基于協(xié)整理論的DFTGARCH模型的統(tǒng)計(jì)套利研究

方軍 李星野

摘 要 現(xiàn)有的統(tǒng)計(jì)套利策略大多建立在協(xié)整理論和GARCH模型的基礎(chǔ)上.離散Fourier變換（DFT）的思想可以挖掘價(jià)差序列周期性、非線性的特征，保證其在擬合和預(yù)測(cè)中的精確度.利用滬銅期貨合約的收盤價(jià)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析，研究結(jié)果表明：在高頻數(shù)據(jù)下，新模型對(duì)數(shù)據(jù)的擬合和預(yù)測(cè)效果要明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的套利模型，在相同的交易規(guī)則下，新模型的套利成功率和收益率都高于傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)套利模型.

關(guān)鍵詞 數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué);統(tǒng)計(jì)套利;協(xié)整理論; GARCH模型;離散Fourier變換

中圖分類號(hào) F224.0?????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

Statistical Arbitrage Research of DFTGARCH

Model Based on Cointegration Theory

FANG Jun，LI Xingye

（College of Management， University of Shanghai for Science and Technology， Shanghai 200093， China）

Abstract Most of the existing statistical arbitrage strategies are based on the cointegration theory and the GARCH model. The idea of discrete Fourier transform （DFT） can exploit the periodic and nonlinear characteristics of the spread sequence to ensure its accuracy in fitting and prediction. Using the closing price data of copper futures contract in the Shanghai futures exchanges for empirical analysis， the results show that under the high-frequency data， the new model fits and predicts the data better than the traditional arbitrage model. Under the same trading rules， the arbitrage success rate and yield of the new model are higher than the traditional one.

Key words statistical arbitrage; cointegration theory; GARCH model; discrete Fourier transformation

1 引 言

統(tǒng)計(jì)套利策略作為期貨市場(chǎng)最為常見(jiàn)的投資方式，一直是人們研究的熱點(diǎn).其核心思想是通過(guò)數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法捕捉兩種或多種資產(chǎn)組合之間的定價(jià)關(guān)系來(lái)構(gòu)建多頭和/或空頭組合，通過(guò)設(shè)定合理的套利閾值進(jìn)行程序化交易[1].統(tǒng)計(jì)套利的關(guān)鍵假設(shè)是歷史會(huì)重演，即資產(chǎn)組合間的內(nèi)部偏差能夠得到快速修正，這需要在實(shí)際交易中找到合適的資產(chǎn)組合.

