軟拓撲空間軟連通分支的研究

馬秋麗，王小霞，阮蒙蒙

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，陜西延安716000)

1999年Molodtsov D率先在文[1]中提出軟集理論，從此，軟集理論作為一個新興的交叉研究方向，吸引了國際眾多研究者的關(guān)注，文獻[2-5]中引入軟鄰域、軟閉包等等相關(guān)概念，文獻[6]中定義了軟子集，文獻[7]中研究了軟拓撲緊子空間的性質(zhì)，文獻[8]中研究了軟拓撲空間中的分離性，給出了軟T0，T1，T2，T3，T4空間定義及性質(zhì)，文獻[9]中給出了軟T5空間，完善了軟拓撲空間的分離性的研究，文獻[10]中探究了軟拓撲空間的連通性。本文在軟拓撲空間的連通性的基礎(chǔ)上，定義了軟連通分支，給出了軟拓撲空間(U,τ,E)中軟連通分支的等價刻畫，進一步研究了軟連通分支的性質(zhì)。

1 預(yù)備知識

定義1.1[1]如果F是從A→(U)的映射，則稱(F,A)為論域U上的軟集，論域U上的全體軟集構(gòu)成的集族，記作SSE(U)。

定義1.4[10]τ是論域U上帶有固定參數(shù)集E的軟集族，如果

(1)?E，UE屬于τ；

(2)在τ中的任意軟集的并仍屬于τ；

(3)在τ中有限軟集的交仍屬于τ。

則τ稱為U上的軟拓撲，記作(U,τ，E)，(U，τ，E)中所有的元素都是軟開集。

2 主要結(jié)果

由以上定義可知，軟點FAx，F(xiàn)Ay和FAz同時在(X，τ，E)中，則有

(1)FAx和FAx軟連通；

(2)如果FAx和FAy軟連通，則FAy和FAx也是連軟通的；

(3)如果FAx和FAy軟連通，且FAz和FAx也是軟連通的，則有FAx和FAz是軟連通的。

由以上的定義可以得到，軟點的軟連通關(guān)系是等價關(guān)系。

定義2.2 將軟拓撲空間(U，τ，E)中軟點的軟連通的等價類稱為(U，τ，E)的軟連通分支。

定理2.2 設(shè)(U，τ，E)是軟拓撲空間，如果(X，τ，E)是(U，τ，E)上的軟連通分支，則有

(2)(X，τ，E)是一個軟連通子集；

(3)(X，τ，E)是一個軟閉集。

定理2.4 設(shè)(U，τ，E)是軟拓撲空間，若(U，τ，E)中只存在有限個軟連通分支，則(U，τ，E)中的任意的軟連通分支都是軟拓撲空間(U，τ，E)中的既軟開又軟閉的。