讓“幾何”真正走向“直觀”

胡良梅

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果?！盵1]幾何直觀，本質(zhì)是借助直觀圖形獲得感性認(rèn)識(shí)，直觀理解問題，它是種意識(shí)，是種思維方式，也是教學(xué)手段，它的主旨是創(chuàng)造學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解，它的研究對(duì)象存在于數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各大領(lǐng)域。然而，幾何直觀的價(jià)值在圖形與幾何領(lǐng)域卻一直未能得到充分重視，因?yàn)樵S多教師會(huì)認(rèn)為幾何圖形本身就是可視的、直觀的，還需要強(qiáng)調(diào)直觀嗎[2] ？其實(shí)，直觀不代表簡單，可視也常常視而不見。如何讓幾何直觀在圖形領(lǐng)域真正發(fā)揮價(jià)值？筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐談一些自己的想法。

一、重視直接接觸，豐富直觀感知

直觀感知是較低層次的幾何直觀，主要是感性認(rèn)識(shí)直觀載體的表面意義[2]。兒童認(rèn)知幾何圖形離不開個(gè)體參與的操作、實(shí)驗(yàn)等直接接觸，如描畫、拼擺、測(cè)量等操作活動(dòng)。豐富的感知經(jīng)驗(yàn)?zāi)艽俪煞€(wěn)固的表象形成，是高層次幾何直觀水平的思維基石。

1.在描畫制作中感知圖形特征

小學(xué)階段圖形的認(rèn)識(shí)編排順序是：體—面—線—角—形—體，先整體感知，再局部研究。因?yàn)閮和钕雀兄氖蔷哂虚L、寬、高的三維世界，“面”是物體外表的一部分，附著于“體”，要從“體”上分離出來，因此，認(rèn)識(shí)“面”時(shí)，要指導(dǎo)學(xué)生借助“體”描一描、畫一畫，經(jīng)歷分離的過程。

線和角是構(gòu)成圖形的重要要素。如認(rèn)識(shí)三角形，不僅要知道它有三條邊和三個(gè)角，還要理解它的邊和角的特點(diǎn)：三角形中任意兩邊之和大于第三邊;三角形的內(nèi)角和一定是180°;三角形三條邊長度固定，其形狀大小也會(huì)固定等。這些特點(diǎn)必須讓學(xué)生在操作實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)。如準(zhǔn)備不同長度的小棒首尾相接圍一圍，探索三邊關(guān)系;把三角形的三個(gè)內(nèi)角折拼成一個(gè)平角，發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和規(guī)律;給出一定長度的三條邊任意拼擺三角形，體會(huì)無論怎樣拼擺，形狀都不變的穩(wěn)定性。

“體”的整體感知比較現(xiàn)實(shí)，但是“體”的直觀圖和展開圖是教學(xué)難點(diǎn)。如正方體的展開圖，要安排學(xué)生經(jīng)歷制作、展開、圍攏的操作過程，再進(jìn)行觀察、比較、分類，學(xué)生才能獲得清晰的直觀表象，建立六個(gè)面之間的位置關(guān)系，發(fā)展三維立體圖形和二維平面圖形相互轉(zhuǎn)換的空間觀念。

2.在測(cè)量實(shí)驗(yàn)中感知求積與計(jì)量

長度、面積和體積等概念，本身是抽象的，理解這些概念離不開豐富的測(cè)量實(shí)驗(yàn)。

學(xué)習(xí)線段的長度，先要觀察比較若干條線段，體會(huì)每一條線段都有長度，可能相等，也可能不等;用刻度尺測(cè)量并標(biāo)注，體會(huì)每一條線段的長度都是確定的;估計(jì)一些線段有多長，體會(huì)解決生活中的一些問題需要了解長度。這樣的認(rèn)知活動(dòng)，盡管沒有明確的“長度”定義，學(xué)生卻已在測(cè)量操作中直觀理解了長度。

體積概念的理解，學(xué)生缺少“物體占有空間”的感性認(rèn)識(shí)，接受起來比較困難，學(xué)習(xí)時(shí)更是離不開豐富的感知實(shí)驗(yàn)。如準(zhǔn)備兩個(gè)同樣大的玻璃杯，一個(gè)杯子裝滿水，另一個(gè)杯子放一個(gè)蘋果，把裝水的杯子里的水倒入放有蘋果的杯子，會(huì)剩下一些水，感受“物體占有空間”;再借助不同大小的水果和又一輪倒水實(shí)驗(yàn)，繼續(xù)感受“不同物體占有的空間大小不同”等。