目前，國(guó)內(nèi)外已有大量關(guān)于統(tǒng)計(jì)套利的研究文獻(xiàn).國(guó)外較早文獻(xiàn)研究的是資產(chǎn)組合間是否存在套利機(jī)會(huì).為提高套利機(jī)會(huì)與收益，研究者們逐漸將視線放在高頻交易上，如Hanson和Hall（2012）[2]探討不同頻率下高頻交易對(duì)統(tǒng)計(jì)套利盈利能力的影響，給出了高頻交易的3個(gè)趨勢(shì)，其實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，高頻交易增加了相關(guān)性和波動(dòng)性，對(duì)統(tǒng)計(jì)套利交易策略產(chǎn)生了直接的影響.最近的文獻(xiàn)則大多是圍繞探索許多新的統(tǒng)計(jì)套利模型展開(kāi)，例如Krauss等（2016）[3]應(yīng)用深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（deep neural networks）、梯度樹(shù)提升（gradientboosted trees）和隨機(jī)森林（random forests）的方法研究標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)的統(tǒng)計(jì)套利.由于國(guó)內(nèi)金融市場(chǎng)的不成熟和做空機(jī)制的不完善等原因，國(guó)內(nèi)關(guān)于統(tǒng)計(jì)套利的研究起步較晚.在國(guó)外學(xué)者研究的基礎(chǔ)上，我國(guó)學(xué)者也開(kāi)始研究中國(guó)金融市場(chǎng)是否存在套利機(jī)會(huì).仇中群和程希駿（2008）[4]將基于協(xié)整理論的統(tǒng)計(jì)套利策略運(yùn)用在滬深300股指期貨的仿真交易上，證明了統(tǒng)計(jì)套利策略在中國(guó)期貨市場(chǎng)上是可行的.大量學(xué)者驗(yàn)證了我國(guó)金融市場(chǎng)上不同套利組合之間確實(shí)存在一定的套利機(jī)會(huì).如常宗琪（2008）[5]將同樣的套利策略應(yīng)用于鄭州期貨交易所白糖期貨合約，韓廣哲和陳守東（2007）[6]基于上證50指數(shù)成分股的數(shù)據(jù)檢驗(yàn)了統(tǒng)計(jì)套利模型的可行性.在此基礎(chǔ)上，孫維（2009）[7]和趙莉（2012）[8]研究發(fā)現(xiàn)滬深股票市場(chǎng)具有異方差的波動(dòng)特征，GARCH模型族具有更加優(yōu)異的擬合效果.何樹(shù)紅等（2013）[9]基于GARCH統(tǒng)計(jì)套利模型，并利用置信度確定的套利閾值來(lái)進(jìn)行跨期套利.隨著統(tǒng)計(jì)套利理論的成熟，新的套利模型不斷涌現(xiàn).梁斌等（2011）[10]采用LARSLasso方法研究了滬深300仿真交易的期現(xiàn)套利，發(fā)現(xiàn)滬深300的仿真交易中存在比較大的套利空間.劉陽(yáng)等（2016）[11]將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與動(dòng)態(tài)GARCH模型結(jié)合，使得模型能夠更及時(shí)發(fā)現(xiàn)波動(dòng)性的變動(dòng).張波和劉曉倩（2017）[12]基于EGACH-M模型對(duì)滬深300股指期貨進(jìn)行跨期套利研究，實(shí)證結(jié)果表明新模型能夠更好的刻畫協(xié)整關(guān)系從而獲得更多的收益.還有部分學(xué)者驗(yàn)證并完善了統(tǒng)計(jì)套利策略，如雷井生和林莎（2013）[13]運(yùn)用6個(gè)不同頻率的數(shù)據(jù)論證了數(shù)據(jù)頻率對(duì)套利結(jié)果的影響.覃良文等（2016）[14]通過(guò)窮舉法求得統(tǒng)計(jì)套利的最優(yōu)閾值，以此確定了最優(yōu)的套利策略，實(shí)證研究表明這種方法相較于根據(jù)置信度來(lái)確定套利閾值的套利策略能獲得更多的收益.

縱觀國(guó)內(nèi)外的相關(guān)研究，大多數(shù)學(xué)者對(duì)統(tǒng)計(jì)套利的交易資產(chǎn)組合及套利模型越來(lái)越關(guān)注，以期獲得更高的收益率和套利成功率.在前人研究的基礎(chǔ)上，通過(guò)加入離散Fourier變換的思想擬合并預(yù)測(cè)價(jià)差序列，從而構(gòu)建新的統(tǒng)計(jì)套利模型可能是可行的.利用滬銅期貨的收盤價(jià)數(shù)據(jù)建立傳統(tǒng)的協(xié)整GARCH和新的基于協(xié)整理論的DFTGARCH兩種統(tǒng)計(jì)套利模型，在相同的交易規(guī)則下進(jìn)行實(shí)證研究，通過(guò)對(duì)兩種模型的套利結(jié)果進(jìn)行比較得出新模型的優(yōu)劣.

2 研究方法

2.1 協(xié)整理論

大多數(shù)金融時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，但可以通過(guò)多次差分使其成為平穩(wěn)序列.假如一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過(guò)d次差分后變成平穩(wěn)序列，則稱原序列是d階單整序列，記為I（d）.協(xié)整理論就是為了說(shuō)明兩個(gè)同階單整序列之間的長(zhǎng)期均衡關(guān)系.

