碰撞過程中的動(dòng)量守恒和能量損失研究

王澤昊

摘 要：在研究碰撞問題時(shí)，動(dòng)量守恒和能量轉(zhuǎn)化一直備受關(guān)注。從宏觀物體與微觀粒子（電子）的兩個(gè)方面，來探討在發(fā)生碰撞的過程中，系統(tǒng)動(dòng)量的守恒，以及能量損失的方向和形式。在宏觀方面，會(huì)對(duì)不同碰撞恢復(fù)系數(shù)的物體間的碰撞進(jìn)行研究，通過構(gòu)建碰撞模型進(jìn)行定量計(jì)算，并繪圖分析。而在微觀層面，則會(huì)首先介紹電子模型，并對(duì)電子間的碰撞情況進(jìn)行分析，最后仿照物體的恢復(fù)系數(shù)，類比了電子碰撞中的“恢復(fù)系數(shù)”為0。

關(guān)鍵詞：碰撞;彈性系數(shù);動(dòng)量守恒;能量損失;微觀與宏觀

中圖分類號(hào)：TB???? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A????? doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2019.10.090

碰撞（collision）在物理學(xué)中表現(xiàn)為兩粒子或物體間極短的相互作用。 碰撞前后參與物發(fā)生速度、動(dòng)量或能量改變。碰撞可以是宏觀物體的碰撞，如打擊等，也可以是微觀粒子如原子等之間的碰撞。只要是兩個(gè)作相對(duì)運(yùn)動(dòng)的物體，接觸并迅速改變其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的現(xiàn)象，都可以叫作碰撞。

動(dòng)量（momentum）是與物體的質(zhì)量和速度相關(guān)的物理量。一般而言，一個(gè)物體的動(dòng)量指的是這個(gè)物體在它運(yùn)動(dòng)方向上保持運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)。能量（energy）是物質(zhì)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換的量度，簡(jiǎn)稱“能”。

在明確了這些概念的前提下，本文接下來將會(huì)從微觀與宏觀兩個(gè)角度入手，討論在發(fā)生碰撞的過程中，系統(tǒng)動(dòng)量與能量的變化情況。

1 碰撞過程中的動(dòng)量守恒

如圖1所示，在地面上有質(zhì)量分別為m1和m2的兩個(gè)物體，它們分別以v1和v2的速度相向運(yùn)動(dòng)（v1>v2）。隨后兩物體發(fā)生碰撞，碰撞時(shí)間為Δt。碰撞后兩物體的速度分別為v'1和v'2。

根據(jù)加速度的定義：

a=ΔvΔt（1）

可得兩物體的加速度分別為：

a1=v'1-v1Δt（2）

a2=v'2-v2Δt（3）

根據(jù)牛頓第二定律可得兩物體所受合力分別為：

F1=m1v'1-v1Δt（4）

F2=m2v'2-v2Δt（5）

當(dāng)兩物體所受外力為0或相互抵消時(shí)（在這里即地面提供的摩擦力為0時(shí)），兩物體各自所受的合力即為其撞擊時(shí)所受的力。根據(jù)牛頓第三定律：

F1=-F2（6）

且又根據(jù)動(dòng)量定理：

FΔt=mv'-mv（7）

聯(lián)立可得：

m1（v'1-v1）Δt=m2（v'2-v2）Δt（8）

整理可得：

m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2'（9）

根據(jù)動(dòng)量的定義，可以得到碰撞前后系統(tǒng)總動(dòng)量相等，即動(dòng)量守恒。

當(dāng)兩個(gè)粒子發(fā)生碰撞時(shí)（如兩個(gè)電子），因?yàn)樗鼈兊馁|(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其系統(tǒng)內(nèi)部的內(nèi)力，故也可按上述過程推導(dǎo)，得到其碰撞前后動(dòng)量守恒。

2 宏觀碰撞過程中的能量轉(zhuǎn)移

2.1 不同碰撞恢復(fù)系數(shù)的宏觀物體碰撞中的動(dòng)能損失

如圖1所示，在光滑地面上有質(zhì)量分別為m1和m2的兩個(gè)物體，它們分別以v1和v2的速度相向運(yùn)動(dòng)（v1>v2）。隨后兩物體發(fā)生碰撞，碰撞時(shí)間為Δt。碰撞后兩物體的速度分別為v'1和v'2，碰撞恢復(fù)系數(shù)為e。