圖形的面積和體積計(jì)算淡化了計(jì)算要求，強(qiáng)化了結(jié)合具體情境開展測(cè)量的實(shí)踐活動(dòng)。如長方形面積的理解：首先用不同實(shí)物的面測(cè)量桌面的面積，感知面積測(cè)量需要統(tǒng)一面積單位;接著用統(tǒng)一的面積單位去測(cè)量長方形面積，獲得所包含的面積單位;最后在測(cè)量中逐步發(fā)現(xiàn)規(guī)律：長×寬就是長方形中包含的面積單位的數(shù)量。如此一來，面積就不再是一個(gè)抽象的概念，借助測(cè)量實(shí)驗(yàn)，學(xué)生獲得了清晰的直觀感知。

3.在拼擺折疊中感知運(yùn)動(dòng)和關(guān)系

圖形的運(yùn)動(dòng)和位置關(guān)系，更是離不開實(shí)際的直觀操作。如將簡單圖形旋轉(zhuǎn)90度，將長方形分割拼合計(jì)算周長等都是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。但如果賦予學(xué)習(xí)內(nèi)容以實(shí)際拼擺和思考的意義，難點(diǎn)就會(huì)迎刃而解。如分割拼合的周長練習(xí)。①量一量、算一算：這個(gè)長方形的周長是多少？從中剪下一個(gè)最大的正方形，求正方形的周長和剩下小長方形的周長。②比一比、想一想：三次求出的周長之間有聯(lián)系嗎？③用兩個(gè)完全一樣的小長方形可以拼成什么圖形？實(shí)際拼一拼，算一算周長（圖1）。

交流思考：哪幾種拼法的周長相等，為什么？借助觀察比較、平移轉(zhuǎn)化，不同組合圖形之間的關(guān)系躍然紙上，清晰可見，組合圖形周長計(jì)算難的問題也迎刃而解。讓具體的拼擺成為思考的背景，會(huì)讓隱蔽抽象的內(nèi)容變得生動(dòng)形象，幾何就會(huì)變得直觀易學(xué)。

此外，借助拼擺折疊，在動(dòng)態(tài)直觀的層面學(xué)習(xí)幾何圖形，可有效溝通圖形間的關(guān)系，深化對(duì)圖形特征的認(rèn)識(shí)。如把一個(gè)長方形折、剪、拼，變成平行四邊形;將一張長方形紙的一角翻折尋找相同度數(shù)的角等，這樣的學(xué)習(xí)過程留下的是圖形運(yùn)動(dòng)的表象，不僅能幫助學(xué)生豐富幾何圖形的直觀感知，還能幫助學(xué)生積累豐富的研究經(jīng)驗(yàn)。

二、關(guān)注直觀觀察，獲得直觀理解

一些幾何圖形中隱含的信息，學(xué)生往往很難察覺，需要教師從兒童的直觀視角去引導(dǎo)他們深度觀察，獲得蘊(yùn)含的幾何意義，也可構(gòu)造不同的直觀，訓(xùn)練學(xué)生的幾何觀察能力。

1.變換角度觀察

如觀察長方形的直觀圖后思考：圍成的四條邊有什么特點(diǎn)？可以怎樣分組？在深度觀察中，引導(dǎo)學(xué)生從“對(duì)邊相等——對(duì)邊分組”轉(zhuǎn)向“鄰邊的和相等——鄰邊分組”，這樣的訓(xùn)練，可凸顯長方形內(nèi)隱的特征，強(qiáng)調(diào)學(xué)生幾何觀察的視角，提升兒童的幾何直觀能力。有了這樣的深度觀察，后期探索周長計(jì)算方法時(shí)，兒童才會(huì)順勢(shì)想出長方形的周長=（長+寬）×2等方法。

2.變換圖示觀察

如圓柱的展開圖，既要構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)的直觀展示圖，又要構(gòu)造非標(biāo)準(zhǔn)的直觀展示圖。

觀察圖2左圖，你能知道什么？觀察圖2右圖，又能獲得什么不同的信息？通過直觀觀察，發(fā)現(xiàn)右圖長方形的寬是兩個(gè)直徑之和，陰影長方形的長是圓的周長，找到等量關(guān)系：πd+d=24.84，依據(jù)等量關(guān)系先求出直徑，再逐步解決問題。此題的錯(cuò)誤率非常高，原因就是學(xué)生缺少非標(biāo)準(zhǔn)的直觀展示圖的觀察訓(xùn)練，缺少直觀理解能力。再如三角形的高，受生活經(jīng)驗(yàn)的負(fù)遷移，學(xué)生的原始經(jīng)驗(yàn)只是認(rèn)可“豎直的高”，教學(xué)中，教師可讓“豎直的高”躺倒或斜放，呈現(xiàn)不同方位的高，引導(dǎo)學(xué)生觀察比較它們本質(zhì)上的共性，逐步澄清理解誤區(qū)。