協(xié)整理論可以用公式（1）來(lái)表示.

其中時(shí)間序列X，Y為同階單整序列，非均衡誤差μt為平穩(wěn)白噪聲序列.

2.2 GARCH模型

為了說(shuō)明金融時(shí)間序列的集群波動(dòng)現(xiàn)象，引入GARCH模型，標(biāo)準(zhǔn)的GARCH（1，1）模型由以下公式描述.

均值方程：yt=c0+cxt+εt，（2）

條件方差方程：σ2t=α0+αε2t-1+βσ2t-1，（3）

標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列：rt=εtσ2t.（4）

2.3 離散Fourier變換（DFT）

通過(guò)Fourier變換，三角函數(shù)能夠以任意的精度去逼近有間斷點(diǎn)的函數(shù)ft.金融時(shí)間序列可以看成離散數(shù)列xn;n=0，1，…，N-1，它是根據(jù)取樣定理對(duì)連續(xù)函數(shù)ft按時(shí)間間隔TN進(jìn)行采樣得到的，采樣點(diǎn)數(shù)為N，則稱

Xk=∑N-1n=0xne-i2πnk/N，k=0，1，…，N-1（5）

為xn的離散Fourier變換（DFT）.稱

xn=1N∑N-1k=0Xkei2πnk/N，n=0，1，…，N-1（6）

為Xk的離散Fourier逆變換（IDFT）.

由Fourier變換的性質(zhì)可以得到頻率kN對(duì)應(yīng)的實(shí)周期序列xm如式（7）所示.

x（m）=1N[X（k）ej2πNkm+X（N-k）ej2πN（N-k）m]

=1N[X（k）ej2πNkm+X（k）e-j2πNkm]

=1N∑N-1n=0x（n）cos [2πNk（m-n）]. （7）

2.4 周期延拓

通過(guò)離散Fourier變換可以得到對(duì)序列xn;n=0，1，…，N-1影響較大的周期序列，即Fourier變換后得到的頻譜Xk中模值較大的頻率所對(duì)應(yīng)的周期序列，將這些周期序列簡(jiǎn)單疊加可以得到原序列的主要趨勢(shì)序列.而周期延拓就是將這些周期序列按其周期分別進(jìn)行復(fù)制延拓，延拓后的序列疊加在一起就是預(yù)測(cè)的原序列的趨勢(shì)序列.

若xm的周期為M，則xm的周期延拓如式（8）所示.

（m）=∑∞a=-∞x（m+aM）.（8）

如圖1所示，細(xì)線是周期序列，粗線是周期延拓序列.

時(shí)間/5分鐘

圖1 周期延拓

2.5 統(tǒng)計(jì)套利交易策略

為比較基于協(xié)整理論的DFTGARCH統(tǒng)計(jì)套利模型與常用的協(xié)整-GARCH統(tǒng)計(jì)套利模型的優(yōu)劣，對(duì)兩種模型采用同一種交易策略，即根據(jù)統(tǒng)計(jì)套利理論，以GARCH模型殘差項(xiàng)rt=μt/σ2t來(lái)確定套利區(qū)間，進(jìn)行套利交易.

為了簡(jiǎn)化交易流程，要求開(kāi)倉(cāng)后未平倉(cāng)不得再開(kāi)倉(cāng).具體交易策略是：當(dāng)rt>δ1δ1>0時(shí)，牛市建倉(cāng)，此時(shí)買入主力合約CU0，賣空次主力合約CU1，平倉(cāng)條件有兩種：若rt≤δ20≤δ2<δ1則止盈平倉(cāng)，若rt≥δ30≤δ2<δ1<δ3則止損平倉(cāng);當(dāng)rt<-δ1δ1>0時(shí)開(kāi)始熊市建倉(cāng)，此時(shí)買入次主力合約CU1，賣空主力合約CU0，平倉(cāng)條件類似.

