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      抽象函數(shù)解題策略探研

      2019-07-12 10:49:21陳曦陽
      關(guān)鍵詞:定義域填空題賦值

      陳曦陽

      重慶市育仁中學(xué) 重慶 400000

      前言

      說它抽象也不抽象,抽象函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中卻是一大重點學(xué)習(xí)內(nèi)容,其對學(xué)生各方面思維能力都有較高要求,思維的轉(zhuǎn)換和解題變通尤為重要,要熟悉并掌握函數(shù)的基本知識,這是基本能力。本篇文章會根據(jù)在解決抽象函數(shù)所遇到的問題進行解析,著重分析目前高中數(shù)學(xué)中的各種抽象函數(shù)的學(xué)習(xí)技巧,同時研究出解決這些問題的策略。

      一、高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)的常見題型及解決策略

      正所謂抽象函數(shù),它不會給出具體一些解析式給你,只是提示你式子有什么函數(shù)特征,難就是難在這里了,下面介紹幾種抽象的具體問題形式和一些解析題型的方法。

      1.1 給出一函數(shù)定義域求另一函數(shù)定義域 一般一函數(shù)的定義域為A,求另一函數(shù)定義域,就是已經(jīng)給出了我們所給函數(shù)取值的范圍了,我們就此便可以解出所求。

      學(xué)生在學(xué)習(xí)態(tài)度上在很大程度上影響著學(xué)生學(xué)習(xí)知識的效果。因為抽象函數(shù)的學(xué)習(xí)會耗費大量腦力,不能中途懈怠。所以這部分知識的難度也是可想而知。高考數(shù)學(xué)中,抽象函數(shù)題型綜合題一般最后一題中進行考查。當(dāng)然,各地考卷不同,安排題型順序也不一樣。但難度一致,這些都是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中需要重點克服的短板問題。

      學(xué)生在實際操練時看到的往往只是題目本身的含義,而沒有深入地考慮問題內(nèi)在的邏輯和普遍規(guī)律。在解決問題時,學(xué)生的最終目的大都是解出最終答案的數(shù)值,而很少有人主動深入探究問題,從多個層次、多角度地分析得出最適方法。

      1.2 給出函數(shù)定義域,同時也給出滿足的條件,求賦值函數(shù)的值 這題型的解決關(guān)鍵在于未知與已知之間的聯(lián)系,在腦海中對函數(shù)進行另一種賦值,便能知道未知已知之間的關(guān)系??剂苛藗€人的抽象思維,所以解這樣的題目就要自己去多次賦值以達解決目的,很多學(xué)校對高中數(shù)學(xué)的抽象函數(shù)這一部分的內(nèi)容有著很大重視,因為該部分將函數(shù)與實際數(shù)模結(jié)合得很緊密。通常作為壓軸放在最后一大題,但不代表學(xué)生要放棄這一題。

      學(xué)生在高考中普遍存在放棄最后一題的現(xiàn)象,在此給出提議,抽象函數(shù)不是那么可怕,技巧性非常強,不能光看題目就覺得這很難,一定得抽出時間來完成這一種題型,平時也要養(yǎng)成這種習(xí)慣進行“題海式”實際操練。此外,部分學(xué)校在教抽象函數(shù)的方法上,常常會忽略學(xué)生課后思考和探究的重要作用,不能做到與學(xué)生進行知識掌握程度的溝通,忽略了學(xué)生發(fā)散性思維的培養(yǎng)和提升,這樣就不能更好得提高學(xué)生想象能力了。

      1.3 給出條件,求出函數(shù)它的解析式 這是常見題型之一,看清楚變量之間有什么關(guān)系,有多少個變量,盡量通過轉(zhuǎn)化使變量減少,最后保留一個變量。通常也是要為函數(shù)賦予它值達到變量“變沒”。高中的數(shù)學(xué)講的就是人思維邏輯變通,靠著邏輯演繹推進和發(fā)展。這種抽象函數(shù)題型好比一個洋蔥,要不斷撥開外面的皮才看得到它在內(nèi)的本質(zhì),最后還是要多練這種題目然后總結(jié)技巧。

      1.4 利用函數(shù)對稱性求賦值函數(shù)的值 遇到這種題目,可以觀察到它要代入的量很大,很多多同學(xué)便感到棘手。在解決問題之前要掌握各類函數(shù)對稱的性質(zhì)。下面給出一題,幫助大家更好的了解:

      例8.已知函數(shù)y=f(x)滿足f(x)+f(-x)=2002,求f-1(x)+f-1(2002-x)的值。

      解:已知式即在對稱關(guān)系式f(a+x)+f(a-x)=2b中取a=0,b=2002,所以函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(0,2002)對稱。根據(jù)原函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系,知函數(shù)y=f-1(x)的圖象關(guān)于點(2002,0)對稱。

