張雪,李壽科,肖飛鵬
(1.湖南科技大學(xué)土木工程學(xué)院 湖南 湘潭 411201 2.結(jié)構(gòu)抗風(fēng)與振動(dòng)控制湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 湖南 湘潭 411201)
大跨屋蓋結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于藝術(shù)館、體育館、展覽館、航站樓等公共建筑,易在強(qiáng)風(fēng)作用下被掀開,被撕裂甚至發(fā)生卷曲和變形。對(duì)完善大跨屋蓋圍護(hù)結(jié)構(gòu)的抗風(fēng)設(shè)計(jì)理論,準(zhǔn)確的估計(jì)圍護(hù)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)風(fēng)荷載,保證圍護(hù)結(jié)構(gòu)在強(qiáng)風(fēng)下的安全,具有較大的實(shí)用價(jià)值和科學(xué)意義。而單次采樣對(duì)于研究極值不夠準(zhǔn)確,因此本文采用500次采樣來對(duì)極值進(jìn)行研究。
若樣本數(shù)據(jù)按正態(tài)分布擬合,極值不能很好地被利用。風(fēng)壓的極值分布漸進(jìn)于三種極限形式,即極值Ⅰ型Gumbel分布、極值Ⅱ型Frechet分布、極值Ⅲ型Weibull分布。建筑局部極值壓力的概率分布曾被很多人研究,如 Peterka[1]、Holmes[2]、Kasperski[3]、Hong等[4]對(duì)加拿大14個(gè)臺(tái)站的極值風(fēng)速采用Gumbel分布進(jìn)行了估計(jì),研究了矩法、極大似然法、L矩法以及廣義最小二乘法的參數(shù)估計(jì)性能,從估計(jì)效率、偏差以及平方根誤差三個(gè)方面,發(fā)現(xiàn)廣義最小二乘法具有更好的適用性。
Harris[5-6]采用加權(quán)最小二乘法估計(jì)Gumbel分布的參數(shù),改進(jìn)了Gumbel分布模型,認(rèn)為選擇極值I型分布可能會(huì)導(dǎo)致保守的極值風(fēng)速結(jié)果。Simiu和Heckert[7]則發(fā)現(xiàn)R-Weibull分布更適合估計(jì)極值來流動(dòng)壓。段忠東等[9]對(duì)廣義極值分布的經(jīng)典參數(shù)估計(jì)方法和最優(yōu)概率模型進(jìn)行了研究。全涌等[9-10]等對(duì)單次風(fēng)壓采樣,結(jié)合自相關(guān)分析技術(shù),提出了一種基于廣義極值分布模型的單個(gè)樣本數(shù)據(jù)的極值計(jì)算方法,推進(jìn)了廣義極值分布模型的應(yīng)用。風(fēng)荷載表面基本為吸力,為極小值[11]。在這些文獻(xiàn)中,作者以相對(duì)較少的樣本數(shù)據(jù)(通常不超過100)擬合了極值分布。本文通過500次重復(fù)采樣對(duì)極值風(fēng)壓系數(shù)進(jìn)行分析,根據(jù)概率相關(guān)系數(shù)選出最優(yōu)概率分布。
本文進(jìn)行了多次重復(fù)采樣風(fēng)洞試驗(yàn)。該風(fēng)洞為開口直流吸入式矩形截面風(fēng)洞,試驗(yàn)段尺寸為:寬4.0m×高3.0m×長21.0m。試驗(yàn)?zāi)M了《建筑結(jié)構(gòu)荷載規(guī)范》GB50009-2012中的B類地貌,風(fēng)場縮尺比為1:200,平均風(fēng)剖面指數(shù)為0.15,屋面風(fēng)速大約達(dá)到10m/s,規(guī)范和試驗(yàn)平均風(fēng)速以及湍流度剖面如圖1所示。
