一種高動(dòng)態(tài)低信噪比衛(wèi)星導(dǎo)航信號(hào)捕獲方法

王 騰

(北京自動(dòng)化控制設(shè)備研究所，北京 100074)

0 引言

在室內(nèi)、隧道、密林等具有遮擋的應(yīng)用環(huán)境中，衛(wèi)星導(dǎo)航信號(hào)的信號(hào)強(qiáng)度通常非常微弱[1]。為了在低信噪比的情況下捕獲到衛(wèi)星導(dǎo)航信號(hào)，接收機(jī)可以進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間的相干積分來(lái)提高信號(hào)處理增益及捕獲概率，采用輔助全球衛(wèi)星定位系統(tǒng)(Assisted Global Positioning System，AGPS)方案的接收機(jī)甚至能夠消除數(shù)據(jù)比特跳變的影響而將相干積分時(shí)間延長(zhǎng)至數(shù)百毫秒[2]。然而，在高動(dòng)態(tài)、低信噪比的環(huán)境下，信號(hào)的多普勒頻率變化率會(huì)導(dǎo)致本地樣本信號(hào)與輸入信號(hào)在長(zhǎng)積分時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)較大的頻率誤差，相干積分處理增益受到大幅衰減[3]。非相干積累對(duì)頻率偏差不敏感，但是累加過(guò)程中存在嚴(yán)重的平方損耗[4]，增加非相干積分時(shí)間所獲得的積分增益很有限。因此，傳統(tǒng)的時(shí)、頻域捕獲算法的捕獲靈敏度和動(dòng)態(tài)性能通常是矛盾的。

與傳統(tǒng)傅里葉變換相比，分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(Fractional Fourier Transform, FrFT)增加了一個(gè)調(diào)頻率參數(shù)，具有更高的自由度并且更適用于處理線性調(diào)頻信號(hào)[7]。而帶有多普勒頻率變化率的衛(wèi)星導(dǎo)航信號(hào)則是一種典型的線性調(diào)頻信號(hào)，利用FrFT來(lái)處理高動(dòng)態(tài)衛(wèi)星導(dǎo)航信號(hào)有望解決捕獲靈敏度和動(dòng)態(tài)性能之間的矛盾。例如，F(xiàn)an等利用了離散chirp傅立葉變換來(lái)估計(jì)接收信號(hào)的多普勒頻率以及頻率變化率，但是當(dāng)頻率變化率較大時(shí)估計(jì)誤差很大[5]。Xia等則給出了一種FrFT的方法來(lái)處理高動(dòng)態(tài)衛(wèi)星導(dǎo)航信號(hào)，但并沒(méi)有就微弱信號(hào)的捕獲性能進(jìn)行分析[6]。此外，F(xiàn)rFT還存在與快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT)計(jì)算復(fù)雜度相近的離散計(jì)算方法，便于工程應(yīng)用[8]。因此，有必要研究基于FrFT的高動(dòng)態(tài)、低信噪比衛(wèi)星導(dǎo)航信號(hào)捕獲方法。

本文提出了一種基于FrFT和部分匹配濾波(Partial Matched Filter，PMF)的快速捕獲算法。算法首先利用PMF對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行分段積分，隨后借助FFT對(duì)分段積分結(jié)果做離散快速FrFT。由于具有多普勒頻率變化率的衛(wèi)星導(dǎo)航信號(hào)能夠在分?jǐn)?shù)域呈現(xiàn)能量聚焦，所提算法可以獲得比傳統(tǒng)PMF-FFT算法[8]更高的處理增益，因此捕獲概率以及捕獲靈敏度均能得到改善。最后，本文對(duì)所提算法的計(jì)算復(fù)雜度、捕獲時(shí)間以及捕獲概率進(jìn)行了理論分析和仿真驗(yàn)證，并與傳統(tǒng)的PMF-FFT方法進(jìn)行了對(duì)比。

