基于動(dòng)力系統(tǒng)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的共軛剪切破裂-地震復(fù)合模型

喬建永，馬念杰，馬 驥，趙志強(qiáng)，郭曉菲，師皓宇,3

(1.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京) 能源與礦業(yè)學(xué)院，北京 100083; 2.北京郵電大學(xué) 理學(xué)院，北京 100876; 3.華北科技學(xué)院 安全工程學(xué)院，北京 101601)

地震是自然界中經(jīng)常發(fā)生的自然現(xiàn)象，是地殼斷裂構(gòu)造帶演化伴隨的產(chǎn)物，與地質(zhì)斷裂構(gòu)造之間在幾何特征和變化過程上具有相似性[1]。已有地震記錄顯示，許多地震區(qū)存在相互交叉的共軛發(fā)震斷層，尤其強(qiáng)震的震源破裂往往呈“X”型共軛破裂，地震震中位于“X”型共軛破裂交匯部位[2-4]。美國(guó)加利福尼亞州Superstition Hills地震序列在2組共軛斷層上同時(shí)出現(xiàn)地表破裂帶[5];美國(guó)蒙大拿州Red Rock Valley體波震級(jí)Mb5.3地震震源深度12.4 km，位于Monument Ridge正斷層和Red Rock斷層的共軛交匯處[6];日本Kagoshima里氏震級(jí)M6.0地震(1997)發(fā)現(xiàn)共軛斷層的存在，HORIKAWA等(2001)通過反演得出:共軛破裂起始于兩斷層段的交匯處附近并沿兩側(cè)傳播[7];YUKUTAKE等(2008)由雙差定位算法反演出主震震源與余震的位置，認(rèn)為日本Niigata Chuetsu-Oki矩震級(jí)Mw6.6地震破裂主要發(fā)生在向東南傾斜的斷層面上，主震的震源周圍西北方向和東南方向傾斜的共軛斷層面幾乎同時(shí)破裂[8];CHEN等(2002)總結(jié)了臺(tái)灣Chi-Chi地震(里氏震級(jí)ML7.3)的余震活動(dòng)和震源機(jī)制表明，輕微東向傾斜的車龍埔斷層和陡峭的西向傾斜的深層斷裂帶組成的共軛斷層系統(tǒng)主導(dǎo)了震源區(qū)南部余震的空間格局[9]。

地殼中的斷層活動(dòng)誘發(fā)了地震，地震發(fā)生又促成了斷層的生成與發(fā)育，通常認(rèn)為斷層的形成起始于地殼巖體的破裂。以此，學(xué)者們應(yīng)用理論推斷得到的各種震源模型來解析地震發(fā)生時(shí)震源區(qū)的力學(xué)行為。這些震源模型大體可分為兩類，一類是假設(shè)作用在震源處有一組體力系的點(diǎn)源模型，如單力偶、雙力偶和地震矩張量震源模型。雙力偶震源模型普遍應(yīng)用于定量分析斷層錯(cuò)動(dòng)引發(fā)地震產(chǎn)生地震波的特征，求解地震的兩個(gè)斷層面的走向、傾向及傾角，以及震源附近主應(yīng)力方向等參數(shù)[10-12];地震矩張量震源模型可以描述各種形式的震源，如地下爆炸引起的體積膨脹源、地球內(nèi)部介質(zhì)體相變產(chǎn)生的快速擴(kuò)展源或體積突然收縮源，斷層錯(cuò)動(dòng)等效的雙力偶震源模型只是地震矩張量描述的各類震源中的一種[13]。點(diǎn)源模型是通過等效力的方法將地震震源假設(shè)受到一組力系和力偶矩的作用，缺乏實(shí)際的物理意義;另一類震源模型是非點(diǎn)源模型，主要有用震源處某個(gè)斷層面的兩側(cè)發(fā)生位移或應(yīng)變的間斷來描述震源的地震位錯(cuò)模型、有限移動(dòng)源(Haskell)模型、地震震源的裂紋擴(kuò)展模型(Starr模型、Knopoff模型)、滑動(dòng)弱化模型，描述地震震源破裂過程的障礙體(Barrier)與凹凸體(Asperity)模型，還有從摩擦強(qiáng)度的非均勻性入手，基于“彈性回跳假說”提出的彈簧-滑塊動(dòng)力學(xué)模型(Burridge-Knopoff模型)等[10,14-21]。盡管非點(diǎn)源模型對(duì)地震同震所引起的位移和應(yīng)變等變化及其產(chǎn)生后果的分析成果很多，但仍然停留在理論研究的層面，尚未形成統(tǒng)一認(rèn)識(shí)和進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用[22-25]。