大跨平屋蓋建筑的足尺尺寸為176.8m×176.8m×30m,模型縮尺比為1:200,模型照片如圖2所示。在試驗(yàn)?zāi)P臀萆w和立墻表面布置測點(diǎn),屋蓋表面測點(diǎn)共計(jì)為500個(gè)。采樣時(shí)長約20s,采樣頻率330Hz,采集6 600個(gè)數(shù)據(jù)樣本。試驗(yàn)參考高度為30cm。主要分析多次重復(fù)獨(dú)立采樣條件下的風(fēng)壓極值概率分布,故試驗(yàn)對(duì)45°風(fēng)向角進(jìn)行了500次的獨(dú)立采樣。
本文由經(jīng)典極值理論導(dǎo)出極值分布模型,大量的數(shù)據(jù)樣本的極值都會(huì)服從極值Ⅰ型Gumbel分布、極值Ⅱ型Frechet分布、極值Ⅲ型Weibull分布三種分布中的一種,可以統(tǒng)一成一種極值模型即,廣義極值分布模型GEV。廣義極值模型的概率分布表達(dá)式:
圖1 風(fēng)場布置圖
圖2 建筑模型
μ為位置參數(shù),σ為尺度參數(shù),κ為形狀因子,當(dāng)κ為0時(shí),式(1)變?yōu)槭剑?),即極值Ⅰ型Gumbel分布。Jenkinson稱極值Ⅰ型分布是廣義極值分布的一種形式。
當(dāng)k>0時(shí)為極值Ⅱ型分布,k<0時(shí)為極值Ⅲ型分布,隨著形狀參數(shù)的增大,極值事件的概率越來越大,極值Ⅰ、Ⅱ型分布具有無限尾部長度,極值Ⅲ型分布有限尾部長度,即變量有理論上限值。
對(duì)于風(fēng)壓系數(shù)極值的研究,合適的極值概率分布是所研究的重點(diǎn)。以多次重復(fù)采樣風(fēng)洞試驗(yàn)獲得的極值風(fēng)壓為數(shù)據(jù)樣本,對(duì)典型測點(diǎn)進(jìn)行正態(tài)分布、GEV分布、Gumbul分布以及對(duì)數(shù)分布進(jìn)行擬合,如圖3、圖4所示,概率密度函數(shù)圖已基本偏離正態(tài)分布,可知以正態(tài)分布來擬合分析極值風(fēng)壓系數(shù)不夠精確。且極值Ⅰ型Gumbel分布和廣義極值分布擬合的很好。
圖3 0度極小值概率密度擬合
根據(jù)廣義極值理論可知,廣義極值分為極值Ⅰ型、極值Ⅱ型和極值Ⅲ型,而由廣義極值分布公式可知,根據(jù)形狀參數(shù)可以劃分為三種極值分布類型。
圖4 45度極小值概率密度擬合
圖5為最不利正壓和最不利負(fù)壓的形狀參數(shù)散點(diǎn)圖,從圖中可看出,所有的極小值和大部分極大值都小于0,即符合極值Ⅲ型分布,具有理論上限值,這是由于風(fēng)工程試驗(yàn)室受限導(dǎo)致極值風(fēng)壓系數(shù)的分布具有有限尾部長度。而相對(duì)于極小值來說,極大值有部分形狀參數(shù)大于等于0,因?yàn)槭軞鈮悍蛛x和旋渦脫落等特征湍流現(xiàn)象影響,使得極值概率分布表現(xiàn)為無限尾部長度,無理論上限值,極端風(fēng)壓出現(xiàn)的概率更高,即符合極值Ⅰ型和極值Ⅱ型。
圖6、圖7分別為典型測點(diǎn)對(duì)GEV分布和Gumbel分布進(jìn)行對(duì)比。從圖可看出,極小值擬合極值Ⅰ型分布尾部有明顯偏離,擬合廣義極值更佳。廣義極值分布能很好地?cái)M合尾部概率分布。而相對(duì)于極小值風(fēng)壓系數(shù),形成極大值風(fēng)壓的物理機(jī)制不同,且受氣流分離和旋渦的影響,極大值的概率分布有一部分?jǐn)M合Gumbul分布更優(yōu)。
圖5 分布的形狀參數(shù)
圖6 極值風(fēng)壓GEV分布擬合
圖7 極值風(fēng)壓極值Ⅰ型分布擬合
