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    初中數(shù)學(xué)函數(shù)圖象中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

    2024-10-21 00:00:00何騰飛
    數(shù)理天地(初中版) 2024年19期

    【摘要】隨著教育改革的深入,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解題能力成為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo).本文以一道二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題為例,探討在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的重要性.通過分析二次函數(shù)的圖象和代數(shù)表達(dá)式之間的關(guān)系,學(xué)生能夠更深入地理解二次函數(shù)的性質(zhì),并提高解決實(shí)際問題的能力.

    【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;二次函數(shù)

    1引言

    二次函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容,其圖象的幾何性質(zhì)與代數(shù)表達(dá)式的內(nèi)在聯(lián)系,為學(xué)生提供了一個(gè)直觀理解,抽象數(shù)學(xué)概念的平臺(tái).本文以一道二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題為例,探討如何在教學(xué)中融入數(shù)形結(jié)合思想,幫助學(xué)生通過觀察圖象、分析性質(zhì)、解決具體問題,從而深化對二次函數(shù)知識(shí)的理解.

    2試題呈現(xiàn)

    已知二次函數(shù)y=ax2+bx-3.

    (1)若函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)1,-4,-1,0,求拋物線的解析式;

    (2)若2a-b=1,對于任意不為零的實(shí)數(shù)a,是否存在一條直線y=kx+tk≠0,始終與函數(shù)圖象交于A,B兩個(gè)定點(diǎn),若存在,求出該直線的表達(dá)式;若不存在,請說明理由;

    (3)如圖1,在(2)的條件下,若a>0,M、A兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,點(diǎn)P為A,B之間的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),連接MP交AB于點(diǎn)Q,且PQMQ的最大值為13,求拋物線的函數(shù)解析式.

    3思路分析

    第一問為函數(shù)基礎(chǔ)題,通過把定點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù),構(gòu)建等式求解未知量,即可求出函數(shù)表達(dá)式.

    第二問難度略有提高,但依然為常規(guī)函數(shù)題,關(guān)于“定”值,顧名思義,即不隨著未知量變化而變化,因此只需將含有未知量的系數(shù)設(shè)為0,構(gòu)建等式或者方程組進(jìn)行求解,若有解即為存在,無解即為不存在.

    第三問需要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,根據(jù)對稱性求出點(diǎn)M的坐標(biāo)為1a,-1,設(shè)P(x,ax2+2ax-x-3),過點(diǎn)P作PH∥y軸交直線AB于點(diǎn)H,過點(diǎn)M作MN∥y軸交直線AB于點(diǎn)N,則Hx,-x-3,N1a,-1a-3,求出PH、MN,再證△PQH∽△MQN,推出PQMQ=PHMN,根據(jù)PQMQ=13列出方程,由于點(diǎn)P為A,B之間的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),所以滿足方程的x值只有一個(gè),所以Δ=0,由此求出a的值.

    4解題探究

    (1)把1,-4,-1,0代入y=ax2+bx-3中,

    得a+b-3=-4a-b-3=0,

    解得a=1b=-2,

    所以拋物線的解析式為y=x2-2x-3中.

    (2)因?yàn)?a-b=1,

    所以b=2a-1,

    把b=2a-1代入y=ax2+bx-3,

    得y=ax2+2a-1x-3=x2+2xa-x-3,

    令x2+2x=0,則x1=0,x2=-2,

    所以當(dāng)x1=0時(shí),

    y=0-0-3=-3,

    當(dāng)x2=-2時(shí),y=0--2-3=-1,

    所以對于任意不為零的實(shí)數(shù)a,二次函數(shù)y=ax2+bx-3的圖象都經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)(-2,-1)和(0,-3).

    把-2,-1和0,-3代入y=kx+t中,

    得-2k+t=-1t=-3,

    解得k=-1t=-3,

    所以該直線的表達(dá)式為y=-x-3.

    (3)由(2)得y=ax2+2ax-x-3,

    所以拋物線的對稱軸為直線x=-2a-12a=-1+12a,

    因?yàn)镸、A兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,

    由2得A-2,-1,B0,-3,

    所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為1a,-1.

    設(shè)Px,ax2+2ax-x-3,過點(diǎn)P作PH∥y軸交直線AB于點(diǎn)H,過點(diǎn)M作MN∥y軸交直線AB于點(diǎn)N,如圖2所示,

    則Hx,-x-3,N1a,-1a-3,

    所以PH=-x-3-(ax2+2ax-x-3)=-ax2-2ax,MN=-1+1a+3=1a+2.

    因?yàn)镻H∥y軸,MN∥y軸,

    所以PH∥MN,

    所以△PQH∽△MQN,

    所以PQMQ=PHMN,

    所以當(dāng)PQMQ=13時(shí),有-ax2-2ax1a+2=13.

    整理得,3a2x2+6a2x+2a+1=0,

    因?yàn)辄c(diǎn)P為A,B之間的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),

    所以滿足方程3a2x2+6a2x+2a+1=0的x值只有一個(gè),

    即方程3a2x2+6a2x+2a+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,

    所以Δ=6a22-4×3a2×2a+1=0,

    解得a=0(舍去)或a=1或a=-13(舍去),

    所以b=1,

    所以拋物線的解析式為y=x2+x-3.

    5結(jié)語

    本題是一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合題,主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn),用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式,相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí).第三問中添加輔助線構(gòu)造相似三角形,靈活運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.通過在初中數(shù)學(xué)函數(shù)圖象中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想,特別是針對二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題的教學(xué)實(shí)踐,可以看到這種方法在提高學(xué)生數(shù)學(xué)理解能力、培養(yǎng)邏輯思維和解題技巧方面的重要作用.通過觀察和分析二次函數(shù)圖象,學(xué)生能夠更加直觀地理解二次函數(shù)的性質(zhì),并將其與代數(shù)表達(dá)式聯(lián)系起來,從而在實(shí)際問題中靈活運(yùn)用.

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