xué) 2019年4期
    關(guān)鍵詞:余弦定理平分線正弦

    方重友 徐勇

    數(shù)學(xué)問題的解決往往在一念之間,這“一念”一旦點(diǎn)破,問題迎刃而解,這是數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)的一個極為特殊之處,根本問題是這“一念”是由別人點(diǎn)破還是自己攻破,別人點(diǎn)破則毫無價值,自己攻破對解題學(xué)習(xí)才有積極意義,在高考考場上,就是一個人在戰(zhàn)斗,高考題(特別是壓軸題)的求解更需要“迅速回答從何處下手、向何方前進(jìn)”,這“一念”必須是自己得,何處得這“一念”,可從核心知識導(dǎo)圖中覓得,核心知識導(dǎo)圖,是借助思維導(dǎo)圖來對題目中涉及的核心知識進(jìn)行加工、整合、鏈接的一種解題組織策略,幫助設(shè)計解題思維流程的工具.

    高考后,考生對試卷的第13題的談?wù)撦^多,因為第1題到第12題相對容易,而第13題感覺一下子提高了難度,且不正確的人也大有人在,筆者在高考后與考生交流一下對此題的看法,考生基本能在仔細(xì)審題后意識到:目標(biāo)是求最值,需先找出a與c的關(guān)系等式,再使用基本不等式求解.

    1追問不成功解法,缺失細(xì)思極恐

    因AC平分∠ABC,則∠ABD= ∠CBD= 600,用余弦定理分別表示出AC,AD,CD,因為AC=AD+CD,所以√a- +c2- +ac:√a2 +l-a+√C2 +l-c,但有三個根號,能算(平方后整理后再平方),但不想算,也不敢算,害怕費(fèi)時過長而造成“隱性失分”,所以“策略性”放棄,

    用余弦定理得到關(guān)于a,c的關(guān)系式√a2+c2+ ac=√a2 +l-a+√C2 +1-c,想法很好,但接下來的化簡確實(shí)挺難、要求很高,有想法卻解不出,著實(shí)可惜,筆者與考生展開簡短的對話,一探考生備考的不足與缺失,

    問1:題中的角平分線除了你得到的將角一分為二,還能得到什么,課本上有關(guān)于角平分線的典型題目嗎?

    答:角平分線還能得到點(diǎn)D到邊BA與BC的距離相等,不記得課本上的關(guān)于角平分線的題,

    剖析對角平分線的認(rèn)識還停留在初中平面幾何的水平,不清楚課本中在講完正弦定理后的關(guān)于角平分線的典型例題,即角平分線的性質(zhì)定理,

    問2:你覺得解決此題會用到面積公式嗎?或者會使用向量嗎?

    答:又沒讓求面積,肯定不會用面積公式,題中也沒涉及到向量,基本不會朝向量去想,

    剖析學(xué)生眼中只有正弦、余弦定理,不能把面積公式與正弦、余弦定理等地位看待,當(dāng)然更談不上面積法的使用,課本中正弦、余弦定理的證明都用了向量工具,三角與向量關(guān)系密切,學(xué)生對向量的工具性的意識比較淡薄,

    問3:還記得正弦、余弦定理的證明過程嗎?

    答:坦率地說,真的記不得,其實(shí)只要知道正弦、余弦定理并會用就可以了,高考又不會考定理證明,

    剖析只知定理內(nèi)容,不知不問定理的推導(dǎo)過程,知其然,不知其所以然,功利且目光短淺,對定理的推導(dǎo)過程中涉及的思想方法視而不見,對不熟悉或稍難點(diǎn)的題目便顯得無從下手,同時,對高

    考認(rèn)識不足,定理證明在高考中真的考過,陜西高考卷就曾考過余弦定理的證明,

    簡言之,考生至少有三個缺失,一是缺少可持續(xù)地解題能力;二是缺乏系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu);三是缺少優(yōu)選與發(fā)散的意識,若對題中涉及到的知識沒有一個系統(tǒng)的知識圖譜,便談不上思路的發(fā)散與方法的優(yōu)選,接下來,若解題時只有一種思路,在途中遇到困難,便不可能具有可持續(xù)地的解題能力.

    2繪制核心知識導(dǎo)圖,念頭自然可覓

    本題是解三角形與不等式融合的一道題,題中目標(biāo)是求最值,通法要先找出以與c的關(guān)系等式,再使用基本不等式求解,本題的重點(diǎn)及難點(diǎn)就在尋找以a與c的關(guān)系等式,有了關(guān)系等式,使用基本不等式應(yīng)該不是難事,我們可以對解三角形這塊內(nèi)容繪制核心知識導(dǎo)圖(如圖1).

    以上解法主要利用角平分線定理,主要落點(diǎn)在點(diǎn)D分線段AC為兩個部分,但角一分為二,角的具體值卻沒有運(yùn)用到位,若用到角的具體值,不難聯(lián)想到三角函數(shù)定義,即在直角坐標(biāo)系中運(yùn)用,于

    張角定理把平面幾何和三角函數(shù)緊密相連,它給出了用三角法處理平面幾何問題的一個頗為有用的公式,用它去解幾何題,適當(dāng)?shù)嘏浜先切蚊娣e公式、正余弦定理、幾何知識,可以大大簡化解題步驟,問題可以簡捷獲解.

    3“圖”聚課本核心知識,復(fù)習(xí)事半功倍

    要熟練地掌握數(shù)學(xué)和科學(xué)知識,就要創(chuàng)造一些概念組塊,這是通過意義將分散的信息碎片組合起來的過程,把要處理的信息構(gòu)成組塊,可以使大腦更高效地運(yùn)轉(zhuǎn),知識的碎片化、單一線性的,沒有呈現(xiàn)出結(jié)構(gòu)化、立體化,合理地運(yùn)用思維組塊,蘇聯(lián)教育家烏申斯基指出:“智慧不是別的,而是組織得良好的知識體系,”解題研究的一代宗師波利亞說過:“貨源充足和組織良好的知識倉庫是一個解題者的重要資本,”

    在高三復(fù)習(xí)迎考中,不能單一地使用題海戰(zhàn)術(shù),片面地進(jìn)行大量的模擬題訓(xùn)練,課本是高考復(fù)習(xí)之本,教師要帶著學(xué)生對課本進(jìn)行有效整合,核心知識導(dǎo)圖是復(fù)習(xí)利器之一,繪制如圖1的核心知識導(dǎo)圖,可聚集定理、重要結(jié)論、例題(習(xí)題)、證明方法、數(shù)學(xué)思想等,學(xué)生就如一個熟練工人將有關(guān)工具有條理地排列在工具箱(核心知識導(dǎo)圖)里,可以有效合理長期保管起來,在處理有關(guān)問題時可以做到游刃有余、左右逢源,復(fù)習(xí)便能跳出題海而事半功倍。

    參考文獻(xiàn)

    [1]涂榮豹,王光明,寧連華.新編數(shù)學(xué)教學(xué)論[Ml.上海:華東師范大學(xué)出版社, 2006:121

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    [4]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗教科書數(shù)學(xué)5(必修)[M].南京:江蘇教育出版社,2014

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