筆者從共軛剪切破裂演化過程中地震頻發(fā)的表征現(xiàn)象出發(fā)，以動(dòng)力系統(tǒng)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性理論中的Leau-Fatou花瓣定理逆定理和蝶形破壞理論[26-34]為理論基礎(chǔ)，構(gòu)建的“X”型共軛剪切破裂-地震復(fù)合模型，用于分析軟弱異性體(如軟弱巖體，破碎固體，融化巖漿等)周圍巖體的應(yīng)力變化;推導(dǎo)了破裂尺寸計(jì)算公式，給出了地震能量的計(jì)算方法，并建立起地震、能量、共軛剪切破裂之間符合邏輯的數(shù)學(xué)關(guān)系;推演出共軛剪切破裂的生成及演化機(jī)理、共軛剪切破裂-地震的發(fā)生及活動(dòng)規(guī)律，明確了“X”型共軛剪切破裂-地震的物理意義，為研究斷層-地震機(jī)理及其規(guī)律提供了全新的研究思路和方法，有助于豐富斷層-地震研究的理論體系。

1 蝶形花瓣逆定理及其內(nèi)涵

蝶形花瓣逆定理是孔洞巖體蝶形破壞和Leau-Fatou花瓣逆定理的總稱?？锥磶r體蝶形破壞的概念來自于對(duì)圓形巷道圍巖塑性區(qū)分布規(guī)律[28-31]、圓形巷道蝶型沖擊地壓機(jī)理[32-33]、巷道蝶型煤與瓦斯突出機(jī)理[34]的研究，認(rèn)為巷道圍巖出現(xiàn)劇烈變形破壞時(shí)圍巖的破壞形狀為蝶形。2000年喬建永研究平面復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性問題，得到Leau-Fatou花瓣逆定理[26-27]，指出具有花瓣幾何形狀的不穩(wěn)定點(diǎn)的出現(xiàn)，可以很好的描述具有突變特征的非線性復(fù)雜動(dòng)力系統(tǒng)，即結(jié)構(gòu)的突然失穩(wěn)破壞。

1.1 巖體的蝶形破壞

文獻(xiàn)[28-31]指出，處于高偏應(yīng)力場(chǎng)中含有孔洞或軟弱異性體(圖1)的巖體將出現(xiàn)以軟弱異性體為中心的蝶形破壞區(qū)，如圖2所示，蝶形破壞區(qū)由4個(gè)蝶葉組成，分別位于最大主應(yīng)力和最小主應(yīng)力的兩側(cè)，兩兩對(duì)稱分布;兩個(gè)蝶葉軸線之間的夾角大體為80°～100°。圖2中，Px，Pz分別為水平主應(yīng)力與垂直主應(yīng)力;σ1，σ2，σ3為微小單元體i的最大、中間與最小主應(yīng)力。

圖1 自然界中真實(shí)存在的軟弱異性體Fig.1 Soft anisotropic bodies in nature① —軟弱巖體;② —破碎固體;③ —融化巖漿

圖2 高偏應(yīng)力場(chǎng)中圓形孔洞周圍的蝶形破壞Fig.2 Butterfly damage around circular holes in high deviated stress field

計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬結(jié)果證明，無論軟弱異性體是圓形還是矩形，甚至是各種不規(guī)則的其他形狀，也無論軟弱異性體周圍巖體是均質(zhì)還是非均質(zhì)的彈性體，只要存在高偏應(yīng)力場(chǎng)，都會(huì)出現(xiàn)蝶形或者殘缺蝶形的基本破壞形態(tài)，如圖3所示，數(shù)值分析模型為平面應(yīng)變模型，具體尺寸為2 000 m×2 000 m(截取顯示模型500 m×500 m);軟弱異性體位于地下15 km，上覆巖層平均容重取27 kN/m3;通過采集原位地震波數(shù)據(jù)，實(shí)際觀測(cè)出露地表的巖層組合剖面，以及實(shí)驗(yàn)室分析噴出火成巖的特性顯示:大陸地殼10～25 km深處以變質(zhì)巖或火成巖為主，且這一區(qū)域形成由花崗質(zhì)(強(qiáng)堿性)片麻巖組合巖體逐漸向富含角閃相的鎂鐵質(zhì)礦物組合過渡[35-36]。圖3(a)，(b)反映不同形狀((a)圓形與(b)矩形)軟弱異性體圍巖塑性破壞特征，且軟弱異性體周圍巖體為均質(zhì)彈性體，力學(xué)參數(shù)與應(yīng)力狀態(tài)取值分別為彈性模量E=50 GPa;泊松比μ=0.25;黏聚力C=24 MPa，內(nèi)摩擦角φ=46°;抗拉強(qiáng)度Rm=19 MPa;水平主應(yīng)力Px=2 025 MPa;圖3(c)，(d)中軟弱異性體位于非均質(zhì)層狀巖體中，水平主應(yīng)力Px取值分別為2 050 MPa和2 025 MPa，出現(xiàn)了蝶葉穿層與殘缺蝶形破壞，巖層力學(xué)參數(shù)取值分別見表1,2。(注:參照煤的物理力學(xué)參數(shù)取值，圖3中軟弱異性體為軟弱夾層，其自身的力學(xué)參數(shù)統(tǒng)一取E=1.27 GPa;μ=0.26;C=3 MPa;φ=18°;Rm=0.9 MPa)因此，對(duì)于軟弱異性體周圍巖體破壞規(guī)律的討論，可以借用圓形孔洞周圍的蝶形破壞理論結(jié)果。