對(duì)于風(fēng)壓系數(shù)極值選擇合適的極值概率分布需要定量解釋。對(duì)于多次重復(fù)采樣概率曲線相關(guān)系數(shù)(PPCC)法是概率分布的選擇的一個(gè)準(zhǔn)確的數(shù)值判斷。概率曲線相關(guān)系數(shù)rF定義為:
式中:
Xi為測點(diǎn)極值風(fēng)壓系數(shù)樣本數(shù)據(jù);為測點(diǎn)極值風(fēng)壓系數(shù)的平均值;Mi為選擇的概率分布函數(shù)下概率繪圖位置P對(duì)應(yīng)的期望值;為Mi的平均值;F是選擇的概率分布累積函數(shù);n為樣本數(shù)據(jù)總量。從式(3)中可以看出,樣本數(shù)據(jù)越擬合于選擇的概率分布函數(shù)F,其rF值會(huì)越接近于1。
圖8、9為極大值和極小值的擬合優(yōu)度圖,表1為統(tǒng)計(jì)的結(jié)果。可看出,對(duì)于大跨度平屋蓋的測點(diǎn)風(fēng)壓系數(shù)極大值,53%的測點(diǎn)服從極值I型分布,38%服從極值III型分布,圖9中,對(duì)于極小值而言總體上500個(gè)測點(diǎn)中GEV分布得到的概率曲線相關(guān)系數(shù)更接近于1,即GEV分布擬合的較好,即屋面測點(diǎn)極小值更合適GEV分布。
圖8 極大值的擬合優(yōu)度
圖9 極小值的擬合優(yōu)度
根據(jù)上面求得極值符合廣義極值分布,本節(jié)根據(jù)廣義極值分布求得任意保證率的估計(jì)極值。對(duì)測點(diǎn)的多次重復(fù)獨(dú)立極值風(fēng)壓系數(shù)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì),求得位置參數(shù)μ、尺寸參數(shù)σ和形狀參數(shù)κ,并將三個(gè)參數(shù)估計(jì)值帶入GEV分布的分位數(shù)計(jì)算公式,即式(4)。一般常用到57%分位數(shù)、78%分位數(shù)、95%分位數(shù)以及99%分位數(shù)的風(fēng)壓系數(shù)極值,代入到式(4)可得出任意保證率的極值。
表1 各概率分布所占比例
圖10為任意保證率下GEV的估計(jì)極值。從圖中可看出57%分位數(shù)的GEV分布估計(jì)的極小值在-5~-0.5之間,隨著保證率的增加,估計(jì)的極值數(shù)值也增加。因此廣義極值GEV分布能很好地估計(jì)極值,且根據(jù)式(4)可以得到任意保證率的估計(jì)極值。即在設(shè)計(jì)大跨屋蓋時(shí),規(guī)范未給出合適的取值,可以根據(jù)本文對(duì)極值概率分布的分析,計(jì)算出估計(jì)的極值,為規(guī)范提供理論參考。
對(duì)大跨屋蓋結(jié)構(gòu)進(jìn)行多次重復(fù)風(fēng)洞抗風(fēng)試驗(yàn),對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行概率分布的不確定性研究。得出:
(1)通過概率密度擬合得出極值并不符合正態(tài)分布;
(2) 對(duì)于大跨屋蓋結(jié)構(gòu)的極值更滿足Gumbel分布和GEV分布,Gumbel分布尾部有些偏離;
(3) 根據(jù)概率根據(jù)概率曲線相關(guān)系數(shù)法,GEV分布的概率相關(guān)系數(shù)更接近1,即更合適極值的分布;
(4)根據(jù)最佳的GEV分布,可以得出任意保證率的極值。這位大跨屋蓋結(jié)構(gòu)的風(fēng)荷載極值的設(shè)計(jì)提供了理論參考,具有重大實(shí)際意義。
圖10 不同保證率的GEV估計(jì)極值