3 實(shí)證研究

3.1 數(shù)據(jù)選取

為比較兩種統(tǒng)計(jì)套利模型的優(yōu)劣，對(duì)上海期貨交易所陰極銅期貨Cu1708和Cu1709的5分鐘收盤價(jià)數(shù)據(jù)分別建立相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)套利模型，在相同的交易規(guī)則下進(jìn)行實(shí)證分析.

取2017年7月27日至2017年8月3日共6個(gè)交易日558個(gè)5分鐘收盤價(jià)數(shù)據(jù)為樣本內(nèi)數(shù)據(jù)建立套利模型，以2017年8月4日至2017年8月7日共兩個(gè)交易日186個(gè)5分鐘收盤價(jià)數(shù)據(jù)為樣本外數(shù)據(jù)驗(yàn)證模型的實(shí)際盈利效果.數(shù)據(jù)源于萬(wàn)德數(shù)據(jù)庫(kù).

3.2 協(xié)整關(guān)系

基于統(tǒng)計(jì)套利的歷史重演假設(shè)，選取的套利資產(chǎn)組合之間必須有良好的相關(guān)性.首先，將滬銅期貨Cu1708和Cu1709合約的價(jià)格序列分別記為主力合約Cu0與次主力合約Cu1，經(jīng)計(jì)算兩序列的相關(guān)性系數(shù)為0.99，從而可以認(rèn)定統(tǒng)計(jì)套利的假設(shè)得到滿足.

接著對(duì)兩價(jià)格序列進(jìn)行ADF單位根檢驗(yàn)，結(jié)果表明兩序列均為一階單整序列，由最小二乘估計(jì)（OLS）得其協(xié)整關(guān)系如式（9）所示.

Cu1=-621.819+1.015Cu0+μt.（9）

最后對(duì)價(jià)差序列μt也進(jìn)行ADF檢驗(yàn)，得出μt是平穩(wěn)的，說(shuō)明Cu0與Cu1之間存在協(xié)整關(guān)系.

3.3 建立GARCH模型

用MATLAB對(duì)價(jià)差序列μt進(jìn)行ARCH檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)其存在ARCH效應(yīng)，所以考慮對(duì)序列μt運(yùn)用GARCH（1，1）模型，擬合后得到的模型如式（8）所示.

σ2t=39.447+0.635ε2t-1+0.309σ2t-1.（10）

t值= （4.458）? （17.491）??? （7.057）

由括號(hào)中各系數(shù)的t統(tǒng)計(jì)量值可以看出，模型的擬合效果很理想.

3.4 建立DFTGARCH模型

3.4.1 提取主要趨勢(shì)序列

對(duì)價(jià)差序列μt進(jìn)行離散Fourier變換（DFT），根據(jù)其幅值譜提取價(jià)差序列的主要趨勢(shì).一般來(lái)說(shuō)，僅選取幅值最大的3個(gè)頻率點(diǎn)對(duì)應(yīng)的周期序列，將其疊加得到主要趨勢(shì)序列.這是因?yàn)檫x取的個(gè)數(shù)越多，雖然樣本內(nèi)數(shù)據(jù)擬合效果會(huì)越好，但樣本外預(yù)測(cè)的誤差也會(huì)越大，從而統(tǒng)計(jì)套利模型的穩(wěn)定性與實(shí)際盈利效果越差.

幅值最大的頻率點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的周期序列如圖1所示，細(xì)線是周期序列，粗線是周期延拓序列.圖2（a）與圖2（b）分別是幅值第二大和第三大的頻率點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的周期與周期延拓序列.圖3是這些周期序列疊加后得到的主要趨勢(shì)序列x（n），細(xì)線是主要趨勢(shì)序列，粗線是預(yù)測(cè)趨勢(shì)序列.

3.4.2 價(jià)差的殘差序列

價(jià)差序列μt與提取的主要趨勢(shì)序列x（n）之間的差值稱之為價(jià)差的殘差序列，記為S.

