由一題例說(shuō)與圓有關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題

江蘇省句容市第三中學(xué) 余東云

解析幾何中的參數(shù)范圍問(wèn)題是高考中的常考內(nèi)容，也是備考復(fù)習(xí)的重點(diǎn)問(wèn)題，這類(lèi)題目綜合性較強(qiáng)，需要較強(qiáng)的圖形認(rèn)知能力和代數(shù)運(yùn)算能力。在求解過(guò)程中要注意思維的嚴(yán)密性，同時(shí)還要注意數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程的化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用。對(duì)此，一般情況下的解題思路是首先尋覓（或直接利用）不等關(guān)系，包含幾何與代數(shù)的不等關(guān)系，進(jìn)而通過(guò)這個(gè)不等關(guān)系的演變解出有關(guān)參數(shù)的取值范圍。在這里，通過(guò)一道與圓有關(guān)的題目的解析，探究出所給問(wèn)題中不等關(guān)系的主要途徑和策略。

一、經(jīng)典題目再現(xiàn)

已知圓O:x2+y2=2，設(shè)點(diǎn)D（x0,y0）在直線l:x+y-2=0上，若圓O上存在點(diǎn)M、N滿足，求x0的取值范圍。

二、“四基四能”解析

本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系、圓的性質(zhì)、平面向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、函數(shù)與方程的思想、特殊與一般的思想。

三、解題思路解析

涉及直線與圓的位置關(guān)系的題目，首先應(yīng)判定直線與圓的位置關(guān)系。圓心O到直線l的距離，則該直線與圓相切。其次，由得M為DN中點(diǎn)，故本題即為由存在M為DN中點(diǎn)，求D點(diǎn)橫坐標(biāo)x0的范圍，需要構(gòu)造一個(gè)不等關(guān)系來(lái)求范圍。因此，如何構(gòu)造一個(gè)不等關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵。

四、構(gòu)造策略分析

解析幾何的思想就是用代數(shù)的方法研究幾何，因此，在解題的過(guò)程中，一定要關(guān)注圖形的特征及代數(shù)屬性，在構(gòu)建關(guān)系中就需要從幾何的角度和代數(shù)的角度探求不等關(guān)系。幾何角度，就是要利用相關(guān)的曲線的性質(zhì)及平面幾何知識(shí)得到不等關(guān)系；代數(shù)角度，就是構(gòu)造“目標(biāo)函數(shù)”，然后再去求“目標(biāo)函數(shù)”的最值，從而得到不等關(guān)系。

1.幾何角度一：利用圓中的幾何特征構(gòu)造不等關(guān)系：①在圓中，直徑為最長(zhǎng)的弦。②圓外一點(diǎn)與圓上一點(diǎn)的最短距離為該點(diǎn)到圓心的距離減去半徑。

解：如圖，連接DO交圓與F，并延長(zhǎng)交圓于E。圓的半徑r=。

由圓的性質(zhì)知：DF為D到圓上任意一點(diǎn)距離的最小值，故DF≤DM。

∵EF為直徑，∴MN≤EF。

∴DF≤EF，∴OD-OF≤EF，

2.幾何角度二：利用軌跡的位置關(guān)系構(gòu)造不等關(guān)系：利用直線與圓的三種位置關(guān)系及圓與圓的五種位置關(guān)系構(gòu)造不等關(guān)系。

3.代數(shù)角度：利用函數(shù)構(gòu)造不等關(guān)系：直線與圓相交，一定要抓住弦心距這個(gè)關(guān)鍵量，抓住特征三角形這個(gè)特殊圖形，探尋弦長(zhǎng)、半徑及弦心距之間的關(guān)系。

在Rt△DOG中，

本題較好地闡述了在解析幾何中如何去探求不等關(guān)系，要從圖形結(jié)合屬性，直線與曲線的位置關(guān)系，曲線與曲線的位置關(guān)系，函數(shù)等角度去構(gòu)造不等關(guān)系，這些問(wèn)題的解決考查了學(xué)生直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)，對(duì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題及解決問(wèn)題的要求比較高，需要在平時(shí)的教學(xué)中多引導(dǎo)學(xué)生去思考、去實(shí)踐。