在研究上述場(chǎng)景中的問題之前，需要先明確碰撞恢復(fù)系數(shù)的概念。碰撞恢復(fù)系數(shù)是碰撞前后兩物體接觸點(diǎn)的法向相對(duì)分離速度與法向相對(duì)接近速度之比，用符號(hào)e表示。即：

e=v2f-v1fv1-v2（10）

其中v1、v2分別為第一個(gè)和第二個(gè)物體在碰撞前的速度，v1f、v2f則分別為第一個(gè)和第二個(gè)物體碰撞后的速度。

在上述場(chǎng)景中，因整個(gè)碰撞的系統(tǒng)所受外力的總和為0，所以根據(jù)一中的推導(dǎo)可知，該體系碰撞前后的動(dòng)量守恒。故有：

m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2'（11）

根據(jù)碰撞系數(shù)的定義，可知：

e=v2'-v1'v1-v2（12）

由于在質(zhì)心系中碰撞前后相對(duì)速度彼此相反，有：

v'1-v'2=-ev1-v2（13）

利用質(zhì)心系總動(dòng)量為零和相對(duì)速度的定義式，再結(jié)合（13）式，容易推出質(zhì)心系中碰撞后的速度表達(dá)式。最后在表達(dá)式中代入：

vc=m1v1+m2v2m1+m2（14）

容易得到碰撞后速度：

v'1=m1-em2v1+1+em2v2m1+m2（15）

v'2=m2-em1v2+1+em1v1m1+m2（16）

所以碰撞前系統(tǒng)具有的機(jī)械能為：

E1=12m1v21+12m2v22（17）

碰撞后系統(tǒng)具有的機(jī)械能為：

E2=12m1v'21+12m2v'22（18）

則其碰撞過程中的能量損失為：

ΔE=E2-E1（19）

經(jīng)過代入、化簡(jiǎn)和整理，可得到：

ΔE=ae2+be+c（20）

其中，a、b、c均為由v1、v2、m1、m2通過一定的代數(shù)運(yùn)算所得的常數(shù)。所以可以直觀的觀察到ΔE與e的為二次函數(shù)的關(guān)系。

為了便于更明顯的觀察到不同碰撞恢復(fù)系數(shù)的物體發(fā)生碰撞時(shí)的動(dòng)能損失，現(xiàn)繪制了圖2的表格圖像。

本圖中，橫軸為碰撞恢復(fù)系數(shù)e，縱軸為碰撞中的動(dòng)能損失。為了便于作圖，令上述場(chǎng)景中的m1=100kg，m2=50kg，碰撞前兩物體的速度分別為v1=10m/s，v2=5m/s。由于v1、v2、m1、m2均為常數(shù)，故其取值不影響動(dòng)能損失與恢復(fù)系數(shù)的關(guān)系。

根據(jù)圖2，我們可以看出：（1）當(dāng)恢復(fù)系數(shù)e=1時(shí)，碰撞前后系統(tǒng)并沒有動(dòng)能損失，動(dòng)能守恒。所以我們將這種碰撞稱為完全彈性碰撞。（2）當(dāng)恢復(fù)系數(shù)e=0時(shí)，碰撞前后系統(tǒng)的動(dòng)能損失最大。我們將這種碰撞稱為完全非彈性碰撞。（3）當(dāng)恢復(fù)系數(shù)0

2.2 典型的碰撞中的能量轉(zhuǎn)化形式與方向

能量是物質(zhì)的時(shí)空分布可能變化程度的度量，用來表征物理系統(tǒng)做功的本領(lǐng)。能量具有多種不同的存在形式：按照物質(zhì)的不同運(yùn)動(dòng)形式，我們可以將能量分為機(jī)械能、化學(xué)能、熱能、電能、輻射能、核能、光能、潮汐能等。這些不同形式的能量，可以通過物理效應(yīng)或化學(xué)反應(yīng)，轉(zhuǎn)化為其他形式的能量。當(dāng)然，能量的相互轉(zhuǎn)化，必須遵守能量守恒定律，即：“能量只能從一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式，而無法憑空產(chǎn)生或者消滅”。因此在不同形式的能量相互轉(zhuǎn)化的過程中，其量值守恒。而在一個(gè)封閉的力學(xué)系統(tǒng)中，如果沒有機(jī)械能與其他形式能量之間相互轉(zhuǎn)換時(shí)，則機(jī)械能守恒。機(jī)械能守恒定律是能量守恒定律的一個(gè)特例。

對(duì)于宏觀物體間發(fā)生的碰撞，其能量的轉(zhuǎn)化可較為直觀的被人們所察覺。例如當(dāng)鼓槌與鼓面發(fā)生碰撞時(shí)，人們會(huì)聽到“咚咚”的聲音，這便是碰撞過程中，系統(tǒng)所具有的動(dòng)能向聲能的一種轉(zhuǎn)化。

3 微觀碰撞過程中的能量問題

3.1 對(duì)微觀粒子抽象化論述

以上對(duì)宏觀物體的碰撞進(jìn)行了探討說明，而對(duì)于微粒間的碰撞，如果是非彈性碰撞，則同樣存在著多種多樣的能量轉(zhuǎn)化形式。在這里，對(duì)其中一種可能的粒子間碰撞后轉(zhuǎn)化為光能的情況進(jìn)行一些定性的討論。

由于量子力學(xué)中的不確定度關(guān)系，微觀粒子發(fā)生碰撞時(shí)，微觀粒子的速度與位置不可能同時(shí)精確的測(cè)定出來。以一定的初速度發(fā)生碰撞的微粒碰撞后產(chǎn)生的結(jié)果也不是唯一的。同時(shí)，粒子間的碰撞并不完全與宏觀物體間的碰撞相同。