3.變換靜動(dòng)觀察

想象與操作是直觀理解的一體兩翼。教學(xué)中，可有意引導(dǎo)學(xué)生先想一想，再“動(dòng)”起來，即先觀察想象，再操作觀察。如猜猜圖中被遮住的三角形各是什么形狀，前兩個(gè)是鈍角三角形和直角三角形，學(xué)生借助觀察想象一般不會(huì)猜錯(cuò)，但最后一個(gè)，多數(shù)學(xué)生會(huì)猜成銳角三角形，這時(shí)，可先讓學(xué)生想一想，暴露理解的誤區(qū)，再動(dòng)手畫一畫，促進(jìn)深刻的直觀理解。當(dāng)然，也可以先“動(dòng)”后“想”，即先操作后想象。如華應(yīng)龍老師創(chuàng)設(shè)的“尋寶”情境，“寶物距離小明左腳3米，寶物可能再哪里”，可讓學(xué)生先在紙上找出幾個(gè)符合條件的點(diǎn)，再來想一想，這樣的點(diǎn)還有嗎，有多少，會(huì)形成一個(gè)什么圖形，學(xué)生就能從中輕松自然地想到“圓上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，且這些點(diǎn)和中心點(diǎn)距離都相同”。

三、強(qiáng)調(diào)直觀思考，促進(jìn)直觀洞察

憑借圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，強(qiáng)調(diào)的是直觀理解，更為重要的是關(guān)注數(shù)學(xué)對(duì)象的關(guān)系。比較、溝通與聯(lián)想，是學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)關(guān)系的理解方式，可促成一定程度上的直觀洞察。

1.比較促思

再如，比較圖4中的兩根火柴和三個(gè)瓶蓋，你能知道什么？又能聯(lián)想出什么樣的問題？學(xué)生會(huì)得出：兩根火柴的長度相當(dāng)于三個(gè)瓶蓋的直徑，也會(huì)延伸聯(lián)想：四根火柴的長度相當(dāng)于六個(gè)瓶蓋的直徑，這時(shí)再來解答“48根火柴相當(dāng)于幾個(gè)瓶蓋的直徑”就沒有直觀思考的難度了。

2.溝通促思

溝通同類事物內(nèi)在的聯(lián)系，可實(shí)現(xiàn)幾何直觀的結(jié)構(gòu)意義。如復(fù)習(xí)平面圖形面積公式及其推導(dǎo)過程，關(guān)注直觀梳理，溝通內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)建方法過程和知識(shí)體系，可引導(dǎo)學(xué)生完成如下的直觀結(jié)構(gòu)圖：

上面的直觀結(jié)構(gòu)圖，記錄了思維推理的過程，凸顯了知識(shí)之間的核心要素，形象地梳理了平面圖形面積公式之間的聯(lián)系，將遞進(jìn)的關(guān)系和轉(zhuǎn)化的策略彰顯得淋漓盡致。

3.聯(lián)想促思

通過聯(lián)想，即由此關(guān)系聯(lián)想到彼關(guān)系，可實(shí)現(xiàn)對(duì)直觀圖示的模型意義的理解。如觀察圖6：

這兩條線段之間有什么樣的關(guān)系？據(jù)此，你能想到哪兩個(gè)數(shù)量之間具有這樣的關(guān)系？（如蘋果樹的棵數(shù)是梨樹的3倍）。兩條線段怎樣才能變得一樣長？據(jù)此，你又能聯(lián)想出什么類型的實(shí)際問題？（如梨樹再種80棵就和蘋果樹一樣多，梨樹有多少棵？）這樣的直觀理解，重在關(guān)注圖示表達(dá)的關(guān)系，重在關(guān)注圖示的抽象意義和模型功能，更能有效體現(xiàn)線段圖的幾何直觀價(jià)值。

直接接觸、直觀觀察、直觀思考是學(xué)生發(fā)展幾何直觀的認(rèn)知關(guān)鍵。從幾何直觀的視角去探尋幾何直觀的發(fā)展層序，幾何直觀的思維功能才能得以啟動(dòng)，學(xué)生的幾何直觀意識(shí)才能自然建構(gòu)，幾何圖形才能真正走向直觀。

參考文獻(xiàn)

[1] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2] 曹培英.跨越斷層 ，走出誤區(qū)：“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”核心詞的解讀與實(shí)踐研究[M].上海：上海教育出版社，2017.

[責(zé)任編輯：陳國慶]