表1 層狀巖體的力學(xué)參數(shù)Table 1 Physical mechanics parameters of layered rock masses

表2 堅(jiān)硬-軟弱互層的力學(xué)參數(shù)Table 2 Physical mechanics parameters of hard-weak inter-layers

文獻(xiàn)[28-31]以摩爾-庫(kù)侖破環(huán)準(zhǔn)則為判定條件，推導(dǎo)得出含圓形軟弱異性體圍巖蝶形破壞邊界的隱性方程為

(1)

式中，a為規(guī)則圓形軟弱異性體的半徑;Px(t)，Pz(t)分別為軟弱異性體圍巖所受區(qū)域水平主應(yīng)力和垂直主應(yīng)力，是時(shí)間t的函數(shù);q為軟弱異性體的反作用力;r，θ為極坐標(biāo)下的塑性破壞區(qū)邊界半徑和角度，θ∈[0,π]。

1.2 Leau-Fatou花瓣逆定理

花瓣圖像[26-27]是指某點(diǎn)周圍均勻分布若干個(gè)花瓣的數(shù)學(xué)圖形，如圖4所示。花瓣分為吸性花瓣和斥性花瓣，個(gè)數(shù)有奇數(shù)和偶數(shù)之分。

圖4 奇數(shù)花瓣和偶數(shù)花瓣(5葉與4葉花瓣)Fig.4 Odd number and even number of petals(5 leaves and 4 leaves)

花瓣逆定理從區(qū)域的形狀判斷吸引軸和排斥軸的分布，同時(shí)指出:出現(xiàn)花瓣形狀圖像時(shí)將會(huì)發(fā)生非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。其核心是應(yīng)用具有花瓣圖像的數(shù)學(xué)函數(shù)準(zhǔn)確描述系統(tǒng)對(duì)“初始值”的“敏感依賴性”，所謂對(duì)“初始條件的敏感依賴性”是非線性動(dòng)力現(xiàn)象的一個(gè)普遍特征，表達(dá)的含義是:給定初始值的函數(shù)在復(fù)平面空間中的迭代軌跡，即使很微小的改變，如計(jì)算中由四舍五入產(chǎn)生的小誤差，經(jīng)過迭代可能變得放大了，當(dāng)?shù)侥撤N狀態(tài)時(shí)微小的改變就導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)災(zāi)難性的破壞，而花瓣形狀圖像就是這一迭代軌跡表現(xiàn)出的極端不穩(wěn)定的幾何形態(tài)，也就是說確定性系統(tǒng)內(nèi)也存在著隨機(jī)性的反映，在時(shí)間足夠長(zhǎng)之后，也可能有不可預(yù)測(cè)的現(xiàn)象發(fā)生[37]。因此，可以從數(shù)學(xué)角度解釋自然界存在的穩(wěn)定狀態(tài)向非穩(wěn)定狀態(tài)的突變現(xiàn)象。

1.3 共軛剪切破裂-地震模型及其地震能計(jì)算

1.3.1共軛剪切破裂長(zhǎng)度Rmax的計(jì)算模型

數(shù)值模擬分析的結(jié)果[28,30]表明，當(dāng)?shù)纹茐膮^(qū)范圍較大時(shí)，破壞區(qū)的形狀為“X”形狀，與地質(zhì)“X”型共軛剪切破裂相似，如圖5所示，模型尺寸2 000 m×2 000 m，軟弱異性體及其圍巖力學(xué)參數(shù)與圖3(a),(b)相同，水平主應(yīng)力Px=2 180 MPa，垂直主應(yīng)力Pz=405 MPa。所以，如果定義“X”型共軛剪切破裂由中心點(diǎn)向外擴(kuò)展的長(zhǎng)度為破裂長(zhǎng)度Rmax，其中，Rmax為θ對(duì)應(yīng)塑性破壞區(qū)半徑r的極大值，則可以借用式(1)來進(jìn)行計(jì)算，改寫成簡(jiǎn)式為