3.4.3 建立GARCH模型

對(duì)價(jià)差的殘差序列S進(jìn)行ARCH檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)其存在ARCH效應(yīng)，所以考慮對(duì)序列S運(yùn)用GARCH（1，1）模型，擬合后得到的模型如式（12）所示.

各系數(shù)的t統(tǒng)計(jì)量值表明GARCH模型的擬合效果很好.

3.5 累計(jì)收益率

以樣本內(nèi)、外的累計(jì)收益率為標(biāo)準(zhǔn)判斷模型的優(yōu)劣.為簡(jiǎn)化計(jì)算，假定一手滬銅期貨主力合約的價(jià)格為X，次主力合約的價(jià)格為Y，其中Xi1、Yi1是第i次套利時(shí)兩合約的開(kāi)倉(cāng)價(jià)格，Xi2、Yi2是第i次套利時(shí)兩合約的平倉(cāng)價(jià)格，交易手續(xù)費(fèi)率為C%，則第i次牛市開(kāi)倉(cāng)的收益率如式（13）所示.

同理，第j次熊市開(kāi)倉(cāng)的收益率如式（14）所示.

假定在套利過(guò)程中一共完成了n次交易，其中牛市開(kāi)倉(cāng)有n1次，熊市建倉(cāng)有n2次，并且n=n1+n2，于是累計(jì)收益率如式（15）所示.

3.6 套利交易

3.6.1 套利閾值

對(duì)于不同大小的套利閾值，統(tǒng)計(jì)套利模型的損益也有所差異.為了減小套利閾值對(duì)模型結(jié)果的影響，采用以下方式確定套利閾值.

止損閾值：在實(shí)際的統(tǒng)計(jì)套利過(guò)程中，δ3的取值一般由投資者根據(jù)自身的風(fēng)險(xiǎn)偏好以及需求來(lái)確定.為排除主觀因素對(duì)套利結(jié)果的影響，根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值理論選取置信度為99%的VaR值（δ3=2.33）為止損閾值.

平倉(cāng)閾值：為簡(jiǎn)化交易流程，根據(jù)統(tǒng)計(jì)套利的歷史重演假定，將兩種模型的平倉(cāng)閾值都設(shè)為0δ2=0，即認(rèn)為當(dāng)價(jià)差序列偏離了長(zhǎng)期均衡關(guān)系后，在短期內(nèi)仍能夠得到修正.

開(kāi)倉(cāng)閾值：采用窮舉法遍歷所有的開(kāi)倉(cāng)閾值，以一定的步長(zhǎng)將區(qū)間δ2，δ3=（0，2.33）內(nèi)的值一一賦予δ1，以樣本內(nèi)的累計(jì)收益率為標(biāo)準(zhǔn)，最大累計(jì)收益率對(duì)應(yīng)的開(kāi)倉(cāng)閾值δ*1為模型的最優(yōu)開(kāi)倉(cāng)閾值.

3.6.2 樣本內(nèi)套利結(jié)果分析

根據(jù)交易所數(shù)據(jù)確定交易手續(xù)費(fèi)率為0.05‰，經(jīng)過(guò)MATLAB程序計(jì)算，可以得出兩種模型在樣本內(nèi)的最優(yōu)開(kāi)倉(cāng)閾值以及對(duì)應(yīng)的最大累計(jì)收益率，結(jié)果見(jiàn)表1.

由表1可知，在相同的交易規(guī)則下，對(duì)樣本內(nèi)數(shù)據(jù)使用新模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)套利能獲得更好的收益.因?yàn)樾履Ｐ驮诖_保套利成功率的前提下，大幅提升了套利次數(shù)，從而累計(jì)收益率得到提升.

為了排除最優(yōu)開(kāi)倉(cāng)閾值對(duì)兩種模型累計(jì)收益率的影響，在相同的交易規(guī)則下，計(jì)算出所有滿足條件的開(kāi)倉(cāng)閾值相對(duì)應(yīng)的累計(jì)收益率，如圖5所示.實(shí)線與虛線分別表示DFTGARCH模型累計(jì)收益率、GARCH模型累計(jì)收益率與開(kāi)倉(cāng)閾值之間的關(guān)系.