1 信號(hào)模型

以GPS L1頻點(diǎn)的中頻信號(hào)為例，考慮包含多普勒頻率以及多普勒頻率變化率的動(dòng)態(tài)場(chǎng)景，那么接收機(jī)收到的中頻復(fù)信號(hào)可以表示為

s(t)=D(t-τ)C(t-τ)ej2π(fi+f0)t+jπfat2+n(t)

(1)

其中，D(t-τ)為數(shù)據(jù)編碼，C(t-τ)為擴(kuò)頻碼，τ為傳播時(shí)延，fi為中頻頻率，f0為多普勒起始頻率，fa為多普勒頻率變化率，也稱調(diào)頻率。對(duì)式(1)做分段相干積分后的復(fù)信號(hào)輸出可以表示為

(2)

其中，R為碼自相關(guān)函數(shù)，Δτ為碼相位延遲誤差，ts為采樣時(shí)間間隔，Δf0為樣本信號(hào)和接收信號(hào)間的初始頻移誤差，Nc為分段相干積分長(zhǎng)度，N(n)為零均值復(fù)高斯白噪聲，n表示第n段分段相干積分。

假設(shè)θ(t)2πΔf0t+πfat2，且多普勒頻率變化率fa在整個(gè)積分區(qū)間0到Nctsn內(nèi)保持不變，那么積分區(qū)間內(nèi)的平均角速度可以表示為

(3)

相應(yīng)地，式(2)可以變?yōu)?/p>

(4)

由式(4)可以看到，頻率誤差會(huì)導(dǎo)致積分輸出帶有衰減因子sinc[(Δf0+Nctsn/2)(Ncts)]。當(dāng)接收信號(hào)存在多普勒頻率變化率fa時(shí)，延長(zhǎng)相干積分時(shí)間會(huì)導(dǎo)致頻率誤差Δf0不斷增大，并使得積分增益不斷降低。由文獻(xiàn)[2]可知，當(dāng)頻偏超過(guò)0.44/Ncts時(shí)，功率衰減會(huì)超過(guò)3dB。

2 PMF-FrFT捕獲算法及性能分析

2.1 PMF-FrFT捕獲算法

由文獻(xiàn)[7]可知，信號(hào)x(t)的FrFT可以表述為

(5)

對(duì)調(diào)頻率為fa的線性調(diào)頻信號(hào)做角度為α=arccot(2πfa)的FrFT之后，原始的(t,ω)時(shí)頻平面將轉(zhuǎn)換至分?jǐn)?shù)域平面(u,v)，信號(hào)功率將會(huì)在該平面聚焦。通過(guò)檢測(cè)聚焦峰值的位置，可以估計(jì)得到多普勒頻率及多普勒頻率變化率。

為了便于工程實(shí)現(xiàn)，文獻(xiàn)[8]給出了一種分解型的FrFT快速計(jì)算方法并獲得了廣泛的應(yīng)用，F(xiàn)rFT的離散形式可以表示為

(6)

式(6)為信號(hào)的離散卷積形式，可以借助FFT來(lái)快速實(shí)現(xiàn)。但是由于F未必是整數(shù)，時(shí)域信號(hào)的2F倍內(nèi)插在衛(wèi)星定位接收機(jī)中難以實(shí)現(xiàn)。為此，本文采用2倍內(nèi)插來(lái)代替2F倍內(nèi)插。如圖1所示，PMF-FrFT算法的具體實(shí)現(xiàn)方式如下。

圖1 所提PMF-FrFT算法流程圖Fig.1 The diagram of the proposed PMF-FrFT algorithm

步驟1：采用PMF法對(duì)中頻接收信號(hào)進(jìn)行總長(zhǎng)度為NNcts的相干積分，每段相干積分長(zhǎng)度為Ncts，相干積分輸出結(jié)果如式(4)所示；

步驟2：利用FFT對(duì)式(4)的結(jié)果S(n)做2倍sinc插值，具體操作如式(7)所示

(7)

其中，S(n/2)表示2倍sinc插值，S0(n/2)表示2倍補(bǔ)零內(nèi)插，F(xiàn)FT(·)、IFFT(·)分別表示快速傅里葉變換以及逆快速傅里葉變換。

步驟3：利用FFT實(shí)現(xiàn)式(6)中的卷積運(yùn)算

(8)