      所以f-1(x+1001)+f-1(1001-x)=0

      將上式中的x用x-1001代換,得f-1(x)+f-1(2002-x)=0

      關(guān)于點或者中心對稱的問題不少見,關(guān)鍵還是要清楚函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合賦值迭代求出最終結(jié)果。

      5 綜合性抽象函數(shù)

      此題型的抽象函數(shù)在以上題型加大了難度,需結(jié)合各個性質(zhì)并貫通它們。

      例9.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:對任意實數(shù)m,n,總有f(m+n)=f(m)·f(n),

      且當(dāng)x>0時,0<f(x)<1。

      (1)判斷f(x)的單調(diào)性;

      (2)設(shè)A={(x,y)|f(x2)·f(y2)>f(1)},

      解:(1)在f(m+n)=f(m)·f(n)中,令m=1,n=0,得f(1)=f(0),因為f(1)≠0,所以f(0)=1。

      在f(m+m)=f(m)·f(n)中,令m=x,n=-x

      因為當(dāng)x>0時,0<f(x)<1

      所當(dāng)x<0時-x>0,0<f(-x)<1

      而f(x)·f(-x)=f(0)=1

      又當(dāng)x=0吋,f(0)=1>0,所以,綜上可知,對于任意x∈R,均有f(x)>0。

      設(shè)-∞<x1<x2<+∞,則x2-x1>0,0<f(x2-x1)<1

      所以f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x)·f(x2-x1)<f(x1)

      所以y=f(x)在R上為減函數(shù)。

      (2)由于函數(shù)y=f(x)在R上為減函數(shù),所以f(x2)·f(y2)=f(x2+y2)>f(1)

      即有x2+y2<1

      這一題涉及到單調(diào)性那就一定要考慮兩個問題,第一f<0>的取值問題,二是f(x)>0的結(jié)論。綜合題就是會考量多個方面的運用,從特殊到一般,遵循這個原則就能循序漸進了。

      二、抽象函數(shù)填空題應(yīng)試技巧

      如果臨近高考,大家都應(yīng)該認(rèn)識到,就數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)能力而言,經(jīng)過一年的復(fù)習(xí),到了這個時候,大家的能力基本已經(jīng)定型了,已經(jīng)是定在了那個級別,那么基本上臨近高考的這些天這個級別不會產(chǎn)生太大的變化。因此,我們的復(fù)習(xí)的關(guān)鍵是要把你這一年來復(fù)習(xí)工作的收獲盡量地歸納總結(jié),然后總結(jié)出屬于自己的應(yīng)試技巧,這個技巧也會決定你的考場應(yīng)付能力,所以也應(yīng)著重培養(yǎng)一下。以下有幾個填空題的應(yīng)試技巧:

      2.1 直接法 直接法也可理解成直接代入法,結(jié)合它的函數(shù)性質(zhì),定理等所有知識進行代入,直接出結(jié)果。

      2.2 特殊化法 當(dāng)填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個定值時,可以把題中變化的不定量用特殊值代替,即可以得到正確結(jié)果。

      2.3 數(shù)形結(jié)合法 對于一些含有幾何背景的填空題,若能數(shù)中思形,以形助數(shù),則往往可以簡捷地解決問題,得出正確的結(jié)果。

      2.4 等價轉(zhuǎn)化法 將問題等價地轉(zhuǎn)化成便于解決的問題,從而得出正確的結(jié)果。解決恒成立問題通常可以利用分離變量轉(zhuǎn)化為最值的方法求解。

      解答這些題型的時候,先做有依據(jù)去解決的題,該拿的分一定要拿到。應(yīng)試技巧要在各種模擬考試中去自己摸索出來,如果程度較好的同學(xué)可以兩天做一次選擇和填空題的訓(xùn)練,這個就是所謂經(jīng)常熱身。另外在熱身中,尋求解題的成功率和提高解題速度。

      另外通過圖象,學(xué)生也可以在腦海中更加直觀地建立問題模型,更加清晰又充分地解讀題意。運用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想解決函數(shù)問題、能夠大大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率以及學(xué)生的理解效率。圖象的運用既能夠?qū)⒊橄髥栴}變得直觀化、形象化,也能夠幫助學(xué)生更加容易地理解題意。

      三、總結(jié)

      高中數(shù)學(xué)教學(xué)要求教師準(zhǔn)確把握各章節(jié)知識點的重點和難點,在抽象函數(shù)知識的講解中,不可過偏地抓重點和難點,而是要在把據(jù)基礎(chǔ)知識的前提下,做一些拓展知識的介紹??紤]到抽象函數(shù)部分的內(nèi)容難度較大,教師在講解過程中應(yīng)當(dāng)把據(jù)好沒一個章節(jié)的節(jié)奏,給予學(xué)生適當(dāng)?shù)墓膭?,讓學(xué)生能夠充滿自信的去學(xué)習(xí)和解題。

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