引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中反思，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

朱曉潔

摘 要：數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一，而提高思維能力的有效途徑之一就是在教學(xué)過程中對(duì)學(xué)生的反思能力進(jìn)行培養(yǎng)。因此，教師在教學(xué)中要積極創(chuàng)造可供學(xué)生反思的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生積極反思，從而提升學(xué)生的思維品質(zhì)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效益。

關(guān)鍵詞：反思；數(shù)學(xué)思維能力；嚴(yán)謹(jǐn)性；批判性

數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，提高數(shù)學(xué)解題能力又是教師和學(xué)生共同關(guān)心的問題。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平的限制，升學(xué)壓力的影響，學(xué)生往往對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)不求甚解，只熱衷于大量做題，缺乏對(duì)解題思路、解題方法、解題過程進(jìn)行反思，不注重分析、評(píng)價(jià)和判斷解題策略的優(yōu)劣，不善于發(fā)現(xiàn)、反思和糾正自己的錯(cuò)誤，結(jié)果是學(xué)生的模仿能力變強(qiáng)了，數(shù)學(xué)思維能力卻沒有根本性提高。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，反思是學(xué)生學(xué)習(xí)過程的重要一環(huán)。世界著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾教授也指出：“反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力。”反思是學(xué)生對(duì)自己認(rèn)知過程、認(rèn)知結(jié)果的監(jiān)控和體會(huì)。數(shù)學(xué)的理解要靠學(xué)生自己的領(lǐng)悟才能獲得，而領(lǐng)悟又靠對(duì)思維過程的不斷反思才能達(dá)到，因此，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不斷反思，培養(yǎng)學(xué)生反思的意識(shí)，使學(xué)生養(yǎng)成反思的習(xí)慣，從而提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力，提高數(shù)學(xué)思維能力。

一、對(duì)解題過程進(jìn)行反思，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性

思維的嚴(yán)謹(jǐn)性是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本特點(diǎn)，它要求解題思路必須清晰、準(zhǔn)確；解題過程必須嚴(yán)格、周密；結(jié)論敘述必須精練、準(zhǔn)確。在教學(xué)過程中，教師要不失時(shí)機(jī)地抓住學(xué)生在解題過程中由于審題不清、對(duì)概念理解不深刻、考慮問題不周全而導(dǎo)致的過程不嚴(yán)密，結(jié)論有錯(cuò)誤，要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題過程進(jìn)行反思，在反思中優(yōu)化解題策略。

案例1：已知m2x+21-x≥2（m>0）對(duì)x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

學(xué)生1解法：換元法。令t=2x，轉(zhuǎn)化為mt2-2t+2≥0對(duì)一切t∈R恒成立，∵m>0∴？駐≤0，得m≥ 。

答案是正確的，但其中的過程有漏洞。教師要積極引導(dǎo)學(xué)生反思解題過程。通過討論，學(xué)生2指出：原問題等價(jià)于不等式mt2-2t+2≥0對(duì)一切t>0恒成立，而不是對(duì)一切t∈R恒成立，所以僅僅考慮？駐≤0是不嚴(yán)密的。正確解法為：令f（t）=mt2-2t+2，轉(zhuǎn)化為對(duì)一切t>0，f（t）≥0恒成立，由于t= 對(duì)稱軸不定，需分兩類討論研究（解答略）。

反思1：在解題的過程中，經(jīng)常會(huì)用到換元的方法解決問題，要關(guān)注轉(zhuǎn)化的等價(jià)性。

分析出錯(cuò)誤原因后，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考：既然過程是錯(cuò)誤的，為什么恰好結(jié)論是正確的？能否指出錯(cuò)誤的合理性。學(xué)生3發(fā)現(xiàn)：∵m>0，∴對(duì)稱軸t= >0，結(jié)合圖像，可以發(fā)現(xiàn)只要考慮？駐≤0就可以了，所以歪打正著，錯(cuò)誤的過程得出了正確的結(jié)果。

反思2：方程、不等式和函數(shù)密不可分。將不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問題，再以“形”助“數(shù)”，簡(jiǎn)潔直觀。所以在解題中要充分關(guān)注函數(shù)的思想、數(shù)形結(jié)合、分類討論等重要的數(shù)學(xué)思想方法。

教師乘勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生探究：如果沒有“m>0”這個(gè)條件，用上述方法解決此題，必須分類討論研究，非常繁雜。學(xué)生是否有更好的方法來解決此題？學(xué)生4展示解法：變量參數(shù)。m≥ =2 -2（ ）2，令t= ∈（0，1]，則不等式右邊為y=2t-2t2，得此二次函數(shù)在（0，1]的最大值為 ，得m≥ 。