步驟4：修正系數(shù)，完成離散快速FrFT運(yùn)算

(9)

步驟5：以Δfa為調(diào)頻率搜索步長(zhǎng)在區(qū)間[fl,fu]內(nèi)重復(fù)步驟2～4，比較公式的輸出峰值，根據(jù)輸出最大峰值的位置以及相應(yīng)的變換階次得到多普勒頻率變化率和多普勒頻率偏差的估計(jì)值[9]，完成信號(hào)的捕獲。其中fu為階次搜索范圍的上界，fl則為下界

(10)

2.2 性能分析

2.2.1 計(jì)算復(fù)雜度

PMF-FrFT算法與傳統(tǒng)PMF-FFT算法運(yùn)算量的不同主要體現(xiàn)在FrFT運(yùn)算上。由于2N點(diǎn)的FFT所需復(fù)乘次數(shù)為2Nlog2(2N)[11]，而步驟2、3均通過(guò)3次2N點(diǎn)FFT運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)，那么步驟2～4共需復(fù)乘次數(shù)ο=6×(2N)log(2N)+8N。此外，PMF-FrFT算法需要在調(diào)頻率區(qū)間[fl,fu]內(nèi)進(jìn)行搜索，除去運(yùn)算量相同的PMF部分，PMF-FrFT算法的計(jì)算量是傳統(tǒng)PMF-FFT的6|fu-fl|/Δfa以上，呈線性增長(zhǎng)關(guān)系。在實(shí)際應(yīng)用中，可以借助載體運(yùn)動(dòng)的先驗(yàn)信息或者諸如文獻(xiàn)[10]和文獻(xiàn)[15]中的搜索方法來(lái)縮小調(diào)頻率搜索區(qū)間，減少所提算法的計(jì)算量。

2.2.2 虛警概率及檢測(cè)概率

虛警概率是由進(jìn)入檢測(cè)模塊中噪聲的分布與其預(yù)置門限的關(guān)系決定的。當(dāng)信號(hào)不存在時(shí)，送入恒虛警檢測(cè)器的FrFT輸出結(jié)果服從自由度為4的中心χ2分布[12]，假設(shè)判決門限為η，那么將其中一點(diǎn)輸出結(jié)果送入門限檢測(cè)器中的虛警概率為

由于FrFT的輸出結(jié)果具有相同的概率分布，當(dāng)采用最大值判決的MAX準(zhǔn)則時(shí)，虛警情形等于所有判決量均不虛警情形的補(bǔ)集[13]，即總虛警概率為

(11)

而當(dāng)信號(hào)存在時(shí)，觀測(cè)量服從自由度為4的非中心χ2分布[12]，將其中一點(diǎn)輸出結(jié)果送入門限檢測(cè)器中的捕獲概率可表示為

(12)

其中，Q2(·,·)為廣義Marcum Q函數(shù)，I1(·)為一階修正貝塞爾函數(shù)。由于虛警概率較低，假設(shè)檢測(cè)過(guò)程中不發(fā)生虛警，而任意點(diǎn)都有可能捕獲到信號(hào)，因此最終的檢測(cè)概率可以表示為

(13)

由式(11)可以看到，由于要在多個(gè)分?jǐn)?shù)域進(jìn)行搜索檢測(cè)，因此在檢測(cè)門限相同的情況下，搜索次數(shù)越多虛警概率則越大，在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中應(yīng)盡量縮小階次搜索范圍，同時(shí)適當(dāng)提高檢測(cè)門限;而從式(12)和式(13)可以看出，所提算法的檢測(cè)概率僅和檢測(cè)門限以及檢測(cè)信噪比有關(guān)，這和傳統(tǒng)PMF-FFT算法是一致的，即使檢測(cè)門限因虛警概率而有所提高，所提算法仍然可以通過(guò)延長(zhǎng)相干積分時(shí)間來(lái)提高檢測(cè)信噪比，進(jìn)而提高檢測(cè)概率。