Rmax=af(Px(t)，Pz(t)，C，φ，θmax，q)

(2)

1.3.2共軛剪切破裂-地震能量的計(jì)算

圖5 軟弱異性體周圍破壞區(qū)的“X”形狀Fig.5 “X” shape of the failure zone around the soft anisotropic body

對(duì)比圖2和圖4可知，蝶形破壞區(qū)形狀與4葉花瓣具有相似性。所以根據(jù)Leau-Fatou花瓣逆定理可以推斷，描述共軛剪切破裂長(zhǎng)度的式(2)將出現(xiàn)由逐漸擴(kuò)展到突然擴(kuò)展的突變現(xiàn)象。由此還可以推斷，基于圖2的蝶形破壞區(qū)力學(xué)模型進(jìn)行能量計(jì)算也將出現(xiàn)地震時(shí)能量突然釋放的現(xiàn)象。因此，可以在蝶形塑性區(qū)理論模型的基礎(chǔ)上通過能量計(jì)算，獲得地震前后整個(gè)模型能量的變化情況，即計(jì)算在“X”型共軛剪切破裂擴(kuò)展時(shí)釋放的地震能。

任何彈性介質(zhì)在受到外力作用時(shí)都會(huì)集聚彈性能，已知蝶形破壞區(qū)力學(xué)模型，設(shè)將該空間有界閉區(qū)域Ω任意分成n個(gè)子單元體ΔVi(i=1,2,…,n)，以ΔVi表示第i個(gè)子單元體的體積。微小單元體i受到3個(gè)主應(yīng)力的作用，大小分別為(圖6(a)):

σ1i≥σ2i≥σ3i

則該微小單元體的能量Ui為

2μi(σ1iσ2i+σ2iσ3i+σ3iσ1i)]ΔVi

式中，ui為微小單元體i的彈性應(yīng)變能密度;Ei，μi，σ1i，σ2i，σ3i分別為第i個(gè)微小單元體的彈性模量、泊松比，以及最大、中間與最小主應(yīng)力。

圖6 地震能量的計(jì)算模型Fig.6 Seismic energy calculated model

地震發(fā)生前，軟弱異性體及其周圍巖體已經(jīng)產(chǎn)生一定的塑性破壞，空間閉區(qū)域Ω轉(zhuǎn)變?yōu)閺椥驭竐和塑性Ωp(應(yīng)力極限平衡)兩種不同的區(qū)域，則子單元體分成ΔVe,i(i=1,2,…,m)，ΔVp,j(j=m+1,m+2,…,n)(其中Ωe∪Ωp=Ω)，i,j為彈性區(qū)與塑性破壞區(qū)的微小單元體變量，如圖6(b)所示。(假設(shè)整個(gè)空間區(qū)域范圍內(nèi)，塑性破壞區(qū)Ωp的微小單元體仍處于彈性狀態(tài)下)則整個(gè)空間閉區(qū)域的彈性能為

(3)

地震發(fā)生時(shí)，軟弱異性體周圍巖體塑性Ωp區(qū)域出現(xiàn)擴(kuò)展，擴(kuò)展時(shí)間為Δt，擴(kuò)展范圍為ΔΩp，整個(gè)空間閉區(qū)域的彈性能為

(4)

地震發(fā)生使得整個(gè)空間閉區(qū)域Ω的能量比前一時(shí)刻減小，這部分消耗的能量一部分用于巖石內(nèi)結(jié)晶晶格錯(cuò)位，部分生成熱量，還有一部分會(huì)引起巖體震動(dòng)并以地震波的形式傳播出去，即地震能。地震能其表達(dá)式為

Wm=β(Uep-U′ep)

(5)

式中，Wm為地震能，即地震發(fā)生時(shí)Δt秒釋放的以軟弱異性體圍巖形成的蝶形破壞為震中的震源能(本文假設(shè)Δt=1 s)，106J;β為震動(dòng)能因子，0<β<1，本文中β取值為0.5;Wm為一個(gè)以Px,y,z(t)為自變量的復(fù)合函數(shù)。