反思3：回歸到熟悉的參數(shù)分離方法，避免了繁復(fù)的分類討論，使得解答更為簡(jiǎn)潔。

所以教師要積極引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題過程中產(chǎn)生的漏洞及時(shí)修正，對(duì)錯(cuò)誤及時(shí)反思，擺脫思維定勢(shì)，對(duì)已形成的認(rèn)識(shí)從另一個(gè)角度，以另一種方式進(jìn)行再思考，以求得新的深入認(rèn)識(shí)，靈活選擇解題方法，優(yōu)化解題策略，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，提高解決問題的能力。

二、對(duì)解題中的錯(cuò)誤進(jìn)行反思，培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性

思維的批判性是指在思維活動(dòng)中能嚴(yán)格估計(jì)思維材料和精確檢驗(yàn)思維過程，有根據(jù)地作出肯定接受或否定質(zhì)疑的品質(zhì)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，正確和錯(cuò)誤相伴而生，教師要把錯(cuò)誤看作是一種有效資源，引導(dǎo)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，對(duì)錯(cuò)誤進(jìn)行反思，并主動(dòng)糾正錯(cuò)誤，要引導(dǎo)學(xué)生大膽質(zhì)疑，幫助學(xué)生突破思維障礙，對(duì)答案及時(shí)分析、評(píng)價(jià)和判斷，這有利于學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)含義，有效地培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

案例2：已知數(shù)列{an}中a1=1，an+1=2an+2n，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

有兩位學(xué)生用兩種不同的方法得到兩個(gè)不同的結(jié)論。

學(xué)生1解法：根據(jù)遞推公式，先歸納、猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明得an=n·2n-1

學(xué)生2解法：an+1+2n=2（an+2n），又a1+2=3

∴{an+2n}是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列

∴an+2n=3·2n-1，即∴an=2n-1

反思：兩種方法至少有一種是錯(cuò)誤的。哪種方法錯(cuò)誤？錯(cuò)在哪里？

學(xué)生2自己發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤：若把a(bǔ)n+2n看成是數(shù)列{an+2n}的第n項(xiàng)，則an+1+2n不是數(shù)列的第n+1項(xiàng)，所以方法2錯(cuò)誤。

學(xué)生2反思：前一段時(shí)間在研究a1=1，an+1=2an+2求該數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式時(shí)，我們就是用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來解決的。為什么今天這個(gè)問題就不能用構(gòu)造等比數(shù)列解決呢？

方法3：變形為 - = ， = ，數(shù)列{ }是以 為首項(xiàng)，以 為公比的等差數(shù)列，得 = ，得an=n·2n-1

變式問題：已知數(shù)列{an}中a1=1，an+1=3an+2n求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

a1=1，an+1=3an+2n an+1+2n+1=3（an+2n），a1+2=3

∴{an+2n}是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

∴an+2n=3n，即∴an=3n-2n

探究推廣：a1=a，an+1=kan+f（n）（k≠0），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式

an+1+？姿f（n+1）=k（an+？姿f（n））（k≠0）

？姿kf（n）-？姿f（n+1）=f（n），？姿（kf（n）-f（n+1））=f（n）

結(jié)論：當(dāng)kf（n）-f（n+1）≠0時(shí)，？姿= ，則數(shù)列{an+？姿f（n）}是以a+ 為首項(xiàng)，k為公比的等比數(shù)列；當(dāng)kf（n）-f（n+1）=0時(shí)，k= ， = + ，則數(shù)列{ }是以 為首項(xiàng)， 為公差的等差數(shù)列。

學(xué)生的錯(cuò)誤不可能僅靠正面的示范和反復(fù)的練習(xí)得以糾正，必須是一個(gè)“自我否定”的過程，教師要利用學(xué)生的錯(cuò)誤資源，積極引導(dǎo)，促使學(xué)生對(duì)已完成的思維過程進(jìn)行周密且有批判性的再思考，引導(dǎo)學(xué)生從錯(cuò)誤中反思，從錯(cuò)誤中學(xué)習(xí)，不斷從“錯(cuò)誤”走向“正確”。

三、對(duì)解題方法的多樣性進(jìn)行反思，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性

思維的廣闊性是指善于從多方面、多角度去思考問題、發(fā)散思維。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，其主要表現(xiàn)為：對(duì)于一個(gè)問題，善于多方探求，能通過聯(lián)想、類比、遷移，獲得多種解法，尋求解決問題的最佳方案。

案例3：給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量 和 ，它們的夾角為120°。如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧 上變動(dòng)。若 =x +y ，其中，x，y∈R則x+y的最大值是________。

學(xué)生解法1：點(diǎn)乘自身平方。將原等式兩邊平方得：x2+y2+xy=1，整理得xy= [（x+y）2-1]，又xy≤（ ）2，所以 [（x+y）2-1]≤（ ）2，解得x+y≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1，x+y取最大值2。