2.2.3 平均捕獲時(shí)間

文獻(xiàn)[14]給出了傳統(tǒng)PMF-FFT的捕獲時(shí)間，類似地，PMF-FrFT的平均捕獲時(shí)間可以表示為

(14)

其中，PFA表示虛警概率，Kp為校驗(yàn)懲罰因子，q為碼相位搜索單元，Pd,a為信號(hào)加速度為α?xí)r的檢測(cè)概率，Tfrft為一次FrFT所需的時(shí)間。在工程應(yīng)用中，采用現(xiàn)場(chǎng)可編程門陣列(Field Programmable Gate Array, FPGA)進(jìn)行FFT運(yùn)算所需的時(shí)間可低至微秒級(jí)[17]，那么本文所提的FrFT快速實(shí)現(xiàn)算法所需的運(yùn)算時(shí)間也能控制在微秒級(jí)。只要在合理的區(qū)間內(nèi)進(jìn)行調(diào)頻率搜索，平均捕獲時(shí)間并不會(huì)因此而大幅增加。相反，在低信噪比的環(huán)境下，由于通過(guò)長(zhǎng)時(shí)間相干積分提高了捕獲概率，平均捕獲時(shí)間與無(wú)法采用長(zhǎng)時(shí)間相干積分的PMF-FFT算法相比反而有可能會(huì)大幅度降低。

3 仿真分析

本節(jié)利用蒙特卡羅仿真對(duì)所提PMF-FrFT算法的捕獲概率和捕獲時(shí)間進(jìn)行了驗(yàn)證分析。為了突出所提算法的優(yōu)勢(shì)，仿真以AGPS高精度接收機(jī)接收GPS L1頻點(diǎn)信號(hào)為例，因此忽略了比特翻轉(zhuǎn)對(duì)于相干積分時(shí)間的限制。初始頻率偏差為0Hz，分段匹配濾波的長(zhǎng)度為1ms，調(diào)頻率搜索步長(zhǎng)根據(jù)相干積分對(duì)于頻率偏差的容忍度設(shè)為5Hz/s，動(dòng)態(tài)性能考慮10g和25g兩種情況。此外，仿真也給出了傳統(tǒng)PMF-FFT算法的捕獲性能用于對(duì)比分析。仿真參數(shù)設(shè)置如表1所示。

首先對(duì)所提算法的捕獲性能進(jìn)行仿真分析。圖2給出了PMF-FrFT算法在不同虛警概率下的捕獲概率仿真曲線和式(13)理論曲線的對(duì)比。從圖2中可以看出，仿真曲線與理論曲線十分接近，因此可以證明式(13)的正確性。仿真曲線比理論曲線稍差是因?yàn)镕rFT對(duì)多普勒頻率變化率的估計(jì)精度是有限的，無(wú)法保證信號(hào)能量完全聚焦。

圖2 不同虛警概率下PMF-FrFT的檢測(cè)性能，加速度25gFig.2 Detection probability curves of the PMF-FrFT for different false alarm probabilities, with the acceleration of 25g

圖3分別給出了不同動(dòng)態(tài)、不同相干積分時(shí)間條件下PMF-FrFT與PMF-FFT算法的捕獲概率曲線。由文獻(xiàn)[2]可知，當(dāng)加速度為10g時(shí)，PMF-FFT算法的最優(yōu)相干積分時(shí)間為26ms，25g時(shí)則縮短至16ms。如圖3所示，由于頻率變化率的存在，頻率偏差隨著相干積分時(shí)間的增加而不斷增大，在超過(guò)最優(yōu)相干積分時(shí)間之后繼續(xù)延長(zhǎng)相干積分時(shí)間反而會(huì)降低捕獲概率。當(dāng)加速度為10g、相干積分延長(zhǎng)至60ms時(shí)，PMF-FFT將難以獲得積分增益，捕獲概率趨近于0；同樣地，當(dāng)加速度為25g、相干積分延長(zhǎng)至40ms時(shí)，捕獲概率將趨近于0。相反，由于不受頻率變化率的影響，所提PMF-FrFT算法能夠在相同載噪比和積分時(shí)間的條件下獲得比PMF-FFT更高的捕獲概率，并且可以通過(guò)不斷延長(zhǎng)相干積分時(shí)間來(lái)改善捕獲靈敏度。如圖3所示，當(dāng)加速度為10g時(shí)，PMF-FrFT通過(guò)將積分時(shí)間延長(zhǎng)至512ms來(lái)將捕獲靈敏度從PMF-FFT的28dB·Hz降低至16dB·Hz；而當(dāng)加速度為25g時(shí)，PMF-FrFT仍可采用512ms的相干積分將捕獲靈敏度從PMF-FFT的30dB·Hz降低至16dB·Hz。