2 “X”型共軛剪切破裂形成機(jī)理及演化

2.1 “X”型共軛剪切破裂的形成機(jī)理

已建立的“X”型共軛剪切破裂-地震復(fù)合模型(圖7)，及其推導(dǎo)得出的“X”型共軛剪切破裂長(zhǎng)度的數(shù)學(xué)表達(dá)式(2)，可用于很好地定量描述共軛剪切破裂形成的力學(xué)機(jī)理:在高偏應(yīng)力場(chǎng)作用下，軟弱異性體周圍會(huì)形成蝴蝶形狀的高剪切應(yīng)力區(qū)，該區(qū)域內(nèi)的巖體與應(yīng)力狀態(tài)滿足摩爾-庫(kù)侖剪切破壞條件而遭到破壞，因而形成以軟弱異性體為中心的“X”型共軛剪切破裂，“X”型共軛剪切破裂長(zhǎng)度可通過式(1)，(2)求解。

由于數(shù)學(xué)力學(xué)分析方法的限制(無法完全按照自然界的實(shí)際條件進(jìn)行解析)，為便于理論計(jì)算，假設(shè)軟弱異性體為規(guī)則的圓形，位于地下深處h=15 km，半徑a=10 m，縱向長(zhǎng)度L=10 km，軟弱異性體周圍2.5 km半徑范圍內(nèi)的巖體為花崗巖(圖7)。容重取γ=27 kN/m3，軟弱異性體周圍巖體泊松比μ=0.25，彈性模量E=50 GPa，黏聚力C=24 MPa，內(nèi)摩擦角φ=46°;破壞后塑性巖體泊松比μp=0.35;假設(shè)軟弱異性體圍巖處于均勻應(yīng)力場(chǎng)中，即Px=Pz=γh=405 MPa(等壓狀態(tài));為了分析的方便，設(shè)構(gòu)造應(yīng)力場(chǎng)變化中垂直主應(yīng)力Pz(t)=405 MPa，并不隨時(shí)間的變化而改變。則“X”型共軛剪切破裂-地震復(fù)合模型中只存在水平主應(yīng)力Px(t)一個(gè)與時(shí)間有關(guān)的自變量，其余參數(shù)都已給出確定值。于是，令Pz(t)=405 MPa，Px(t)=2 583 MPa，a=10 m，C=24 MPa，φ=46°，q=202.5 MPa，可計(jì)算得到“X”型共軛剪切破裂的具體長(zhǎng)度Rmax=r=303.55 m，如圖7所示。

圖7 “X”型共軛剪切破裂尺寸的計(jì)算結(jié)果(地下深處15 km)Fig.7 Calculational results of “X” conjugate shear fracture’s radius (It’s 15 kilometers underground)

2.2 “X”型共軛剪切破裂的演化特性

斷裂活動(dòng)和地震的發(fā)生都與集中于地殼內(nèi)部構(gòu)造應(yīng)力場(chǎng)的作用密切相關(guān)[38]。以水平主應(yīng)力Px(t)為自變量，通過公式(1)計(jì)算得到單位時(shí)間每增加1 MPa，“X”型共軛剪切破裂長(zhǎng)度擴(kuò)展變化量ΔR，如圖8所示。以Px=Pz=405 MPa的等壓狀態(tài)為中心，曲線右側(cè):隨水平主應(yīng)力增大，ΔR呈正指數(shù)型增長(zhǎng);曲線左側(cè):隨水平主應(yīng)力減小，ΔR呈負(fù)指數(shù)型增長(zhǎng);定義曲線右側(cè)隨水平主應(yīng)力增大形成水平高偏應(yīng)力場(chǎng)為擠壓應(yīng)力區(qū)域，相應(yīng)的隨水平主應(yīng)力減小形成的垂直高偏應(yīng)力場(chǎng)為張拉應(yīng)力區(qū)域;以擠壓應(yīng)力區(qū)為例進(jìn)一步分析，當(dāng)Px(t)≥2 583 MPa后(該拐點(diǎn)處曲線的斜率k=1)，對(duì)應(yīng)的破裂長(zhǎng)度增量ΔR變化曲線近乎與x軸垂直，此時(shí)已形成“X”型共軛剪切破裂(圖5)，即數(shù)學(xué)上Leau-Fatou花瓣逆定理描述的4葉花瓣圖形，則地殼軟弱異性體與周圍巖體組成的非線性動(dòng)力系統(tǒng)對(duì)于“初始狀態(tài)”具有敏感依賴性。也就是說，在一定地應(yīng)力和圍巖環(huán)境中，破裂的擴(kuò)展對(duì)處于“初始狀態(tài)”下的條件變化具有敏感依賴性，地應(yīng)力和地層強(qiáng)度的微小變化將會(huì)引發(fā)“X”型共軛剪切破裂的不斷擴(kuò)展，有時(shí)甚至是劇烈擴(kuò)展。