學(xué)生解法2：點(diǎn)乘關(guān)聯(lián)向量。設(shè)∠AOC=α，α∈[0， π]在原等式兩邊分別點(diǎn)乘 ， 得 · =x · +y · · =x · +y · ，即cosa=x- ycos（120°-a）=- x+y，所以x+y=2[cosa+cos（120°-a）]=2sin（a+ ），當(dāng)a= 時(shí)，x+y取最大值2。

反思1：通過數(shù)量積，將向量形的問題代數(shù)化，還有什么方法能將向量形的問題代數(shù)化？

學(xué)生解法3：坐標(biāo)法。以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)∠AOC=α，α∈[0， π]，得 ， ， 的坐標(biāo)，由 =x +y 得x= sina+cosa，y= sina，以下同解法2。

數(shù)學(xué)問題解決的方法是多維的，但其結(jié)論具有確定性，因此，在一個(gè)問題的解決中，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生多角度地去觀察問題，獲取多種解法，這樣有助于開闊學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性，發(fā)揮學(xué)生的潛能。

四、對(duì)題目立意的反思，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性

題目的解出，并不意味著解題活動(dòng)的結(jié)束，恰恰相反，它可以是解題探究的新的開始，所以，波利亞特給解題過程安排了一個(gè)環(huán)節(jié)——回顧（即反思），這是很有必要的。變更條件，可以訓(xùn)練分析與綜合思維能力，將條件與結(jié)論互換可以訓(xùn)練逆向思維能力，引申、拓展可以訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散性思維能力。

案例4：過拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交兩點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），求證：y1y2=-p2。

學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)多種解法，學(xué)生通過比較、分析發(fā)現(xiàn)下列解法是最簡(jiǎn)潔的方法。

證明：因?yàn)橹本€過拋物線的焦點(diǎn)，故設(shè)直線的方程為x=my+ ，代入y2=2px中，有y2-2pmy-p2=0，由于y1，y2是該方程的兩實(shí)根，由韋達(dá)定理可知，y1y2=-p2。

問題解決后，教師可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這一問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪?、引申和拓展，讓學(xué)生從具體問題走向更廣泛的問題空間，變單一的解決問題為鞏固知識(shí)，形成解題策略的方法體系。

反思1：此問題的逆命題是真命題嗎？即一條直線和拋物線y2=2px（p>0）相交兩點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），若y1y2=-p2，那么該直線過拋物線的焦點(diǎn)嗎？

反思2：把問題的條件加以推廣，能得到類似的結(jié)論嗎？若過定點(diǎn)（c，0）的直線和拋物線y2=2px（p>0）相交兩點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），那么y1y2是定值嗎？

反思3：將逆命題的條件加以推廣，能得到類似的結(jié)論嗎？一條直線和拋物線y2=2px（p>0）相交兩點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），若y1y2=m（定值），那么該直線過定點(diǎn)嗎？

反思4：將問題的條件進(jìn)行改變，能得到類似的結(jié)論嗎？直線和拋物線y2=2px（p>0）相交A、B兩點(diǎn)，設(shè)直線OA和OB的傾斜角分別為α，β，若α+β為定值θ（0<θ<π），那么該直線過定點(diǎn)嗎？

問題解決后，改變命題的條件和結(jié)論，從縱橫兩方面加以引申、拓展，引導(dǎo)學(xué)生多角度、多層次、全方位地進(jìn)行反思，能使掌握知識(shí)的層次更具深度和寬度，思維更深刻，使學(xué)生由會(huì)解一道題到會(huì)解一類題，把數(shù)學(xué)思維提高到一個(gè)由例及類的檔次，形成有效的“思維鏈”，有利于學(xué)生今后對(duì)解題途徑作出快速選擇，簡(jiǎn)化思維過程，縮短思維回路，提高思維的靈活性。

科學(xué)有效的反思為學(xué)生提供了再創(chuàng)造的沃土和新型的學(xué)習(xí)方式，適應(yīng)了新課程改革的要求，教師在教學(xué)中要積極創(chuàng)造可供學(xué)生反思的機(jī)會(huì)。引導(dǎo)學(xué)生反思解題思路，通過一題多解訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散性思維，優(yōu)化思維品質(zhì)；引導(dǎo)學(xué)生反思解題規(guī)律，通過一題多變、多題一解，做到舉一反三，觸類旁通；引導(dǎo)學(xué)生反思解題結(jié)果是否合理，解題過程有沒有漏洞，從而鞏固知識(shí)、減少錯(cuò)誤、發(fā)展思維、培養(yǎng)探索能力、引發(fā)再創(chuàng)造。使反思變?yōu)閷W(xué)生自我內(nèi)在的一種需求，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)效益。

編輯 謝尾合