(a)加速度10g

(b)加速度25g圖3 PMF-FrFT與PMF-FFT的捕獲概率對(duì)比， 虛警概率為0.01Fig.3 Detection probability comparions between PMF-FrFT and PMF-FFT, with the false alarm probability of 0.01

最后，對(duì)PMF-FrFT的捕獲時(shí)間進(jìn)行仿真分析。假設(shè)虛警概率為0.01，載體加速度為25g，碼搜索單元為2046個(gè)，頻率搜索區(qū)間為1個(gè)，調(diào)頻率搜索區(qū)間為10g～25g，圖4給出了所提算法與傳統(tǒng)PMF-FFT算法的捕獲時(shí)間仿真曲線，其中FrFT的運(yùn)算時(shí)間采用文獻(xiàn)[17]給出的880μs統(tǒng)計(jì)。如圖4所示，盡管PMF-FrFT的相干積分時(shí)間為512ms，并且還需要進(jìn)行調(diào)頻率搜索，而PMF-FFT的相干積分時(shí)間不超過(guò)26ms，且僅需一次FFT。當(dāng)載噪比低于21dB·Hz時(shí)，PMF-FrFT的捕獲時(shí)間仍然低于PMF-FFT；當(dāng)載噪比低于15dB·Hz時(shí)更是比PMF-FFT少了10倍以上。不過(guò)，隨著載噪比的提升，PMF-FFT的平均捕獲時(shí)間不斷下降，但所提PMF-FrFT算法由于相干積分時(shí)間較長(zhǎng)的原因，捕獲時(shí)間并未隨著載噪比的提升而下降。

圖4 PMF-FrFT與PMF-FFT的平均捕獲 時(shí)間對(duì)比，虛警概率為0.01Fig.4 Mean acquisition time comparions between PMF-FrFT and PMF-FFT, false alarm probability is 0.01

4 結(jié)論

本文提出了一種基于PMF-FrFT的捕獲算法，用于提升高動(dòng)態(tài)、低信噪比環(huán)境下衛(wèi)星導(dǎo)航信號(hào)的捕獲性能。本文所做工作及所得結(jié)論如下：

1)建立了高動(dòng)態(tài)衛(wèi)星導(dǎo)航信號(hào)的數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上提出了基于PMF-FrFT的捕獲算法，算法可借助FFT來(lái)快速實(shí)現(xiàn)，具有工程應(yīng)用價(jià)值。

2)對(duì)PMF-FrFT算法的捕獲概率、捕獲時(shí)間以及計(jì)算復(fù)雜度等性能指標(biāo)進(jìn)行了理論分析。分析表明，在高動(dòng)態(tài)、低信噪比環(huán)境下PMF-FrFT算法能夠通過(guò)延長(zhǎng)相干積分時(shí)間的方法來(lái)提高捕獲概率，降低平均捕獲時(shí)間，算法計(jì)算量與傳統(tǒng)PMF-FFT算法相比僅隨調(diào)頻率搜索空間的增加而線性增加。

3)利用蒙特卡羅仿真對(duì)所提算法的捕獲性能進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，并和傳統(tǒng)PMF-FFT算法進(jìn)行了對(duì)比分析。仿真表明，所提PMF-FrFT算法在加速度為25g時(shí)，可以利用512ms的長(zhǎng)時(shí)間相干積分將接收機(jī)捕獲靈敏度由傳統(tǒng)PMF-FFT的30dB·Hz降低至16dB·Hz，且捕獲時(shí)間減少8倍以上。