圖8 水平應(yīng)力增量為1 MPa時(shí)，破裂尺寸增量ΔR的變化關(guān)系Fig.8 Curves of the increment ΔR of fractures as the horizontal stress increment is 1 MPa

2.3 “X”型、“Y”型與“V”型共軛剪切破裂特征的成因

“X”型共軛節(jié)理(破裂)是一種普遍存在的節(jié)理系統(tǒng)，規(guī)模大，長(zhǎng)度一般由數(shù)千米到十千米，最長(zhǎng)30 km，表3所示理論計(jì)算得到的“X”型共軛剪切破裂尺寸Rmax與自然界中真實(shí)存在的“X”型共軛剪切破裂長(zhǎng)度相吻合[39-40]。地質(zhì)學(xué)家通過露頭地層剖面記錄到復(fù)雜的共軛破裂體系整體呈“X”型、“Y”型和“V”型的共軛特征[41]，可由式(1)的計(jì)算結(jié)果很好地定量解釋。如圖7所示，當(dāng)A,B和C區(qū)域都為軟弱巖層時(shí)，軟弱異性體周圍巖體會(huì)呈現(xiàn)出“X”型共軛破壞特征;如果B,C為強(qiáng)度高的堅(jiān)硬巖層，軟弱異性體仍然位于軟弱巖層A中，則共軛剪切破裂的發(fā)展會(huì)受到堅(jiān)硬巖層的阻斷，從而形成“V”型共軛破裂。位于猶他州漢克斯維爾的Entrada和Curtis地層中共軛破裂的現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)充分證實(shí)了這一點(diǎn):“V”型共軛破裂交叉點(diǎn)集中在富含淤泥的軟弱地層中并沿著軟弱巖層發(fā)育明顯[42-43]。數(shù)值模擬反演結(jié)果也普遍證實(shí)了:破裂交叉點(diǎn)附近的幾何特征和軟弱巖性?shī)A層可能對(duì)共軛破裂的生長(zhǎng)和發(fā)展產(chǎn)生強(qiáng)烈影響[43];當(dāng)共軛剪切破裂某個(gè)發(fā)展方向上巖體強(qiáng)度比軟弱異性體周圍巖體的強(qiáng)度高(圖7中C區(qū)域?yàn)閳?jiān)硬巖層，A,B區(qū)域?yàn)檐浫鯉r層)，則該方向的破裂發(fā)展就會(huì)受到限制，從而呈現(xiàn)出“Y”型的共軛特征;如果軟弱異性體周圍只有一個(gè)方向上為軟弱巖層(圖7中B為軟弱巖層，其余區(qū)域?yàn)閳?jiān)硬巖層)，則會(huì)形成單個(gè)的破裂特征。綜上分析可知，共軛剪切破裂的擴(kuò)展對(duì)于地層強(qiáng)度的微小變化具有敏感依賴性，它既可以引發(fā)“X”型共軛破裂的不斷擴(kuò)展，也可以使得花瓣缺失或殘缺，出現(xiàn)不完整蝶形的形態(tài)，即軟弱異性體周圍巖體強(qiáng)度特征變化，使得共軛破裂表現(xiàn)出“X”,“V”,“Y”型共軛特征，圖9數(shù)值模擬結(jié)果充分驗(yàn)證了理論分析的真實(shí)性。其中，數(shù)值模型、應(yīng)力條件、規(guī)則圓形軟弱異性體尺寸及圍巖力學(xué)參數(shù)(選用圖3(d)的參數(shù))如圖3所示。

表3 不同水平主應(yīng)力對(duì)應(yīng)“X”型共軛破裂尺寸的計(jì)算結(jié)果Table 3 Calculational results of different horizontal principal stresses corresponding to “X” conjugate fracture’s radius

注:假設(shè)Pz=405 MPa;q=202.5 MPa。

圖9 不同類型共軛剪切破裂形成的數(shù)值模擬結(jié)果Fig.9 Numerical simulation results of shear fractures formation of different types