電子之間的碰撞不止發(fā)生動(dòng)能的交換，還會(huì)伴隨有其他形式的能量轉(zhuǎn)化（如粒子的躍遷或者與粒子產(chǎn)生和湮滅過程相關(guān)的能量）。

3.2 粒子間的碰撞

在討論之前，需要對(duì)原子內(nèi)部的結(jié)果有一些了解。原子由攜帶正電荷的核和攜帶圍繞它旋轉(zhuǎn)的負(fù)電荷的核外電子組成。然而，由于電子具有波粒二象性，因此不可能在某一時(shí)刻確定它是否是空間中的特定點(diǎn)，并且可以僅指示其在細(xì)胞核之外的某處發(fā)生的概率。涉及的空間范圍稱為原子軌道。而在每個(gè)原子軌道中，處于不同能級(jí)的電子的能量是不同的。

假設(shè)存在兩個(gè)原子（為便于討論，以氫原子為例），其中氫原子A以一定的初速度撞向另一靜止的氫原子B。在這個(gè)過程中，A的動(dòng)能并未全部轉(zhuǎn)化為A與B碰撞后的動(dòng)能，而是有一部分被氫原子B的原子核外的電子吸收。如果被電子吸收的能量足夠大，則有可能使電子發(fā)生能級(jí)躍遷。

圖3 氫原子的能級(jí)躍遷示意圖

如圖3所示，氫原子B的電子在碰撞前處于第一能級(jí)，這個(gè)狀態(tài)的電子正處于基態(tài)。當(dāng)氫原子A與氫原子B發(fā)生非彈性碰撞后，氫原子A的一部分動(dòng)能被B中的電子吸收，氫原子B中的電子吸收能量，逃離原子核產(chǎn)生的電磁力的束縛，像更高的能級(jí)躍遷，此時(shí)的電子處于激發(fā)態(tài)。當(dāng)然，由于原子軌道不是連續(xù)的，所以只有當(dāng)B的電子在碰撞中一次性吸收到了足夠使它躍遷到下一能級(jí)的能量時(shí)，它才會(huì)進(jìn)入激發(fā)態(tài)。

隨后，在很短的時(shí)間內(nèi)，由于躍遷到高能級(jí)的電子并不穩(wěn)定，會(huì)重新回到低能級(jí)，并放出能量。這個(gè)過程中，發(fā)出的電磁波與電子放出的能量存在以下關(guān)系：

ΔE=hν（21）

其中ΔE為電子放出的能量，h為普朗克常數(shù)，ν為電磁波的頻率。由于每個(gè)能級(jí)的能量固定，所以根據(jù)（20），電子從不同能級(jí)躍遷，會(huì)放出不同的擁有特定頻率的電磁波。當(dāng)電子躍遷所放出的電磁波恰好處于可見光波段時(shí)，我們便會(huì)看到產(chǎn)生了可見光。以上整個(gè)過程，即為兩電子發(fā)生碰撞的過程中，動(dòng)能損失，并向光能進(jìn)行轉(zhuǎn)化的過程。

以上是粒子碰撞中的能量的一種轉(zhuǎn)化方向，除此以外粒子還可以通過其他途徑轉(zhuǎn)化為其他形式的能量，如核能等等。

類比宏觀碰撞過程，我們思考關(guān)于粒子的碰撞對(duì)應(yīng)宏觀的形式和類比性。比較（20）式和（21），（20）式中可以直觀的觀察到ΔE與e的為二次函數(shù)的關(guān)系，（21）式中可以直觀的觀察到ΔE與只與常量有關(guān)。用宏觀的標(biāo)準(zhǔn)理解，粒子碰撞過程中恢復(fù)系數(shù)是0，可以理解為兩者碰撞后被吸收了，對(duì)應(yīng)于微觀的意義，能級(jí)的躍遷需要吸收能量。此類比過程對(duì)碰撞過程的理解有特殊的意義。

4 總結(jié)

動(dòng)量守恒和能量守恒是研究動(dòng)力學(xué)問題時(shí)繞不開的話題。在碰撞過程中，動(dòng)量和能量實(shí)現(xiàn)不同方面的轉(zhuǎn)化。在宏觀方面，本文會(huì)對(duì)不同碰撞恢復(fù)系數(shù)的物體間的碰撞進(jìn)行研究，通過構(gòu)建碰撞模型進(jìn)行定量計(jì)算，并進(jìn)行繪圖分析，從而對(duì)自然界中能量形式和轉(zhuǎn)化方向進(jìn)行了說明。而在微觀層面，本文還研究了微觀粒子，探討在發(fā)生碰撞的過程中，能量損失的方向和形式。最后仿照物體的恢復(fù)系數(shù)，類比電子碰撞中的“恢復(fù)系數(shù)”為0。類比操作對(duì)于理解上的創(chuàng)新大于實(shí)際的理論意義。本文較詳細(xì)和系統(tǒng)的說明了一般情況下的碰撞問題，對(duì)理解相關(guān)問題具有參考意義。

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