由圖5可以看出，在相同的交易規(guī)則下，當(dāng)選取相同的開(kāi)倉(cāng)閾值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)套利時(shí)，基于協(xié)整理論的DFTGARCH統(tǒng)計(jì)套利模型在樣本內(nèi)的累計(jì)收益率一般要高于基于協(xié)整理論的GARCH統(tǒng)計(jì)套利模型，說(shuō)明該模型相較于傳統(tǒng)的套利模型對(duì)樣本內(nèi)的數(shù)據(jù)有更好的擬合效果.

3.6.3 樣本外數(shù)據(jù)回測(cè)

為了評(píng)價(jià)模型的穩(wěn)定性及實(shí)際盈利效果，以2017年8月4日至2017年8月7日5分鐘收盤價(jià)數(shù)據(jù)為樣本外數(shù)據(jù)進(jìn)行回測(cè).在相同的交易規(guī)則下，以樣本內(nèi)數(shù)據(jù)確定的最優(yōu)開(kāi)倉(cāng)閾值對(duì)樣本外數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)套利，套利結(jié)果見(jiàn)表2.

由表2可知，兩種套利模型在樣本外套利的總次數(shù)都差不多， 但GARCH統(tǒng)計(jì)套利模型在樣本外的套利成功率較低，因?yàn)镚ARCH模型對(duì)樣本外數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)效果較差，而DFTGARCH模型基于離散Fourier變換理論提取和預(yù)測(cè)了價(jià)差序列的主要趨勢(shì)，無(wú)論是套利成功率還是平均單次收益率都得到了保證，從而在樣本外獲得了更好的盈利.

me-font：minor-fareast; mso-bidi-font-family：宋體;mso-ansi-language：EN-US;mso-fareast-language：ZH-CN; mso-bidi-language：AR-SA'>效應(yīng)，所以考慮對(duì)序列S運(yùn)用GARCH（1，1）模型，擬合后得到的模型如式（12）所示.

4 結(jié) 論

與傳統(tǒng)的協(xié)整GARCH統(tǒng)計(jì)套利模型不同，新模型在協(xié)整理論求得價(jià)差序列的基礎(chǔ)上，利用離散Fourier變換提取和預(yù)測(cè)了價(jià)差序列的主要趨勢(shì)，在相同的交易規(guī)則下求得樣本內(nèi)的最優(yōu)開(kāi)倉(cāng)閾值和累計(jì)收益率，并由此計(jì)算出樣本外的累計(jì)收益率.

在相同的交易規(guī)則下，通過(guò)對(duì)兩種統(tǒng)計(jì)套利模型的交易結(jié)果進(jìn)行比較可以看出以下兩點(diǎn).（1）在樣本內(nèi)，基于協(xié)整理論的DFTGARCH統(tǒng)計(jì)套利模型能夠更好的擬合樣本內(nèi)的數(shù)據(jù)，抓住價(jià)差序列非線性、周期性的特點(diǎn)，捕捉到更優(yōu)的套利時(shí)機(jī).（2）在樣本外，基于離散Fourier變換理論的新模型能夠更好的預(yù)測(cè)價(jià)差序列的波動(dòng)，確保了統(tǒng)計(jì)套利模型的穩(wěn)定性，具有更加優(yōu)異的實(shí)際盈利效果.

新模型在使用過(guò)程中，需要不定期的更新數(shù)據(jù).而根據(jù)Fourier變換的性質(zhì)，樣本內(nèi)的數(shù)據(jù)變動(dòng)不僅會(huì)影響模型參數(shù)，還會(huì)影響預(yù)測(cè)的樣本外價(jià)差序列，所以需要確定最優(yōu)的樣本內(nèi)區(qū)間長(zhǎng)度以及樣本外多步向前預(yù)測(cè)的步數(shù).

參考文獻(xiàn)

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