3 地震與“X”型共軛剪切破裂一次性擴(kuò)展尺寸的關(guān)系

在“X”型共軛剪切破裂-地震復(fù)合模型及共軛剪切破裂尺寸數(shù)學(xué)表達(dá)(式(2))的基礎(chǔ)上，從數(shù)學(xué)上推演得到的地震釋放能量計(jì)算式(5)，可以明確“X”型共軛剪切破裂一次性擴(kuò)展長(zhǎng)度與地震釋放能量大小的關(guān)系。如圖10所示，當(dāng)水平應(yīng)力增量ΔPx=1 MPa/s時(shí)，應(yīng)用式(2),(5)分別計(jì)算得到共軛剪切破裂尺寸一次性擴(kuò)展量ΔR、地震釋放能量Wm和相應(yīng)里氏震級(jí)ML。分析表明:隨水平主應(yīng)力Px的變化，地震釋放能量Wm與地震震級(jí)ML具有同共軛剪切破裂一次性擴(kuò)展量ΔR相同的指數(shù)型增長(zhǎng)趨勢(shì);同時(shí)可以看出，ΔR和Wm都是水平主應(yīng)力Px的單值函數(shù)，二者之間是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。當(dāng)圖中的水平應(yīng)力不斷增加或減小，“X”型共軛剪切破裂也在不斷擴(kuò)展，“X”型共軛剪切破裂尺寸與地震釋放的能量相對(duì)于水平主應(yīng)力Px的變化具有同步性，地震與“X”型共軛剪切破裂擴(kuò)展之間為相互伴生關(guān)系，它們同時(shí)出現(xiàn)，也同時(shí)消失。

圖10 破裂尺寸一次性擴(kuò)展量、釋放能量與地震震級(jí)Fig.10 One-time expansion of the size of fractures,release energy and seismic magnitude

表4為不同破裂尺寸條件下水平應(yīng)力擾動(dòng)為0.1 MPa時(shí)，“X”型共軛剪切破裂尺寸增量ΔR、地震能Wm與對(duì)應(yīng)里氏震級(jí)計(jì)算結(jié)果，圍巖力學(xué)參數(shù)與圖3數(shù)值模擬選用參數(shù)保持一致?？梢钥闯?，“X”型共軛剪切破裂擴(kuò)展一次釋放的能量級(jí)別可以涵蓋自然發(fā)生的各種地震震級(jí)和每次地震震中釋放的能量;相同的應(yīng)力擾動(dòng)在不同的應(yīng)力狀態(tài)下引發(fā)“X”型共軛剪切破裂一次性擴(kuò)展的尺度不同，從而引發(fā)不同級(jí)別的地震(例如水平應(yīng)力Px=2 591 MPa時(shí)，增加0.1 MPa，破裂一次性擴(kuò)展2.4 m，釋放的能量量級(jí)可達(dá)1013，相當(dāng)于里氏6.0級(jí)地震)。對(duì)于一般地質(zhì)力學(xué)條件下“X”型共軛剪切破裂引發(fā)地震的能量計(jì)算，式(5)同樣適用，而且會(huì)得出與本文給出的完全相同的結(jié)論。

表4 “X”型共軛剪切破裂尺寸增量ΔR、地震能Wm與對(duì)應(yīng)里氏震級(jí)計(jì)算結(jié)果Table 4 Calculational results of increment ΔR of “X” conjugate fracture’s radius,seismic energy Wm and corresponding Richter Magnitude

4 自然地震對(duì)微小應(yīng)力的敏感依賴

“X”型共軛剪切破裂-地震復(fù)合模型用定量方法解釋了許多微小應(yīng)力變化觸發(fā)自然界中較大地震的現(xiàn)象。根據(jù)式(5)可以求得不同應(yīng)力環(huán)境下，水平應(yīng)力擾動(dòng)分別為1，10-1，10-2，10-3，10-4，10-5，10-6，10-7和10-8MPa/s時(shí)，引發(fā)地震所釋放的能量與對(duì)應(yīng)的震級(jí)(里氏震級(jí)通過公式lgE=11.8+1.5Ms換算得到[44],Ms為面波震級(jí)，見表5)。需要指出:地應(yīng)力本身是沒有時(shí)間概念的，水平應(yīng)力擾動(dòng)是有作用時(shí)間的，文中水平應(yīng)力擾動(dòng)是以秒為單位，反映出每秒釋放的能量。由表5可以看出，對(duì)于相同應(yīng)力狀態(tài)的“X”型共軛剪切破裂來說，擾動(dòng)應(yīng)力ΔPx值越大則發(fā)生地震的震級(jí)越高。相同于“X”型共軛剪切破裂擴(kuò)展對(duì)應(yīng)力狀態(tài)和區(qū)域圍巖強(qiáng)度的敏感依賴性，地震對(duì)于“X”型共軛剪切破裂所處的應(yīng)力狀態(tài)和區(qū)域圍巖強(qiáng)度(震前狀態(tài))也同樣具有敏感依賴性，微小、甚至極其微小的應(yīng)力擾動(dòng)即可觸發(fā)大級(jí)別的自然地震，很好地解釋了自然界中普遍存在的僅僅0.01 MPa甚至更微小的應(yīng)力變化觸發(fā)地震的現(xiàn)象[45-47]。例如，蘇門答臘-安達(dá)曼地震(M9.0，2004)(the Sumatra-Andaman earthquake)震后僅0.01 MPa的局部應(yīng)力擾動(dòng)就引發(fā)附近M8.6地震[48];汶川M8.0地震發(fā)生后，與其震中相隔85 km的廬山地震(Ms=7.0)前后應(yīng)力變化0.02～0.04 MPa(0.2～0.4 bar)[49];甚至距離3 100 km處Mw=7.9Denali地震震中(美國(guó)阿拉斯加)產(chǎn)生的0.16～0.22 MPa動(dòng)態(tài)觸發(fā)應(yīng)力，亦可引發(fā)有感地震[50];日本北部Iwate火山巖漿膨脹使得區(qū)域應(yīng)力場(chǎng)發(fā)生變化，0.33 MPa的應(yīng)力增加引發(fā)了Ms=6.1級(jí)地震[51];此外，平均量級(jí)103Pa的固體潮汐應(yīng)力、地球自轉(zhuǎn)以及人類活動(dòng)等產(chǎn)生的應(yīng)力擾動(dòng)也可對(duì)地震的發(fā)生產(chǎn)生重要影響[52-55]。

表5 不同觸發(fā)應(yīng)力Px，地震能Wm與對(duì)應(yīng)里氏震級(jí)計(jì)算結(jié)果(圍巖力學(xué)參數(shù)選取同表3,4)Table 5 Calculational results of different trigger stresses Px,seismic energy Wm and corresponding Richter Magnitude (The surrounding rock mechanics parameters are shown in Table 3,4)

表5 不同觸發(fā)應(yīng)力Px，地震能Wm與對(duì)應(yīng)里氏震級(jí)計(jì)算結(jié)果(圍巖力學(xué)參數(shù)選取同表3,4)Table 5 Calculational results of different trigger stresses Px,seismic energy Wm and corresponding Richter Magnitude (The surrounding rock mechanics parameters are shown in Table 3,4)

觸發(fā)應(yīng)力ΔPx/(MPa·s-1)地震能/JPx=1 100 MPaPx=2 420 MPaPx=2 598 MPa里氏震級(jí)Px=1 100 MPaPx=2 420 MPaPx=2 598 MPa17.87×1093.56×10123.32×10163.45.27.810-17.86×1083.27×10111.62×10152.74.56.910-27.86×1072.08×10101.54×10142.13.76.310-37.86×1062.08×1091.56×10131.43.05.610-47.85×1052.08×1081.19×10120.72.34.810-57.5×1042.08×1071.47×10110.11.74.210-65.00×1032.07×1061.97×108—1.02.310-7—2.05×1051.96×107—0.31.710-8—2.00×1041.95×106——1.0

5 結(jié) 論

(1)應(yīng)用“X”型共軛剪切破裂-地震復(fù)合模型的理論計(jì)算結(jié)果推演了共軛剪切破裂形成的力學(xué)機(jī)理:在高偏應(yīng)力場(chǎng)作用下，軟弱異性體周圍巖體會(huì)形成蝴蝶形狀的高剪切應(yīng)力區(qū)，該區(qū)域內(nèi)的巖體與應(yīng)力狀態(tài)滿足摩爾—庫(kù)侖剪切破壞條件而遭到破壞，因而形成以軟弱異性體為中心的“X”型共軛剪切破裂。

(2)軟弱異性體周圍巖體強(qiáng)度特征變化，使得共軛破裂表現(xiàn)出“X”,“V”,“Y”型共軛特征;共軛剪切破裂尺寸一次性擴(kuò)展與地震釋放能量具有同步性，即地震與“X”型共軛剪切破裂是相互伴生關(guān)系，它們同時(shí)出現(xiàn)，并同時(shí)消失。

(3)在實(shí)際地層中存在某種地應(yīng)力環(huán)境，使得地殼軟弱異性體與其周圍巖體組成的非線性動(dòng)力系統(tǒng)對(duì)于“初始狀態(tài)”具有敏感依賴性，“初始狀態(tài)”可以是軟弱異性體自身的形狀、尺寸，也可以是所受應(yīng)力環(huán)境和周圍巖體物理力學(xué)性質(zhì)。也就是說，某些情況下，地應(yīng)力的微小變化會(huì)引發(fā)“X”型共軛剪切破裂的較大擴(kuò)展和較大地震。